Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций)

Скачать 0.64 Mb.

страница	17/17
Дата	14.01.2013
Размер	0.64 Mb.
Тип	Документы

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5.3. Расчет и анализ чувствительности

Основной задачей теории чувсвительности является анализ дополнительного движения вызванного вариацией параметров. Такой анализ, в частности, включает количественные оценки, характеризующие влияние одних параметров на другие или на качество технической системы в целом. Обычно анализ дополнительного движения строится на основе нахождения функций чувствительности, получаемых в результате решения дифференциальных уравнений называемых уравнениями чувствительности. Вместе с тем применяются различные косвенные оценки, в том числе частотные или корневые. Будем рассматривать систему управления в комплексной плоскости. В качестве вектора варьируемых параметров выберем вектор p, компоненты которого есть отдельные коэффициенты передаточных функций определенных звеньев системы управления. В качестве исследуемых характеристик, изменяющихся при вариации p, выберем вектор переменных y на выходах объекта управления (управляемых параметров). Тогда чувствительность y к p может быть представлена матрицей

(5.5)

для системы управления описываемой системой уравнений вида

Y( p, s) = W( p, s) R(s)

(5.6)

В формуле (5.5) k – размерность вектора y, а v – размерность вектора p,

- начальное (номинальное) значение праметра

- установившееся значение сигнала на i- ом выходе при

. Частные производные, входящие в формулу (5.5), вычисляются в точке

.

Рассмотрим вопрос количественной оценки чувствительности установившегося режима к вариации параметров вектора p. Для этого положим s = 0 и R(s )=1/ s. В силу принятых допущений выражение (5.5) значительно упростится без потери существенной информации относительно установившегося режима:

gif" name="object284" align=absmiddle width=231 height=161>

(5.7)

Расчет матрицы чувствительности

включает этапы:

Задание структуры и состава системы управления, вектора .
Построение W(p,s).
Формирование .
Определение .
Вычисление элементов матрицы чувствительности по формуле (5.7).

Если анализ диктует необходимость рассмотрения функций чувствительности для установления влияния вектора p на динамику системы управления, то s в формуле (5.7) не должно обнуляться и от полученных функций

следует перейти к временным функциям

на основе известного разложения Хевисайда рациональной алгебраической функции.

5.4. Робастные системы управления

Проектирование робастных систем управления – одна из сложных проблем современной теории управления. Свойство систем управления обеспечивать устойчивость при вариации параметров объекта управления в определенных пределах называется робастной устойчивостью. Отметим, что устойчивость является одним из самых важных свойств систем управления, но не единственным. Такие важные характеристики управления как точность, время регулирования, перерегулирование должны обеспечиваться также на приемлемом уровне. Свойство системы управления выполнять заданные требования на качество при вариации параметров объекта управления можно определить как свойство робастности в более широком смысле, чем робастная устойчивость, хотя устойчивость должна обеспечиваться в первую очередь. Ограничения на качество управления могут назначаться как во временной, так и в комплексной области. Для исследования робастной устойчивости систем управления на практике используется подход, базирующийся на результатах теоремы Харитонова, дающий заключение о робастной устойчивости на основе алгебраического анализа корней четырех полиномов.

Рассмотрим вопрос проектирования робастно устойчивых систем управления с заданным качеством управления. Отметим, что качество многомерной системы управления зависит от качества ее каналов входы – выход. Представим обобщеную передаточную функцию таких каналов в виде

,

где х – вектор настраиваемых параметров управляющей части, p - вектор квазистационарных параметров объекта управления. Пусть

Границы

включают номинальные значения параметров

, а также их возможные вариации под действием внешних и внутренних факторов. Для того чтобы найти зависимость х = х ( p), которая бы позволяла настраивать х по известным реализациям p, обеспечивая требуемое качество управления воспользуемся моделированием процессов в комплексной плоскости, что позволит сформировать целевую функцию

на основе приближения проектируемой системы управления к эталоной.

Введем в рассмотрение семейство полиномов:

где

и D – являются полиномами числителя и знаменателя передаточных функций каналов входы - выход с коэффициентами вида:

Если компоненты векторов х и p находятся внутри своих границ

, то и коэффициенты

, ( i =1,…,m; j = 1,…n) тоже могут варьироваться только внутри своих собственных границ, зависящих от х и p, потому что c и d являются однозначными функциями переменных х и p, то есть

Считаем, что многомерная система управления является робастно устойчивой и имеет заданное качество управления, если семейства ее полиномов

и D(s,Q) удовлетворяют требованиям (3.9) – (3.10). Их сказанного следует, что семейство D(s,Q) робастно устойчиво тогда и только тогда, когда для любой реализации вектора

корни полинома D(s, d) располагаются в левой полуплоскости s. Отметим, что значения компонент вектора d определяются путем подстановки в выражения коэффициентов значений

Теорема. Для того чтобы многомерная система управления являлась робастно устойчивой и удовлетворяла заданным динамическим характеристикам (3.10) достаточно, чтобы F(x,p) = 0 при

.

Доказательство. Следуя от противного, предположим, что качество управления оптимизированной по параметрам системы управления неудовлетворительно при F(x,p) = 0, где

. Это означает, что расположение полюсов и нулей, соответствующее решению

, не удовлетворяет требованию (3.10). Следовательно, существует, по крайней мере, один полюс или нуль отличный от идеального. В рамках правила формирования целевой функции F(x,p) это означает, что она имеет хотя бы одно слагаемое отличное от нуля, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим процедуру определения запаса робастности многомерной системы управления. Считаем известными номинальные значения компонент вектора p и возможные границы его вариации

, а также считаем известным аналитическое выражение D(x,p,s).Задача состоит в том, чтобы вычислить запас робастности многомерной системы управления при

. Иначе, из более широкой области границ P, внутри которых качество системы управления неизвестно, нужно выделить подобласть, то есть такие границы

, при которых семейство полиномов

будет робастно устойчивым. Величину

(5.8)

будем считать мерой запаса робастности. Рассмотрим сказанное на простом примере. Пусть номинальные значения вектора варьируемых параметров равны

. Наименее возможное отклонение параметров от номинальных значений до границ интервалов составляет 1.0, то же самое значение дает формула (5.8). То есть, если параметры будут отклоняться на величину менее чем 1.0, то система управления сохранит свое качество, если оно гарантируется расположением варьируемых параметров внутри заданных интервалов.

Обратимся к интерпретации теоремы Харитонова. Доказано, что если корни четырех полиномов:

полученных из полинома характеристического уравнения, имеют отрицательные действительные части, то система управления будет сохранять устойчивость при вариации вектора p внутри границ назначенных интервалов. Если все корни четырех полиномов располагаются в левой полуплоскости области s, то система управления будет робастно устойчивой при условии, что варьируемые параметры не будут выходить за границы назначенных интервалов.

6.Литература

Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. – М.: Энергия, 1980. – 312с.
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука,1972. – 768с.
Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. Для вузов./ Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. – М: Высш. Шк., 2003. – 614с.
Прохорова О.В. Оптимизация многомерных систем автоматического управления на основе модификации метода корневого годографа. //Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. М.: МИЭМ, 1998. – 30 с.
Прохорова О.В. Машино – ориентированный метод расчета чувствительности многомерных систем управления // Приборостроение. – 1994. - №. 11 – 12. – С. 36 – 41.
Prokhorova O., Filanovsky I.M. Multivariable System Design and Optimization Using Root Locus Method // Proc. 33^rd Midwest Symposium on Circuits and Systems. – Calgary: IEEE. – 1991. – V.1. – P 523 – 526/
А.А. Ерофеев Теория автоматического управления: С-Пб: Политехника, 2001.
Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем / Учеб. Пособие для вузов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 640с.: ил.

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций)

5.3. Расчет и анализ чувствительности

5.4. Робастные системы управления

6.Литература

Похожие: