Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций)



страница8/17
Дата14.01.2013
Размер0.64 Mb.
ТипДокументы
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   17

Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа


Передаточную функцию разомкнутой системы управления можно представить в виде:



Здесь k - числовой коэффициент, в который в качестве сомножителя входит коэффициент усиления сигнала в прямой цепи. Передаточная функция замкнутой системы управления с единичной отрицательной обратной связью определяется по формуле :



Уравнение D(s) + kC (s) = 0 называется характеристическим. Его корни называются полюсами, а корни уравнения k C(s) = 0 называются нулями. Полюса и нули могут рассматриваться в качестве динамических характеристик наряду с переходными и частотными. При изменении k от 0 до бесконечности полюсы описывают в комплексной плоскости траектории, называемые корневым годографом.


По движению полюсов вдоль траекторий судят о свойствах системы управления. Отметим несколько основных свойств корневого годографа:

  • корневой годограф симметричен относительно действительной оси

  • действительная ось принадлежит корневому годографу

  • число ветвей корневого годографа определяется степенью характеристического уравнения.

Основное аналитическое уравнение траектории корней имеет вид алгебраического уравнения:

-


Это уравнение позволяет по задаваемому значению найти , то есть построить точки корневого годографа. Здесь приняты следующие обозначения: C(), D() - полиномы C(s) и D(s) соответственно после подстановки s = . , - производные этих полиномов. Для многомерной системы управления число характеристических уравнений будет определяться числом управляемых параметров. Если все каналы управления связаны между собой, то характеристические уравнения всех каналов будут одинаковые.

2.Методы анализа систем управления

2.1.
Понятие устойчивости систем управления


Если под влиянием возмущения состояние системы управления отклонилась от состояния равновесия или заданного закона движения, а после прекращения действия внешнего возмущения снова вернулась к исходному состоянию, то такое движение является устойчивым, сходящимся к исходному. Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову. Пусть имеем уравнение динамики:



Его можно переписать с использованием фазовых координат:

.

,

- фазовые координаты, характеризующие состояние системы. Представленное уравнение в фазовых координатах описывает невозмущенное движение. Полагаем, что фазовые координаты в начальный момент времени t = to имеют значения: x1 = 1 (t0), x2 = 2 (t0), ... , xn = n (t0).

Решение дифференциального уравнения определяется введенными начальными условиями. Оно может быть записано в виде

xi =  i [t,  i (to)] .

Пусть под действием возмущения начальные значения координат изменились и приняли значения:

i*(to) =  i (to) + i .

Характер процессов, происходящих в системе, будет описываться уравнениями вида:

xi* =  i*[t,  i* (to)] .

Последнее уравнение описывает возмущенное движение. Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений возмущенное движение в момент времени t > t0 будет отличаться от невозмущенного движения незначительно. Другими словами, движение, определяемое решением , будет устойчивым по Ляпунову, если для любого > 0 можно подобрать () > 0, чтобы при t > t0,

|  i*(to) -  i (to) | <  ()

выполнялось условие:

|  i*(t) -  i (t) |  .

Если условие не выполняется, то движение неустойчиво. Движение считается асимптотически устойчивым, если

lim |  i*(t) -  i (t) | = 0, t.

Отметим, что линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, то есть является ее приближенной моделью, и возникает вопрос – правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо. А.М. Ляпуновым был доказан ряд теорем, отвечающий на поставленный вопрос.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения являются отрицательными, то невозмущенное движение в исходной нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

В тех случаях, когда в характеристическом уравнении есть нулевые или чисто мнимые корни, а все остальные корни имеют отрицательные действительные части, судить об устойчивости движения по уравнению первого приближения нельзя. В таком случае для оценки устойчивости необходимо учитывать отброшенные при линеаризации нелинейные слагаемые.

Характеристическое уравнение системы управления, исследуемой в комплексной области, представляется выражением:

dnsn + dn-1s n-1+ ... + do = 0.

Если система управления исследуется в области фазовых координат, то характеристическое уравнение рассматривается в виде:

det [ E - A] = 0,

где A – матрица коэффициентов уравнений в фазовых координатах; E - единичная матрица; - переменная характеристического уравнения.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   17

Похожие:

Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconПрограмма дисциплины "Основы теории управления" по специальности 230201 "Информационные системы и технологии" Форма обучения: заочная Уровень подготовки: специалист Курс (семестр): 3 (5)
Программа дисциплины "Основы теории управления" по специальности 230201 "Информационные системы и технологии": Учебная программа....
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconКурс лекций москва инфра-м 2002 Кононенко Б. И. Основы культурологии: Курс лекций. М.: Инфра-м
Охватывают не только необъятное поле взаимоотношений, например, науки и религии, но и рефлексию всех форм общественного сознания
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconЛекция 13. Информационные основы управления
Начальный курс информатики среди приоритетных вопросов в линии «Информационные основы управления» выделяет предварительное знакомство...
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconКурс лекций по дисциплине: Основы инженерной геологии по теме «Основы гидрогеологии»

Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconПримерная программа дисциплины основы теории управления
Целью преподавания дисциплины является обучение студентов основам теории управления, необходимых при создании, исследовании и эксплуатации...
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconЛекция №1 курс «Разливка и кристаллизация стали» 5 курс весенний семестр разливка и кристаллизация стали литература
Основы теории формирования отливки / Г. Ф. Баландин // Ч. I. Тепловые основы теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М. Машиностроение....
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconКурс лекций по русской истории «Полный курс лекций по русской истории»
Этот курс лекций выдержал до 1917 года около 20 изданий
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) icon4тм-заочн. 2010/11 уч год основы теории колебаний основная литература 1
Культербаев Х. П. Основы теории колебаний. Основы теории, задачи для домашних заданий, примеры решений. Нальчик, 2003. 130 с
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconВопросы к зачету по дисциплине «Основы теории управления и принятия решений»
Управление по разомкнутому и замкнутому принципу. Системы комбинированного управления
Пашнев В. В. Основы теории управления (Курс лекций) iconРабочая программа учебной дисциплины "основы теории управления" Цикл
Профиль подготовки: Компьютерные технологии управления в робототехнике и мехатронике
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org