Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм



Скачать 66.35 Kb.
Дата15.01.2013
Размер66.35 Kb.
ТипДокументы
УДК 519.221

М.В. Радионова, соискатель, старший преподаватель

Оценивание параметров распределения на основе

асимптотического разложения нормализованных сумм

Аннотация. В работе найдены оценки параметров распределения (математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса) методом квантилей с использованием асимптотического разложения нормализованных сумм. Также рассмотрено асимптотическое поведение таких оценок.
Ключевые слова: асимптотическое разложение, оценки параметров, метод квантилей
Пусть - независимая повторная выборка из некоторой совокупности с параметрами Будем предполагать, что для некоторого существует и . Если разбить выборку на последовательные группы по элементов и определить нормализованные величины

(1)

то в силу центральной предельной теоремы их распределение при достаточно больших будет близко к нормальному распределению.

При выше указанных ограничениях функцию распределения нормализованной суммы можно аппроксимировать суммой нескольких первых членов асимптотического разложения (теорема 4 из [2], стр.208)



где функции определяются по формулам



Здесь – функция, – плотность распределения стандартного нормального закона, – семиинвариант порядка случайной величины gif" name="object19" align=absmiddle width=25 height=24> а – полиномы Чебышева-Эрмита степени , т.е. , а суммирование ведется по множеству всех целых неотрицательным решений уравнения .

Соотношение между семиинвариантами и моментами можно записать [2] в виде формального равенства между степенными рядами



Функция распределения центрированной и нормированной суммы (1) с точностью до членов порядка имеет следующее асимптотическое разложение

(2)

равномерно по и , ,. Необходимые для работы первые шесть полиномов приведены ниже





При дополнительном предположении о непрерывности величины для плотности распределения процесса также равномерно по имеет место асимптотическое разложение

(3)

Указанные разложения свидетельствуют о том, что при малом закон распределения среднего арифметического может существенно отличаться от предельного нормального, хотя по внешнему виду плотность распределения может быть весьма похожа на нормальную.

Использование асимптотического разложения имеет ряд трудностей - появляются дополнительные неизвестные параметры и . Оба эти параметра не зависят от параметра масштаба и определяются только базовым распределением случайных величин следовательно, вид распределения определяется точно.

Если в последнем разложении (4) отбросить члены порядка и сделать замену переменных , то полученная после этого функция не будет плотностью распределения, поскольку выражение может быть отрицательным. Функцию (3) можно представить в виде:

(4)

откуда следует, что она является плотностью распределения тогда и только тогда, когда полиномиальный множитель в формуле неотрицателен.

Соответствующее приближение функции без членов порядка также не будет функцией распределения в связи с тем, что при больших по абсолютной величине значениях аргумента функция может утратить свойство неубывания и принимать значения вне отрезка . Ограничения на коэффициенты неотрицательного полинома даже для простейшего приближения по-видимому можно дать только численно. Исключением является симметричный случай: для условие выполняется тогда и только тогда, когда .

В работе [6] найдены допустимые множества значений коэффициентов при которых функция

(5)

является функцией распределения.

Если (4) не является плотностью распределения, то эту функцию можно использовать в качестве приближения плотности распределения нормализованных сумм, но только в том случае, когда абсолютные величины отрицательных значений достаточно малы. В противном случае приближения не будут иметь вероятностного смысла.

За счет дополнительной коррекции асимптотических приближений можно попытаться аппроксимировать обобщенные распределения нормализованных сумм вероятностными распределениями. В главе 4 [3] рассматривались две возможности аппроксимации асимптотических приближений плотностями, но одна из них отвергнута самими авторами, а другая применима только при больших . В [4] была предложена идея усечения асимптотического приближения. Назовем функцию распределения усеченным асимптотическим приближением, если



где , – наибольший интервал, содержащийся во множестве .

Очевидно, что усеченное асимптотическое приближение обладает следующими свойствами: 1) является функцией распределения, 2) на интервале определена производная . Более того, как показывают примеры, расстояние в равномерной метрике между истинной функцией распределения и ее аппроксимацией уменьшается при замене асимптотического приближения усеченным асимптотическим приближением. Интуитивно это объясняется тем, что бессмысленные значения функции распределения (т.е. лежащие вне отрезка ) заменяются на ноль, или единицу, что, по-крайней мере, не увеличивает расстояния.

Поскольку у плотности распределения и функции есть неизвестные параметры, то необходимо знать оценки этих неизвестных параметров. Как показано выше, значения этих параметров зависят от значений параметров распределения исходных величин и получение оценок этих параметров необходимо для практического применения. Пусть теперь функция распределения величин принадлежит семейству Распределение величины теперь зависит от четырех неизвестных параметров . Действуя аналогично работе Сапожникова П.Н. [4], оценим неизвестные параметры квантильным методом.

Теорема. Пусть – квантили стандартного нормального распределения соответствующие уровням , тогда состоятельные оценки параметров плотности распределения (6), где ( определяются формулами соответственно. Если , а - оценка вектора , при этом вектор асимптотически (по ) нормален с ковариационной матрицей .

Доказательство. Обозначим через – квантиль уровня стандартного нормального закона, тогда квантиль уровня для распределения с точностью до величины порядка может быть представлена в виде где . Между квантилями стандартного распределения и сдвиг-масштабного существует связь: согласно которой оценочные уравнения метода квантилей для параметра являются линейными относительно оцениваемых переменных и новых переменных . Следовательно, оценкой четырех-мерного векторного параметра служит , где

матрица с элементами

Таким образом, можно будет непосредственно выписать оценки неизвестных параметров :

Вектор эмпирических квантилей связан с вектором квантилей стандартного нормального закона формулой , поэтому и вопрос об асимптотическом поведении отклонений оценки от истинного вектора параметров сводится к исследованию поведения четырех мерного вектора порядковых статистик нормальной совокупности.

Согласно теореме Мостеллера [5], вектор асимптотически нормален с нулевым средним и ковариационной матрицей . Здесь – матрица размерности , с элементами . Матрица диагональна и ее -й диагональный элемент равен производной функции распределения в точке , т.е.

Литература

  1. Бенинг В.Е. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса и некоторые их приложения к задачам финансовой и актуарной математики / В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1998. - Т.5. - Вып. 1. - С. 23-36.

  2. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин / В.В. Петров. - М.: Наука, 1972. – 324 с.

  3. Барндорф-Нильсен О. Асимптотические методы в математической статистике / О. Барндорф-Нильсен, Д. Кокс. - М.: Мир, 1999. - 156 с.

  4. Сапожников П.Н. Оценивание параметров сложно-пуассоновского процесса / П.Н. Сапожников // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч.тр. - Пермь: Перм.ун-т.- 2000.- С.46-52.

  5. Дэйвид Г. Порядковые статистики / Г. Дэйвид. - М.:Наука,1979. - 34 с.

  6. Радионова М.В. Аналог распределения хи-квадрат для нормализованных сумм с малым числом слагаемых / М.В. Радионова, П.Н. Сапожников // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч.тр. - Пермь: Перм.ун-т. - 2006. - С.135-148.

Статья печатается впервые. ____________________Радионова М.В.

Научный консультант_______________________Чичагов В.В.

Похожие:

Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconОценивание параметров 3 Методы оценивания параметров 3
Построение доверительного интервала с использованием распределения точечной оценки параметров 6
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconОценивание состояния параметров режима электрических сетей энергосистем на основе данных оик рсду-2
...
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconИзмерение функции распределения электронов вольфрамового термокатода
Цель работы: измерение функции распределения термоэлектронов и определение параметров Максвелловского закона распределения
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconОценивание геометрических параметров, вместимости вертикальных цилиндрических резервуаров и их неопределенности по методу наименьших квадратов

Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconПредельные теоремы для сумм независимых случайных величин
Формула Колмогорова для характеристической функции безгранично-делимого распределения с конечным средним
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм icon«Понятие стабильности распределения доходов: приложения к исследованию динамики социальной стратификации»
Его состоит в оценке параметров распределения и отслеживании их динамики. К таким параметрам могут относиться – дисперсия логарифмов...
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconПрограмма по дисциплине Вопросы зачета
Теорема о существовании и единственности {LU}-разложения. Связь разложения и метода Гаусса исключения неизвестных
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм icon26 января 2010 г. N ад-30-24/691
Карточка индивидуального учета сумм начисленных выплат и иных вознаграждений и сумм начисленных страховых взносов
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconПрограмма по дисциплине Вопросы экзамена Вычислительная математика
Теорема о существовании и единственности {LU}-разложения. Связь разложения и метода Гаусса исключения неизвестных
Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм iconКарточка индивидуального учета сумм начисленных выплат и иных вознаграждений и сумм начисленных страховых взносов за год Стр
Плательщик инн/кпп
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org