Численное интегрирование



Скачать 34.51 Kb.
Дата16.01.2013
Размер34.51 Kb.
ТипДокументы
Численное интегрирование.

Впервые разработал И. Ньютон. Численное интегрирование основано на том, что функция описывается интерполяционным многочленом:

f(x)=a0+a1x1+a2x2+…+anxn (строится по точкам)

Т.к. не все функции интегрируются, то приходится применять численные методы.

Функция y=f(x) заменяется интерполяционным многочленом P(x), который в точках xi = значению функции.

P(xi)=f(xi)
Метод прямоугольника.

y



y1
y0



x ,

x0-h/2 x0 x0+h/2
где h=(b-a)/n – шаг, n-число точек, (а-b)- интервал, тогда xi+1=xi+h

На отрезке [x0-h/2,x0+h2] интеграл будет равен площади прямоугольника:




На отрезке [a, b] интеграл будет равен площади n-прямоугольников:



Интеграл слева вычисляется по формуле:




И
нтеграл справа вычисляется по формуле:

где Rn - погрешность, которая вычисляется по формуле:





где




Метод трапеций.

Рgif" name="object7" align=left hspace=12 width=8 height=18>
ассмотрим случай, когда интерполяционный многочлен первого порядка:

f(x)=P(x) и нам известно, что f(x0)=y0 , f(x1)=y1

мы хотим построить интерполяционный многочлен




проинтегрируем интерполяционный многочлен:

y







y0

x0 x
Рассмотрим вычисление интеграла при f(x)=P(x):





Таким образом, интеграл, вычисляемый по методу трапеции на отрезке [a, b] равен:



г
де Rn – погрешность для метода трапеций, вычисляемая по формуле:

г
де

Метод Симпсона (парабол).


y




Для этого метода промежуток разбиваем на чётное количество частей и считаем, что нам известны 3 точки:

y0=f(x0)

y1=f(x1)

y2=f(x2)




Убедимся в том, что P(x2)=f(x2):




Заметим, что x2=x0+2h

P(x)=y0+2y1-2y0+y2-2y1+y0=y2

На отрезке [x0, x0+h/2] интеграл вычисляется по формуле:





Таким образом, интеграл для метода Симпсона на отрезке [a, b] вычисляется по формуле:




где Rn – погрешность, вычисляемая по формуле:

где




Примеры.

Рассмотрим пример вычисления интегралов на простой функции для которой можно вычислить аналитическое значение:

y=x+3, h=0.2, [a, b]=[0, 1.2]
П
одсчитаем интеграл для этой функции:





i

xi

yi

0

0

3

1

0.2

3.2

2

0.4

3.4

3

0.6

3.6

4

0.8

3.8

5

1

4

6

1.2

4.2


Метод прямоугольника слева:

А1=0.2*(3+3.2+3.4+3.6+3.8+4)=4.2

Метод прямоугольника справа:

А2=0.2*(3.2+3.4+3.6+3.8+4+4.2)=4.42

Погрешность для этих методов:

Rn1=(1.2-0)2*M1/12

M1=1; Rn1=0.12

Метод трапеций:

А3=0.2((3+4.2)/2+3.2+3.4+3.6+3.8+4)=4.32

Rn2=0, т.к. производная второго порядка=0

Метод Симпсона:

А4=(0.2/3)*(3+4.2+4*10.8+2*7.2)=4.32

Rn3=0, т.к. производная четвёртого порядка=0





Похожие:

Численное интегрирование icon4 Численное интегрирование
Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т е численное интегрирование выполняется для...
Численное интегрирование iconКонтрольные вопросы к части 6 Часть 2 (дополнительная). Численное интегрирование методами Симпсона и Гаусса 7 Метод Симпсона 7
Обязательная. Численное интегрирование методами прямоугольников и трапеций 1
Численное интегрирование iconЧисленное интегрирование. Физические задачи, приводящие к интегрированию
Интегрирование функций является составной частью многих научных и технических задач. Поскольку аналитическое интегрирование не всегда...
Численное интегрирование iconОтчет по лабораторной работе №4 по теме «Численное интегрирование»
При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом...
Численное интегрирование iconВопросы по теме «Численное интегрирование»
Симпсона, непосредственно вычисляя интеграл разности подынтегральной функции и формулы
Численное интегрирование iconЛабораторная работа №6. Численное интегрирование
Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида
Численное интегрирование iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н
Среднеквадратическая непрерывность случайного процесса. Интегрирование случайных процессов. Среднеквадратические интегралы с переменными...
Численное интегрирование iconЛабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b
На отрезке [a, b] задана функция, будем считать, что функция достаточно гладкая. Требуется вычислить
Численное интегрирование iconЧисленное интегрирование
В данном интеграле пределы интегрирования а=-1, b Возьмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i. 100. Шаг численного интегрирования...
Численное интегрирование iconМетоды вычислений Лабораторная работа №2 1
Напишите программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом (одним из трех по вариантам) левых прямоугольников,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org