Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ



Скачать 107.23 Kb.
Дата16.01.2013
Размер107.23 Kb.
ТипИсследование
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ МКЭ.

Огородникова О.А., аспирант ИжГТУ, Огородников Г.Ю., аспирант ИжГТУ.

element@udm.net

Abstract: Предложен метод исследования точности результатов метода конечных элементов для моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел.
Для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) разработано и используется множество программных продуктов разной степени сложности. В основном такие программы используют метод конечных элементов (МКЭ). Интерес представляет исследование точности получаемых результатов при применении данного метода для линейного анализа статической трехмерной задачи теории упругости.

Ошибки результатов МКЭ складываются из ошибок выбора конечно-элементной модели и ошибок численного решения задачи, связанных с приближенными вычислительными алгоритмами, ошибками округления.

Ошибки выбора конечно-элементной модели связаны с неудачным выбором типа конечных элементов, неудачным построением разбиения. В свою очередь, ошибки разбиения можно разделить на ошибки, связанные с аппроксимацией геометрии поверхностей исследуемых тел, и ошибки, связанные с разбиением на элементы внутри тел.

В данной работе авторы предлагают метод исследования ошибок решения для выбранной конечно-элементной модели.

Для исключения ошибок, связанных с аппроксимацией геометрии поверхностей исследуемых тел, введем определение трехмерного кубичного элемента следующим образом:

- трехмерный куб элемента в локальных координатах;

- соответствующая ему область в реальных координатах;

- функция преобразования локальных координат к реальным координатам, описывающим геометрию исследуемого тела;

n – число узлов элемента;

- множество узлов элемента в локальных координатах;

- соответствующее ему множество точек в реальных координатах;

- искомое множество значений перемещений в узлах;

- базис функций формы элемента;

- функции формы i-того узла, где gif" name="object9" align=absmiddle width=24 height=21> находятся из определения функций формы [1, 2];

- матрица функций формы;

- вектор перемещений;

- аппроксимация перемещений.

В отличие от классического конечного элемента [2, 3], в котором одни и те же функции формы используются как для аппроксимации перемещений, так и для аппроксимации геометрии. То есть порядок элемента определяет не только порядок аппроксимации перемещений, но и порядок аппроксимации геометрии исследуемого тела.

Область тела в реальных координатах может быть задана любой непрерывно-дифференцируемой функцией. То есть даже элементы низких порядков могут иметь сколь угодно сложные криволинейные границы. В большинстве случаев тела задаются кусочно-непрерывно-дифференцируемыми функциями, и, следовательно, их можно разбить на такие элементы без потери точности аппроксимации геометрии.

Далее будем рассматривать кубичные элементы первого порядка :

с набором базисных функций .



Рис.1 Кубичный элемент первого порядка.
Рассмотрим следующую задачу: куб из упругого материала, со стороной, равной 1, нагружен равномерно-распределенным усилием P на одной из граней. Противоположная грань жестко закреплена. Усилие направлено внутрь куба, перпендикулярно к плоскости грани. Необходимо найти перемещение точек тела под действием нагрузки.



Рис.2 Задача о нагружении куба: а) с использованием одного конечного элемента; б) с использованием восьми элементов.

Представим куб в виде одного элемента (рис.2а) и обозначим за h длину ребра этого элемента. Найдем решение задачи МКЭ. Далее разобьем элемент вдоль каждой координатной оси на две части. Получим разбиение исходного куба на 8 элементов (рис.2б). Найдем решение задачи на полученном разбиении. Проведем следующие шаги итерации и получим решение задачи на 64 элементах, 512 элементах и т.д. На каждой итерации число элементов увеличивается в 8 раз. Таким образом, мы имеем последовательность решений задачи на последовательности измельчающихся сеток, с шагом дробления , k – номер итерации, m – число элементов разбиения:

,

, , .

, i=1,2m – множество элементов разбиения.

В нашей задаче .

Исследуем сходимость полученной последовательности решений и найдем оценку погрешности.

Для решения задачи об определении напряженно-деформированного состояния, в соответствии с принципом возможных перемещений, имеем [4]



Этот вариационный принцип можно переписать в виде минимизации квадратичного функционала:



Для отыскания минимума функционала обычно строят так называемую минимизирующую последовательность. В предположении ограниченности снизу значений функционала существует точная нижняя граница его значений Тогда последовательность функций принадлежащих области определения функционала, называются минимизирующей для этого функционала, если . Предел минимизирующей последовательности доставляет нам искомое решение.

Для построения минимизирующей последовательности в МКЭ используют процесс Ритца, который реализуется следующим образом. Пусть - базис подпространства , определяемом разбиением на элементы на k-той итерации, т.е. любой элемент может быть записан в виде Подставим вместо в функционал. Тогда мы получим функцию n независимых переменных :7



Коэффициенты выберем таким образом, чтобы эта функция принимала минимальное значение по всем Для этого приравняем нулю ее первые производные по этим переменным:



Так как



то получаем систему Ритца [1]



Матрица этой системы симметрична, так как (Au, v)=(u, Av). Определитель системы линейных алгебраических уравнений есть определитель Грама линейно независимых элементов и поэтому отличен от нуля. Найдя коэффициенты и подставив их в разложение , получим элемент , являющийся приближенным решением задачи об определении напряженно-деформированного состояния по Ритцу.

Приближенное по Ритцу решение тем ближе к точному, чем больше k. По лемме Сея [4], если



то решение существует, единственно и удовлетворяет неравенству

(1)

где u - точное решение исходной задачи.

Как следствие, для достижения высокой точности приходится решать систему линейных алгебраических уравнений с матрицей большой размерности.

Выражение (1) означает, что - наилучшее приближение точного решения u в пространстве , а - погрешность аппроксимации точного решения u в пространстве . Так как - пространство векторных функций, каждая координата которых является многочленом, то покоординатную аппроксимацию на элементе можно представить в виде:

По лемме Сея, .

Следовательно, точное решение при малых h имеет вид

.

Похожую оценку можно найти в [3, 4].

Эту формулу используем для численного исследования точности приближенного решения :



Предполагая, что при малых h, имеем , следовательно,

.

В таблице 1 и на рис.2 представлены результаты решения МКЭ четырех последовательных итераций для усилия , при коэффициенте Пуассона и модуле упругости Па.



Рис.2 Результаты перемещений и напряжений для 4 итераций.
Таблица 1. Результаты исследования точности решений.

k

(single)

(extended)











0

-2275000,3

-2275000,0

--

--

0,00267

--

--

1

-2360075,5

-2360074,6

85074,6

0,03605

0,00271

0,000155

0,0573

2

-2399635,0

-2399634,5

39559,9

0,01649

0,00277

0,000098

0,0354

3

-2415652,5

-2415658,4

16023,9

0,00663

0,00279

0,000038

0,0135


Столбец (single) в таблице 1 соответствует результатам, полученным при использовании в алгоритмах МКЭ чисел с одинарной точностью, а столбец (extended) соответствует результатам, полученным при использовании чисел с повышенной точностью. Разница соответствующих значений этих столбцов говорит о вычислительной погрешности, связанной с погрешностью округлений. Как видно из значений столбца , вычислительная погрешность составляет лишь тысячную долю от полной погрешности, и, следовательно, ею можно пренебречь. Таким образом, погрешность полученных последовательных решений связана только с выбором разбиения области на конечные элементы, то есть от их числа и размеров, что и необходимо для постановки “чистого” численного эксперимента.

Из результатов в таблице 1 видно, что выражение на каждой итерации убывает примерно в два раза, что подтверждает правильность рассуждений: .

Так как деформация - это производная от перемещения, то при численном определении ее по известным перемещениям мы теряем один порядок точности.

Чтобы получить верный результат моделирования НДС, например, с погрешностью меньше процента, необходимо получить результат перемещений с точностью на порядок выше. Для того чтобы относительная погрешность вычисленных перемещений была меньше 0,001 необходимо найти наименьшее k, удовлетворяющее неравенству (табл. 1), откуда k=7: .

При k=7 мы будем иметь элементов разбиения и решаемую систему с числом неизвестных примерно в 3 раза больше.

Как видим, даже на простых примерах при использовании элементов первого порядка, чтобы получить результаты приемлемой точности требуются значительные вычислительные затраты.

Исследуем точность решения МКЭ задачи определения НДС тела более сложной геометрии. В качестве объекта исследования рассмотрим нагруженный зуб цилиндрического эвольвентного колеса.

Изначально тело разбито на 3 элемента: головка зуба, переходная часть, тело колеса.

Сила приложена равномерно по высоте головки зуба с одной из сторон. Тело зубчатого колеса считается закрепленным по диаметру.

В таблице 2 и на рис.3 представлены результаты решения МКЭ данной задачи для четырех последовательных итераций.


Рис.3 Результаты перемещений и напряжений для 4 итераций.
Таблица 2. Результаты исследования точности решений.

k













0

-0,1395833

--

--

0,00003597

--

--

1

-0,1846843

0,0451010

0,2442059

0,00004346

0,00000828

0,1904

2

-0,2576208

0,0729365

0,2831157

0,00005781

0,00001571

0,2717

3

-0,3070457

0,0494249

0,1609692

0,00006807

0,00001106

0,1625


Результаты показывают, что сходимость наблюдается лишь со второй итерации. Имея на третьей итерации 512*3 элементов, погрешность составляет 16%. Приемлемую точность можно получить лишь на 11 итерации (табл. 2): , имея при этом 25769803776 элементов.

Приближенное значение полной энергии деформации всегда будет ниже истинного значения , соответствующего точному решению u. Практически это означает, что полученные перемещения, а следовательно, и напряжения будут в целом заниженными [5]. В некоторых точках полученные напряжения могут быть завышенными. При расчете напряженно-деформированного состояния конструкций нужно быть готовыми получить ошибку в несколько раз превышающую результат [6].

Уменьшить погрешность решения можно, изменив геометрию внутренних поверхностей разбиения или используя элементы более высоких порядков.
Литература:

  1. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. - М.: Высшая школа, 1983. - 349 с.

  2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

  3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

  4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

  5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике – М.: Мир, 1975. – 541 с.

  6. Дыченко A. Анализ напряженно-деформированного состояния конструкций программными продуктами САПР. - "САПР и графика", 2002 ‘10.

Похожие:

Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconИсследование напряженно-деформированного состояния (ндс) поршня выполнялось в два этапа. На первом этапе проводился расчет методом конечных элементов (мкэ) в осесимметричной постановке, на втором этапе использовалась объемная модель мкэ

Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconУчастники конкурса №№ Номинация Участники Тема 1 Лучшая инновационная идея Гусев Антон Константинович Козик Сергей Викторович
Моделирование напряженно-деформированного состояния упругих тел с помощью методов граничных элементов с учетом объемных сил
Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconДинамическое моделирование напряженно-деформированного состояния элементов аксиально-поршневых пневмомоторов

Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconМетодика прогноза напряженно-деформированного состояния пород в бортах карьеров глубокого заложения (на примере алмазоносной трубки им в. гРиба)

Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconОценка напряженно-деформированного состояния сегмента стенки двухслойного колонного аппарата с учетом дефекта типа расслоения в программном комплексе ansys

Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconЛекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования
...
Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconМатематическое моделирование процессов тепломассопереноса и напряженно-деформированного состояния в композитных оболочках при локальном нагреве
Специальность 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconА. А. Трофимука Приоритетное направление со ран геофизика, геодинамика Физические поля Земли: природа, взаимодействие, интерпретация Программа
«Развитие методов изучения напряженно-деформированного состояния земной коры в связи с мониторингом сейсмоактивных областей и прогнозом...
Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconА. А. Трофимука Приоритетное направление со ран геофизика, геодинамика Физические поля Земли: природа, взаимодействие, интерпретация Программа
«Развитие методов изучения напряженно-деформированного состояния земной коры в связи с мониторингом сейсмоактивных областей и прогнозом...
Исследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ iconАнализ напряженно деформированного состояния пары Статор-ротор винтового забойного двигателя
Типа двигателей объясняется рядом преимуществ перед другими способами привода долот. Но при всех своих достоинствах он имеет существенный...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org