Метод конечных элементов. Решение плоской задачи



Скачать 211.07 Kb.
страница1/4
Дата16.01.2013
Размер211.07 Kb.
ТипГлава
  1   2   3   4



Глава 4


Метод конечных элементов. Решение плоской задачи




4.1. Содержание метода.


Метод конечных элементов (MKЭ) представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Он широко применяется при проектировании судов, летательных аппаратов, несущих систем многоэтажных зданий и т.п. Для МКЭ характерна ясная физическая трактовка. Его можно рассматривать, в частности, как обобщение классического метода строительной механики - метода перемещений. С другой стороны МКЭ является своеобразной формой часто применяемого вариационного метода Ритца. Различие между традиционной формой метода Ритца и МКЭ состоит в выборе системы координатных функций. Если в методе Ритца функции (обычно ряды) задаются для всей области, то в МКЭ они задаются для ее частей и через множество этих функций определяется состояние системы.

gif" align=left hspace=12>
q1

j


y

P1


q2





k


Pn


i









x





Рис. 4.1
Классический подход к задаче об изучении напряженно-деформированного состояния диска (рис. 4.1) предполагает изучение бесконечно малого его элемента. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения в частных производных (равновесия и геометрические) совместно с физическими уравнениями и контурными условиями позволяют определить напряжения, деформации и перемещения в каждой точке диска.

Метод конечных элементов предполагает иной подход. Рассматривается элемент конечных размеров, за счет чего осуществляется переход от сплошной системы с бесконечным числом степеней свободы, к системе с конечным числом степеней свободы.

Разделим воображаемыми линиями диск, изображенный на рис. 4.1, на некоторое количество элементов конечных размеров, например, треугольной формы и примем за узловые точки их вершины. Очевидно, что если диск находится в равновесии то и его элемент, определенный узлами i, j, k, под воздействием напряжений (усилий) от смежных элементов, также уравновешен. Приложим затем к е-му элементу вместо фактических усилий, действующих вдоль его граней статически эквивалентные узловые силы, т. е. силы, вызывающие внутри элемента действительное напряженно-деформированное состояние (рис. 4.2.).


y

y





Vk





k

yk

Uk


k











Vi





i

yi





Vj


i

Ui





yj

Uj



j

j

x

O

xi xk xj x

O


(а) (б)


Рис. 4.2
Поставив в соответствие каждому узловому усилию узловое перемещение (рис. 4.2, (б)) представим сплошной диск набором конечных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек.

Такой подход позволяет в дальнейшем использовать один из известных классических методов строительной механики, например метод перемещений (возможно также применение метода сил, либо смешанного). Для этого необходимо установить матрицы жесткости всех конечных элементов и, из условия равновесия узлов, получить разрешающие уравнения задачи. Найденные узловые перемещения не дают, однако, полной характеристики напряженно-деформированного состояния диска. Необходим переход от этих величин к перемещениям, напряжениям и деформациям внутри конечных элементов, т.е. речь идет о решении плоской задачи для каждого конечного элемента, находящегося под воздействием узловых перемещений. Такой переход в МКЭ осуществляется приближенно, путем задания интерполяционных (координатных) функций (функций формы), что и делает метод приближенным. Функции эти (обычно полиномы) такие, что обеспечивают неразрывность перемещений при переходе от одного элемента к другому.

Естественно, что при реализации МКЭ возникает необходимость приведения действующих на конструкцию нагрузок к сосредоточенным узловым силам.

Обычно все зависимости, связанные с конечным элементом, строятся в местной системе координат, с последующим переходом в общую систему для всей области. Это позволяет заранее получить необходимые соотношения для часто применяемых типов конечных элементов.

Решение задач по методу конечного элемента содержит следующие этапы:

1. Разбиение заданной области на конечные элементы. Нумерация узлов и элементов.

2. Построение матриц жесткости конечных элементов.

3. Сведение нагрузок и воздействий, приложенных к конечным элементам, к узловым силам.

4. Формирование общей системы уравнений; учет условий закрепления. Решение системы уравнений.

5. Определение напряжений и (при необходимости) деформаций в. конечных элементах.
  1   2   3   4

Похожие:

Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconРешение задачи можно проиллюстрировать следующим рисунком: Схема аппроксимации
В качестве метода решения рассмотрим метод сопряжённых градиентов с диагональным предобуславливанием для ускорения сходимости системы...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconРешение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей
Температуру как непрерывную функцию координат и времени заменяем дискретными значениями в узлах этой сетки
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи icon2. Характеристика задачи оптимального размещения элементов топологии
Целью настоящей работы является изучение и исследование задачи оптимального размещения элементов топологии сложных объектов проектирования...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconМетод граничных элементов Дельта-функция Дирака
Прежде, чем познакомиться с методом граничных элементов, надо определить фундаментальное решение. Фундаментальное решение тесно связано...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconПрограмма наименование дисциплины: Теория конечных графов
Цели и задачи дисциплины: Основной целью освоения дисциплины является изучение классической теории конечных графов, а также применение...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconАлгоритм компактного хранения и решения слау высокого порядка
...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconЧисленное моделирование переходных течений
Обербека-Буссинеска, с введенной слабой сжимаемостью вдоль траекторий [1, 2]. Метод конечных элементов, реализован в программном...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconРешение дифференциального уравнения методом (задачи Коши) Эйлера
Это простейший численный метод решения задачи Коши. Его точность невелика и применяется он в основном для прикидочных расчетов. Численный...
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи icon2. Методы плоской укладки схем Характеристика задачи плоской укладки
Изучение базовых методов планаризации схем соединений, используемых в проектных процедурах сапр ЭВМ и сапр бис
Метод конечных элементов. Решение плоской задачи iconРешение нелинейных уравнений. Постановка задачи. Метод хорд. Демонстрация схемы метода на конкретном примере
Моделирование как метод решения прикладных задач. Вычислительный эксперимент и его погрешность. Погрешности машинной арифметики
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org