В действительности, это утверждение верно в более общей ситуации, а именно, предположение о существовании дисперсии не является необходимым.
Имеет место так называемый закон больших чисел в форме Хинчина.
Пусть gif" name="object15" align=absmiddle width=86 height=21> – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, у которых существует математическое ожидание . Тогда
Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на распределение случайных слагаемых, образующих сумму. Здесь приведен без доказательства вариант ЦПТ для независимых одинаково распределенных слагаемых.
Центральная Предельная Теорема:
Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда
_______________________________________
где – функция распределения стандартного нормального закона.
Если обозначить . Тогда , . Следовательно, утверждение ЦПТ можно записать в виде
_______________________________________
Существуют обобщения ЦПТ на случай независимых разнораспределенных слагаемых. При этом на отдельные слагаемые накладываются условия, обеспечивающие их «пренебрежимо малый» вклад в сумму при .
________________________________________________________________________ 1. Задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным.
________________________________________________________________________ 3.2. Первичная обработка данных
Отправной точкой любого статистического анализа являются данные, полученные экспериментатором в результате опыта. Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты (случайной величины).
Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Чаще случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.
Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
При составлении выборки можно поступать двумя способами:
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить о случайной величине, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). Статистическое распределение выборки Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, зачастую бывает трудно выявить какую-либо закономерность их изменения. Для изучения закономерностей (если таковые вообще имеются) изменения значений случайной величины опытные данные подвергают обработке. Если случайная величина является дискретной, то ________________________
Для этого определяем размах выборки: . Выбираем число интервалов V (от 7 до 11). Длина частичного интервала или . За начало первого интервала рекомендуется брать величину . Конец последнего интервала выбирается из условия: . Просматриваем результаты наблюдений и определяем, сколько значений попало в каждый интервал.
Выборочной (эмпирической) функцией распределения называется функция, задающая для каждого значения относительную частоту события :
Функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.
Если в выборке нет повторяющихся значений, то эмпирическая функция распределения имеет разрывов. Величина скачка в точке разрыва равна .
Математическое ожидание эмпирической функции распределения равно теоретической функции распределения: .
Теорема Гливенко. С ростом объема выборки эмпирическая функция распределения сходится к теоретической функции равномерно по с вероятностью 1:
Наблюдаемые данные можно изобразить графически, используя не только функцию распределения.
Для изображения дискретного вариационного ряда обычно используют полигон частот.
Для изображения интервальных вариационных рядов служит гистограмма. Основания прямоугольников равны длинам частичных интервалов h, а высоты – частотам mi.
Выборочные числовые характеристики вычисляются по следующим формулам.
Выборочное среднее:
,
если ряд дискретный, то – наблюдаемые значения, если ряд интервальный, то – середина i-го интервала.
Программа курса «Методы оптимизации» Нормированные пространства (н п.). Открытые и замкнутые множества в н п. Сходимость последовательностей. Банаховы пространства
. Различают несколько типов сходимости.
по вероятности 
, если______________________________________________
, если_________________________
, если____________________________________________
, тогда:
. Тогда
– функция распределения стандартного нормального закона.
. Тогда 
, 
. Следовательно, утверждение ЦПТ можно записать в виде
накладываются условия, обеспечивающие их «пренебрежимо малый» вклад в сумму 
при 
.
. Выбираем число интервалов V (от 7 до 11). Длина частичного интервала 
или 
. За начало первого интервала рекомендуется брать величину 
. Конец последнего интервала выбирается из условия: 
. Просматриваем результаты наблюдений и определяем, сколько значений попало в каждый интервал.
относительную частоту события 
:
называют теоретической функцией распределения.
разрывов. Величина скачка в точке разрыва равна 
.
.
сходится к теоретической функции 
,
– наблюдаемые значения, если ряд интервальный, то 
.
.
