План. Введение. Основная часть



Скачать 296.07 Kb.
страница1/3
Дата08.10.2012
Размер296.07 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Факультативный курс:

«Комплексные числа».

Учитель математики МОУ СОШ №3

Г. Железнодорожный

Самодумова Т. С.

План.

Введение.

Основная часть.

1) Историческая справка. Происхождение понятия комплексного числа и его развитие.

2) Постановка задачи о расширении множества действительных чисел.

3) Комплексные числа и действия над ними:

а) равенство комплексных чисел;

б) сложение;

в) вычитание;

г) умножение;

д) деление.

4) Поле комплексных чисел.

5) Геометрическое изображение комплексных чисел.

6) Действительные и чисто мнимые числа.

7) Сопряженные числа. Практический способ деления.

8)Извлечение корней квадратных из отрицательного числа. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

9)Тригонометрическая форма комплексного числа.

10) Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

а) умножение;

б) возведение в степень;

в) деление;

г) извлечение корня.

11) Алгебраическое уравнение п – ой степени.

Заключение.

«Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение».

Феликс Клейн.

Введение.

Одной из вариативных внутришкольных форм дифференцированного обучения являются факультативные занятия. Это наиболее массовая форма дифференциального обучения. Факультативные занятия способствуют зарождению у учащихся интереса к математике, создают условия для выбора математики как предмета для последующего углубленного изучения. Предметные факультативы углубляют и расширяют знания учащихся.

Тема «Комплексные числа» традиционно является сложной для изучения. Завершая проходящую через весь школьный курс линию последовательного расширения числовых множеств, она связана и с другим не менее важным разделом – решение уравнений – и вместе с тем дает возможность установления теснейших связей с геометрией. Богатое идейное и логическое содержание этой темы реализуется в задачах сравнительно высокого технического уровня. Без темы «Комплексные числа» курс школьной математики трудно считать завершенным.

Происхождение понятия комплексного числа.

Говоря об эволюции понятия числа, мы отмечаем, что не всегда первым толчком были непосредственные практические потребности людей в узком понимании этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практического решения алгебраических уравнений.
Уже при решении квадратного уравнения ах²+вх+с = 0, где а,в,с – действительные числа (а = 0), его корни не могут быть действительными при в² - 4ас < 0. В этом случае, мы говорим, что уравнение корней не имеет. И таких примеров можно привести бесчисленное множество. Это значительно усложнило бы теорию не только алгебраических уравнений, но и многих других математических понятий. Еще более настойчиво эта проблема выдвинулась при решении уравнений степеней выше 2-ой. Эти причины, вызванные развитием алгебры, потребовали

расширения понятия числа. Однако процесс этого расширения не был кратким, он длился около трех столетий, на протяжении которых, в борьбе bмнений и взглядов, складывалось, развивалось и получило общее признание понятие комплексного числа.

Квадратные уравнения решали еще древние вавилоняне и греки, но у них отсутствовало понятие отдельно взятого отрицательного числа. С комплексными числами впервые встретились при решении квадратных уравнений индийские ученые, имевшие понятие о квадратном корне и об отрицательном числе. Однако, они считали, что квадратные корни из отрицательных чисел не существуют, ибо отрицательные числа не могут быть квадратами действительных (вещественных) чисел, с которыми они привыкли производить разнообразные операции. Поэтому квадратные уравнения с невещественными корнями математики Индии считали вообще не имеющими решения, их просто не брали во внимание.

Так же поступали до 16-ого века и ученые других стран, которые не находя конкретного истолкования для комплексных корней объявляли их ложными.

В 16-ом веке итальянские математики внесли крупный вклад в развитие алгебры: они решили в радикалах уравнения 3-ей и 4-ой степеней. В орубликованном в 1545 году произведение Кардано «Великое искусство» (так называли в то время алгебру в отличие от арифметики – «Малого искусства») содержалось решение кубического уравнения х³ +рх + q = 0. Чтобы решить такое уравнение Кардано пришлось оперировать числами нового вида – комплексными.

Франсуа Виет, отец «символической» алгебры, не признавал ни отрицательных, ни комплексных корней уравнения, в то время как А. Жирар, автор замечательного произведения «Новое изобретение в алгебре» (1629г.) уделял им большое внимание. Последнее объясняется тем, что А.Жирар впервые сформулировал так называемую «основную теорему алгебры», впоследствии строго доказанную Ф. Гауссом: всякое алгебраическое уравнение n – ой степени имеет n корней, действительных и мнимых. Без учета комплексных чисел эта теорема теряет свою общность, фактически не

имеет смысла. О том, каковы были взгляды математиков 17-ого, 18-ого веков на комплексные числа, можно судить по следующему высказыванию А. Жирара: «Могут спросить, к чему эти невозможные решения? Я отвечаю – для трех вещей: 1) для справедливости общего правила; 2) так как дгугих решений нет и 3) ради пользы».

Пользу принесли комплексные числа и Р. Декарту в его аналитической геометрии при поисках точек пересечения окружности с параболой: если «окружность не пересекает и не касается параболы ни в одной точке, то это значит, что уравнение не имеет ни истинных, ни ложных корней, ибо все они воображаемые». «Ложными» Р. Декарт называл отрицательные числа, «воображаемыми» или «мнимыми» - комплексные.

Итак, в данном случае мнимые числа полезны тем, что они указывают на реальное взаимное расположение двух линий в координатной плоскости.

Р.Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования и что они обречены навеки оставаться лишь воображаемыми ( наименование «мнимые числа» вошло в употребление в 17-ом веке, уже после Декарта). Таких же взглядов придерживались и другие великие математики того времени, в том числе Ньютон и Лейбниц.

В 17-ом веке лишь один ученый Д. Валлис в своем произведении «Алгебра, исторический и практический трактат» (1685г.) указал на возможность геометрического истолкования комплексных чисел и действий над ними: сложение и вычитание.

Состояние физико-математической науки той эпохи и общее увлечение теорией бесконечно малых оставили в тени попытку Валлиса на целое столетие. Лишь после того как в 17-ом веке многие задачи математического анализа, механики и геометрии потребовали широкого применения операций с комплексными числами, создались благоприятные условия для их геометрического истолкования.

Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. Слово «комплекс» (от латинского «complexus») означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.

В течение 17-ого века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел. Теория комплексных чисел развивалась медленно. Хотя с их помощью удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, само существование комплексных чисел оставалось сомнительным. На рубеже 17 – 18 веков была построена общая теория корней n- ой степени из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муара ( 1707 г. ):

(cos γ + isinγ )n =cosnγ + isinnγ.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в 18-ом веке русский академик Л. Эйлер. Он вывел в 1748 году замечательную формулу:

eix = cos x +isin x,

которая связала показательную функцию с тригонометрической.

На рубеже 18 – 19 веков было введено Весселем ( Дания ) и Арганом ( Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы этих ученых не обратили внимания, и лишь в 1831 году, когда тот же способ был развит великим Гауссом, он стал всеобщим достоянием. Было предложено изображать комплексное число z = a +bi точкой М (а;b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что удобнее это число изображать не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости. Комплексные числа прочно вошли в практику физико-математической науки.

Постановка задачи о расширении множества действительных чисел.

Задача по расширению поля действительных чисел путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором всегда было бы выполнимо действие извлечение корня, была окончательно решена лишь в XIX веке.

Новое расширенное поле, прежде всего, должно содержать все действительные числа. Далее, в нем должно быть решено уравнение , поскольку действие обратное возведению в степень в этом поле выполнимо. Число, квадрат которого равен -1 принято обозначать буквой и называть мнимой единицей. Итак, по определению .

Новое множество чисел должно быть полем. Поэтому наряду с действительным числом и мнимой единицей ему должно принадлежать и их произведение . Точно также вместе с действительным числом и произведением новому множеству должна принадлежать и сумма .

Таким образом новое числовое множество должно содержать все числа вида , где и - произвольные действительные числа, а - мнимая единица. Эти числа мы назовем комплексными числами. Число принято называть действительной частью, а выражение мнимой частью комплексного числа . Число называется коэффициентом при мнимой части. Например, для комплексного числа действительной частью является число 2, а мнимой – выражение , коэффициент при мнимой части части равен 3.

Два комплексных числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, то есть тогда и только тогда, когда a=c и b=d.

Для неравных комплексных чисел соотношение «больше» и «меньше» определить невозможно.

Сложение комплексных чисел. Противоположные числа.

Определение.

Суммой двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число(a + c) + (b + d)i : ( a+bi ) +( c+ d)i= (a + c ) + ( b + d ) i.

Другими словами, при сложении комплексных чисел складываются их действительные части и коэффициенты при мнимых частях.

Примеры:

1). ( 1 + i ) + ( 2 + 3i );

2). ( 5 + 6i ) + ( 7 – 6i );

3). ( 4 + 9i ) + ( -4 +i );

4). ( 3 - 7i ) + (-3 + 7i ).

В области действительных чисел имеется число «нуль», прибавление которого к любому другому действительному числу не меняет этого числа:

а +0 =а. В области комплексных чисел аналогичную роль играет число 0+ 0i.

Действительно, каково бы ни было комплексное число a + bi выполняется равенство: ( a + bi ) + (0 + 0i ) = ( a + 0 ) + ( b + 0 )I = a + bi

Два действительных числа а и – а, сумма которых равна нулю, называются противоположными. По аналогии с этим комплексные числа a +bi и – a – bi также называют противоположными.

Упражнения.

1). Назовите комплексные числа противоположные данным:

а) 3 + I; б) 1 – 5i; в) -2 + 0i; г) 0 + 4i; д) 0 + 0i; е) 7 + i.

2).Найдите действительные числа х и у из уравнения:

а) ( 5х + 3уi ) + (2y – xi ) = 3 – I;

б) ( 2x – 5i ) + (7y + 2xi ) = -12 + 3yi;

в) ( x + 3yi ) + ( 1,5y + 2xi ) = 4 + 8i.

Решение.

По определению операции сложения комплексных чисел:

( x + 3yi ) + (1,5y + 2xi ) = ( x + 1,5y ) + ( 3y + 2x )i.

Но, ( x + 3yi ) + (1,5y + 2xi ) = 4 + 8i,

   0x + 0y = 0,

Т. О. х – любое число.

Пусть x = t, тогда 3y + 2t = 8, 3y = 8 – 2t; y =  y = 

Ответ: x = t; y = , где t любое действительное число.

Вычитание комплексных чисел.

Определение.

Разностью двух комплексных чисел  = a + bi и  = c + di называется такое комплексное число  = x + yi, которое в сумме с  дает число .

Другими словами, для комплексных чисел, так же как и для действительных, равенство  =  -  по определению означает то же самое, что и равенство  +  = .

Само по себе введенное определение не гарантирует, что из каждого комплексного числа можно вычесть любое другое комплексное число. Возможность такого вычитания устанавливается теоремой.

Теорема.

Для любых комплексных чисел  = a + bi и  = c + di разность  =  -  определена и притом однозначно.

Фактически надо доказать, что существует и притом единственное число  = x +yi, которое в сумме с  дает число .

( c + di ) + ( x +yi ) = a + bi (1)

Определению суммы ( c + di ) + ( x + yi ) = ( c + x ) + ( d + y )I;

( c + x ) + ( d + y )I = a + bi:  

Т.к. система уравнений имела единственное решение, существует единственная пара чисел ( х; у ), удовлетворяющая уравнению (1). Тем самым теорема доказана.

По существу, доказано, что (a + bi ) – ( c+ di ) = ( a – c) + ( b – d )I.

Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях.

Примеры.

1). Вычислите:

а) ( 5 + 6i ) – ( 3 + 7i ); б) ( 3 + 4i ) – (3 – i );

в) ( 2 + i ) – ( 3 – i ); г) (7 – i ) – ( 7 – i ).

2). Найдите действительные числа х и у из уравнения:

а) ( 0 + 3xi ) – ( 10x + 2yi ) = -5y + 3i;

б) ( -3y + 0,5xi ) – ( -8x + 5yi ) = -2 + 12i;

в) ( 3x – 2yi ) – ( y + 6xi ) = 0 +21i.

  1   2   3

Похожие:

План. Введение. Основная часть iconЮжная Корея в мировом хозяйстве План I. Введение. 2 II. Основная часть
Кореи в системе мировых хозяйственных связей. Подробно остановимся на вопросах природоресурсного потенциала Республики и попытаемся...
План. Введение. Основная часть iconПлан Введение; Основная часть: Государственная символика Республики Дагестан
В школе, на уроках истории и других дисциплин, лишь слегка касаются темы символов нашей республики, да и официально посвященных данной...
План. Введение. Основная часть iconОглавление: Введение Основная часть
Гармоническое содержание фортепианных прелюдий на примере прелюдии e-moll (ор. 11)
План. Введение. Основная часть iconИсточники гражданского права план основная часть 3 Заключение 15 Список источников 17

План. Введение. Основная часть iconПлан I. Введение II. Основная часть Чаадаев глазами современников Учение Чаадаева о бытии Гносеология Чаадаева Исторические воззрения Чаадаева Взгляды Чаадаева на религию Отношение современников к мировоззрению Чаадаева. III
Кроме этого творческое наследие Чаадаева представлено также многочисленными статьями и письмами, которые мы также использовали в...
План. Введение. Основная часть iconI. Введение. 4 II. Основная часть
Научные таблицы и указатели. 247 Сводный список упоминаний музыкальных инструментов и 249 инструментальной терминологии в Священном...
План. Введение. Основная часть iconI. Введение II. Основная часть III. Заключение Литература
«массовой беллетристикой». Главенствующим, наиболее плодотворным началом в американской прозе после второй мировой войны был реализм...
План. Введение. Основная часть iconПравила оформления рефератов Реферат содержит: Титульный лист (приложение А) Содержание (приложение Б) Введение Основная часть (включает в себя разделы и подразделы.)
Текст следует печатать, соблюдая следующие размеры полей: правое – 10 мм, верхнее, левое и нижнее – 20 мм
План. Введение. Основная часть iconВведение с. 3 Основная часть с. 5-18
Большое место в его деятельности занимало распространение народного образования, он семнадцать лет возглавляет Совет Мариинского...
План. Введение. Основная часть iconЯремчук Александр Владимирович Руководитель Бушнова М. В., учитель французского языка 2012г. Ростов-на-Дону план работы: Вступление Основная часть. Фантастическая литература
Охватывает чувство восторга, когда я узнаю о каком-нибудь новом открытии (из интервью Жюля Верна журналистам)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org