Общие понятия теории множеств

Скачать 181.9 Kb.

страница	4/8
Дата	19.01.2013
Размер	181.9 Kb.
Тип	Лекция

1 2 3 4 5 6 7 8

Распространённая ошибка: запись вида , где знак «» - умножение в R, не является композицией или суперпозицией этих функций. Дело в том, что произведение функций определено на множестве функций, а выражение обозначает произведение значений каждой из функций в каждой конкретной точке.

Отображение

называется тождественным (единичным), если каждому аргументу оно ставит в соответствие себя.

Равенство функций определяется действием их на всех элементах.

1.3. Классификация множеств. Мощность множества

Основной характеристикой множеств является количество элементов, содержащихся в этом множестве.

Число элементов множества М называется его мощностью и обозначается |M|. Множества А и В называются эквивалентными, или равномощными, А  В, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Пустое множество является конечным и имеет мощность, равную нулю, т.е. . Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N, называется счётным. В противном случае бесконечное множество будет несчётным. Множество называется бесконечным, если оно равномощно одному из своих собственных подмножеств.

Булеаном множества М называется множество всех его подмножеств, которое обозначается 2^М, т.е. .

Для конечных множеств справедливо утверждение, которое называется основной теоремой о конечных множествах.

Теорема. Любое конечное множество не эквивалентно никакому его собственному подмножеству, кроме самого себя.

Следствие. Всякое непустое конечное множество эквивалентно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел

Счётными являются множество Z целых чисел и Q рациональных чисел. Множество R действительных чисел несчётно.

Всякое бесконечное множество, равносильное множеству действительных чисел, называется множеством мощности континуума (от лат. continuum – непрерывный).

1.4. Кортежи. Декартовы произведения

Слово кортеж переводится с французского cortege как торжественная процессия.

Пару назовём упорядоченным множеством, или перестановкой, из п элементов, если А – конечное множество, состоящее из п элементов, - функция, задающая порядок на А. Кортежем длины п из элементов множества А называется упорядоченная последовательность элементов этого множества, причём на первом месте стоит прообраз единицы: .

Кортежи и

называются равными, если они имеют одинаковую длину и их элементы с одинаковыми номерами совпадают, т. е. =

, если

и для