Общие понятия теории множеств

Свойства бинарных отношений.

1. 
   Рефлективность: aRa.
   

2. Антирефлективность.

3. 
   Симметричность любых двух элементов. Отношение R на множестве М называется симметричным, если для любых одновременно справедливо aRb и bRa.
   

4. Антисимметричность.

5. 
   Транзитивность: если аRb и bRc, то аRc.
   

6. Антитранзитивность.

7. 
   Связность: для любых а и b справедливо aRb или bRa.
   

Отношение эквивалентности. Бинарное отношение R называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает тремя свойствами: рефлективностью, симметричностью и транзитивностью, т.е если для любых х, у, z выполняется:

• 
  xRx (рефлективность);
  

• если xRy, то yRx (симметричность);

• 
  если xRy, а yRz, то xRz (транзитивность).
  

Непересекающиеся подмножества, на которые разбивается множество М отношением эквивалентности, называются классами эквивалентности. Множество классов эквивалентности множества А относительно отношения эквивалентности Q называется фактор-множеством и обозначается A \ Q.

Отношение порядка. Отношение R называется отношением порядка на множестве М, если оно обладает свойствами свойствами антисимметричности и транзитивности. Для произвольного отношения порядка принято обозначение , означающее предшествование.

Рефлективное (антирефлективное) отношение порядка называют отношением нестрогого (строгого) порядка и обозначают знаком (<).

Отношение порядка даёт возможность сравнивать между собой различные элементы множества М. Об упорядоченной паре gif" name="object92" align=absmiddle width=39 height=18> говорят, что элемент х предшествует элементу у. Если для элемента х не нашлось предшествующего, то он называется минимальным: т. е. не существует элементов у, «меньших», чем х.