Общие понятия теории множеств



Скачать 181.9 Kb.
страница8/8
Дата19.01.2013
Размер181.9 Kb.
ТипЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8

Решение. Нечётных цифр пять: 1, 3, 5, 7, 9. Тогда количество различных трёхзначных чисел найдём по формуле


Сочетания без повторений.

Сочетаниями из п элементов по т называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящая из т элементов, взятых из множества, состоящего из п элементов. Число сочетаний обозначается (от фр. combinaison – сочетание).


Задача 4. Сколькими способами могут взойти 3 зерна пшеницы, если посажено 7 зёрен?

Решение. По условию задачи порядок в подмножестве из 3 зёрен не важен, поэтому по формуле сочетания имеем:


Перестановки с повторениями. Кортеж, имеющий повторяющиеся элементы, называется перестановкой с повторениями.

Частные случаи


  1. Если , то .
  2. Если , то .


3. Если а , то

Задача 5. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии шахматной доски?


Решение. На первой линии могут находиться король, ферзь, 2 ладьи, 2 коня и 2 слона. Без учёта общепринятых шахматных правил составим кортежи длины 8, имеющие указанный состав (1, 1, 2, 2, 2). Тогда число перестановок с повторениями найдём по формуле

Задача 6. Найти число точек пересечения диагоналей выпуклого п-угольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке.


Решение. Минимальный многоугольник с диагоналями имеет четыре вершины. Если взять любые четыре вершины многоугольника, то через них можно провести две диагонали, пересекающиеся внутри этого четырёхугольника.
Другие четыре вершины дадут новую точку пересечения диагоналей. Поэтому число точек пересечения диагоналей многоугольника, а значит и число четвёрок-вершин, можно найти с помощью сочетаний .

Задача 7. Разложить п различных деталей в т ящиков. Сколько различных вариантов таких размещений можно перебрать?


Решение. Такое число подсчётов вариантов называют размещением с повторением и обозначают . Так как каждую из п деталей можно разместить в т ящиков, то необходимо п раз умножать число т, т.е. .

Задача 8. Сколько различных двоичных чисел длиной 6 можно записать с помощью цифр 0 и 1?


Решение. Размещаем две цифры (0, 1) на шесть мест, т.е. на каждом из шести мест (т = 6) может быть одна из двух двоичных цифр. Всего таких вариантов будет двоичных чисел: на каждом из шести мест по два варианта цифр.

Задача 9. Сколько проводится матчей в Чемпионате РФ по футболу в премьер-лиге за сезон?


Решение. Поскольку один матч проводится между двумя командами, каждый матч выделяет упорядоченное подмножество (так как одна команда играет дома, вторая – на выезде) из двух элементов. По формуле размещений

1.7. Подстановки


Взаимнооднозначное отображение множества на себя называется подстановкой степени п.

Если прообразы (аргументы) расположены в порядке возрастания (при ), то запись подстановки называют канонической.


Подстановку вида называют тождественной, так как .

Произведение отображений также является подстановкой и называется произведением подстановок и и записывается .


Задача 10. Даны две подстановки: . Привести подстановки к канонической записи и найти их произведение.

Решение. Вторая постановка записана в каноническом виде, первая – нет. Поэтому в верхней строке запишем числа от 1 до 5, а в нижней Т. о., Найдём . Сначала выполняется первая подстановка , а затем вторая , т.е. . Поэтому можно сразу записывать в матрицу: . Аналогично найдём остальные образы: . Теперь найдём а т.е.


В итоге получим .

Натуральной степенью подстановки называется подстановка , т.е. произведение п функций, каждая из которых есть .


Задача 11. Дана подстановка Найти её степени.

Решение.


Тогда очевидно, что и т.д.

Порядком подстановки называется наименьшее натуральное число , такое, что .


Инверсией подстановки называется переставление (рокировка) двух соседних значений в нижнем ряду канонической записи.

Если п – число инверсий, приводящих подстановку к единичной, а функция такова, что , то подстановка называется чётной, если , то подстановка называется нечётной.


Задача 12. Найти число инверсий и чётность подстановки

Решение. Имеем


Тогда , поэтому т.е. подстановка чётная.

Одна инверсия меняет чётность подстановки и знак функции .


Любая перемена и местами называется транспозицией.

Число чётных и нечётных подстановок п-й степени одинаково и равно .


Выражение называется симметричным по своим переменным, если любая подстановка (где - множество подстановок п-й степени) оставляет значение F неизменным: .

Задача 13. Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в Англию и Германию. Из них 5 не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 знали английский язык и 27 – немецкий. Сколько студентов владело двумя разговорными иностранными языками?


Решение. Введём обозначения множеств:

Е – множество студентов, не владеющих ни одним иностранным языком;


А – множество всех студентов, ;

В – множество студентов, владеющих английским языком, ;

С – множество студентов, владеющих немецким языком, ;


D – множество студентов, владеющих английским и немецким языками, .

Представим множества графически с помощью кругов Эйлера (рис. 1.5).


Способ 1. Составим уравнение: , откуда .

Способ 2. Найдём из уравнения или , .

Следовательно, 16 студентов свободно общались на двух иностранных языках.


Задача 14. Каждый студент группы программистов занимается в свободное время в НСО или спортом. Сколько студентов в группе, если 23 увлекаются спортом, 12 занимаются в НСО, а 7 совмещают занятия в НСО и увлечения спортом?


Решение. Изобразим множества кругами Эйлера, обозначив множества «спортсменов» - А и «исследователей» - В (рис. 1.6). Тогда



Задача 15. Из 35 студентов, побывавших на каникулах в Москве, все, кроме двоих, делились впечатлениями. О посещении Большого театра с восторгом вспоминали 12 человек, Кремля – 14, а 16 – о концерте, по три студента запомнили посещение театра и Кремля, а также театра и концерта, а четверо – концерта и пребывания в Кремле. Сколько студентов сохранили воспоминания одновременно о театре, концерте и Кремле?


Решение. Введём обозначения: А – множество студентов, вспоминающих о театре, ; В – о Кремле, ; С – о концерте, ; D – множество всех студентов, побывавших в поездке (рис. 1.7).

, тогда

, , .
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Общие понятия теории множеств iconВопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множеств
Общие понятия теории множеств iconОсновные понятия теории множеств
Основные понятия теории множеств: Индивидуальные задания к модулю 1 / Юго-Зап гос ун-т; сост.: Т. В. Шевцова, Е. В. Скрипкина. Курск,...
Общие понятия теории множеств iconВопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры
Отношение равенства множеств. Свойства отношения равенства множеств (рефлексивность, симметричность, транзитивность)
Общие понятия теории множеств iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
Общие понятия теории множеств iconЗанятие 1 Основные понятия теории множеств
Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств....
Общие понятия теории множеств iconЗакон для нечетких множеств Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, за исключением случая, когда
Цель настоящего приложения глубже изучить свойства нечетких множеств и показать, что теория нечетких множеств в определенном смысле...
Общие понятия теории множеств iconКурс лекций для студентов специальности Психология Часть Элементы теории множеств и математической логики Лекция 1
Понятия «множество», «элемент множества», «элемент принадлежит множеству» относятся к первичным, неопределяемым понятиям современной...
Общие понятия теории множеств iconТема Основные понятия теории множеств
Множество одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах
Общие понятия теории множеств iconВыполнили: Ольшевская Мария, Ульященко Ольга
Теория множеств – это раздел математики, изучающий общие свойства множеств (преимущественно бесконечных)
Общие понятия теории множеств iconЛогинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление
В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org