Примеры выполнения заданий Пример 1



Скачать 84.94 Kb.
Дата19.01.2013
Размер84.94 Kb.
ТипДокументы
Примеры выполнения заданий
Пример 1.

а) Найти , если ,.

Решение:

Сложение и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производят подобно сложению и умножению многочленов.





При делении одного комплексного числа на другое, делимое и делитель умножают на комплексное число, сопряженное делителю.

.

б) Найти , .

Решение:

Для любых имеет место равенство



Следовательно,

,

.
Пример 2.

Найти действительные решения уравнения

.

Решение:

Представим выражения в левой и правой части уравнения в

виде .







Комплексные числа иgif" name="object24" align=absmiddle width=68 height=21> равны, если равны их действительные части и мнимые части, то есть

.

Следовательно, имеем систему







Итак, , .
Пример 3.

Дать геометрическое описание множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию .

Решение:

– действительная часть числа .





Итак,



Изображением множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих условию , служит бесконечная полоса, заключенная между прямыми и , не включая точки этих прямых. (Рис. 1)


Пример 4.

Представить комплексные числа и в тригонометрической и экспоненциальной формах.

Решение:

Любое комплексное число можно представить в виде:

,

где – модуль комплексного числа z (обозначают ),

– аргумент комплексного числа z (обозначают ), обычно выбирают , реже берут . находят из условий:



Символом обозначают комплексное число . Поэтому любое комплексное число можно представить в виде:



Для представления комплексного числа в тригонометрической и экспоненциальной формах, найдем модуль и аргумент этого числа.

, ,

,

. (Рис. 2)

Следовательно,

– тригонометрическая форма записи .

–экспоненциальная форма записи .



Представим в тригонометрической и экспоненциальной формах.

, ,

,

. (Рис. 2)

Следовательно,

– тригонометрическая форма записи .

–экспоненциальная форма записи .
Пример 5.

Для комплексных чисел и , записанных в тригонометрической форме, выполнить действия:

1), 2) , 3) , 4) .

Решение:

В примере 4 была получена тригонометрическая форма каждого из данных комплексных чисел:

,

1) Чтобы перемножить два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:



2) Чтобы найти частное от деления двух комплексных чисел, нужно найти частное от деления их модулей и разность их аргументов:



.

Заметим, что в рассмотренном примере к полученному аргументу добавлено выражение (период тригонометрических функций и ) для того, чтобы получить значение аргумента из промежутка .

3) Возведение комплексного числа в натуральную степень производится по формуле Муавра:

.



.

4) Существует ровно n корней n-ой степени из комплексного числа:

,

где .

В рассматриваемом примере

, где

при k=0 ,

при k=1 ,

при k=2 .



Заметим, что аргументы получившихся комплексных чисел разбивают единичную окружность на три равные дуги. (Рис. 3).
Пример 6.

Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел и разложить его на множители.



Решение:

Так как многочлен второй степени имеет во множестве комплексных чисел ровно 2 корня, то его разложение на множители имеет вид:

.

Найдем корни многочлена, решив соответствующее квадратное уравнение.







,




Пример 7.

Найти корни многочлена на множестве комплексных чисел и разложить многочлен на множители.

Решение:

Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то число p есть делитель свободного члена а0, а число q есть делитель старшего коэффициента аn.

Найдем рациональные корни данного многочлена (если они существуют). Для этого выпишем все делители свободного члена и старшего коэффициента.

Делители .

Делители .

Следовательно, возможные рациональные корни многочлена:

.

Проверить, является ли число корнем многочлена, можно непосредственной подстановкой, но удобнее это сделать, воспользовавшись схемой Горнера.

Если требуется разделить многочлен степени n на многочлен первой степени , то получим многочлен степени n-1 и остаток R. Тогда имеет место равенство .

Схема Горнера позволяет найти коэффициенты многочлена и остаток R. В случае, если – корень многочлена , остаток R=0. Она представлена в следующей таблице:
























R

В первой строке таблицы записывают коэффициенты многочлена . Во второй строке получают коэффициенты многочлена и остаток R. Старший коэффициент частного () равен старшему коэффициенту делимого (). Следующая пустая клетка заполняется так: берут стоящее над ней число первой строки и прибавляют к нему произведение числа на предыдущий элемент второй строки. Повторяют процедуру до тех пор, пока не дойдут до последнего элемента второй строки, он и равен R.

Составим схему Горнера для рассматриваемого примера и проверим, какой из возможных рациональных корней действительно является корнем многочлена .




3

-4

1

6

-2



3



















3

















Как видно из таблицы, число не является корнем многочлена, так как остаток . (Кстати он равен значению многочлена в точке , то есть ).

Число является корнем многочлена, так как .

Следовательно, имеет место равенство

.

Остальные рациональные корни можем искать, используя многочлен .

Так как число не является корнем исходного многочлена, то оно не может быть и корнем многочлена .

Проверим остальные возможные корни. При этом число может еще раз оказаться корнем (тогда его кратность в исходном многочлене будет ).




3

-7

8

-2



3

-10

18

-20



3

-6

6

0

Число является корнем, поэтому имеет место равенство

и равенство

.

Далее рассмотрим многочлен . Можем и дальше, использовать схему Горнера, но так как заранее неизвестно, если еще рациональные корни и так как полученный многочлен является квадратным, можем решить обычное квадратное уравнение.









Итак, исходный многочлен имеет 4 корня: .

Разложение многочлена на множители имеет вид:

.
Пример 8.

Составить многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если – корень многочлена кратности 2.

Решение.

Так как по условию многочлен имеет действительные коэффициенты, то его комплексные корни являются сопряженными, причем одной и той же кратности.

– корень кратности 2 также корень

кратности 2.

Следовательно, искомый многочлен может быть представлен в виде





.

Похожие:

Примеры выполнения заданий Пример 1 iconМетодические рекомендации по выполнению заданий. Примеры выполнения заданий
Г.), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и мн разделов астрономии
Примеры выполнения заданий Пример 1 icon1 Построение массива 5 2 Дополнительные примеры к заданию 1 9
Методические указания содержат задачи для выполнения индивидуальных заданий по программированию по теме “Одномерные массивы”
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconРекомендации по организации проверки выполнения заданий с развернутым ответом
Проверка выполнения заданий с развернутым ответом осуществляется путем сопоставления с характеристиками верного ответа, указанного...
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconКонтроль качества выполнения заданий по аудиту
Настоящее федеральное правило (стандарт) аудиторской деятельности, разработанное с учетом международных стандартов аудита, устанавливает...
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconНазвание темы: Проценты Класс: 6, базовый уровень
Тест состоит из 10 тестовых заданий. Форма тестовых заданий – закрытая (с выбором одного правильного ответа), время выполнения теста...
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconНазвание темы: Натуральные числа Класс: 5, базовый уровень
К тесту: Тест состоит из 10 тестовых заданий. Форма тестовых заданий – закрытая (с выбором одного правильного ответа), время выполнения...
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconПримеры: Укажите лишнее имя в ряду российских дипломатов
Примеры различных типов заданий, применяемых на школьном и муниципальном этапах олимпиады и уже использованных на них
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconЛабораторная работа №5 Анализ операций с ценными бумагами
Лабораторная работа №5 включает 5 заданий. Для выполнения этих заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом, приведенным...
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconФилософские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий
Философские проблемы математики: Материалы для выполнения учебных заданий. Новосиб гос ун-т. Новосибирск, 2006
Примеры выполнения заданий Пример 1 iconСпособы задания множества
Понятия множества и элемента множества, примеры. Подмножество, собственное подмножество: определения, примеры. Универсальное множество:...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org