1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей



страница1/9
Дата20.01.2013
Размер1.72 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
1. Простое трансцендентное расширение

ассоциативно-коммутативного кольца с единицей

Определение 1. Пусть K и L – ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо L называется простым расширением кольца K с помощью элемента uL, если выполняются следующие условия:

1) K – подкольцо кольца L;

2) ,

и записывают .

Определение 2. Простое расширение называется простым трансцендентным расширением кольца K, если выполняется следующее условие:

из равенства следует, что . Элемент u в этом случае называется трансцендентным элементом над K (относительно K).

Лемма 1. Пусть - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца K с единицей, . Если

и

, то n=m и .

Доказательство. Пусть, например, n m. Тогда можем считать, что . Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим: . Так как u – трансцендентный элемент над K, то из (3) получаем . Поэтому . Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть и - простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец K и K1 с единицами. Если KEK1 и φ изоморфизм K на K1, то E , причем существует единственный изоморфизм ψ кольца на , который переводит элемент u в элемент v (т.е. ψ(u)=v) и продолжает изоморфизм φ.

Следствие 2.1.
Пусть и - простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца K с единицей. Тогда E .
2. Существование простого трансцендентного расширения

ассоциативно-коммутативного кольца с единицей

Лемма 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, L={(a0,a1,a2,,ak,)| ai K, i= и лишь конечное число ai 0}. Тогда множество L является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей e=(1,0,0,,0,) относительно операций, заданных по правилу:

  1. (a0,a1,a2,,ak,)+ (b0,b1,b2,,bk,)= (a0+b0,a1+b1,a2+b2,)(1);

  2. (a0,a1,a2,,ak,)·(b0,b1,b2,,bk,)=(d0,d1,d2,), где d0=a0+b0, d1=a0b1+a1b0, d2= a0b2+a1b2+a2b0 , и т.д., dk= (2).

Доказательство. Так как, например, (1,0,0,,0,) L, то L . Операции сложения и умножения являются алгебраическими на L в силу их задания.

1) Поскольку сложение элементов из L сводится к сложению элементов из K, а K - кольцо, то сложение ассоциативно и коммутативно на L.

2) , причём : и .

3) , причём .

Из 1)-4) L - аддитивная абелева группа.

Покажем, что в L выполняются дистрибутивные законы. Пусть a=(a0,a1,a2,,ak,),b=(b0,b1,,bk,),c=(c0,c1,,ck,) . Покажем, что . Действительно,



Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон. Следовательно, L - кольцо. Покажем, что L - ассоциативное кольцо. Пусть a,b,c L. Покажем, что (ab)c=a(bc). Действительно,

;



.

Покажем, что L - коммутативное кольцо. Из ( ) операция умножения коммутативна на L.

Покажем, что L – кольцо с единицей. Действительно, , причём . Таким образом, мы доказали, что L – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для K существуют простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.

Доказательство. Пусть и лишь конечное число - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Покажем, что L удовлетворяет определениям 1 и 2.

1) Покажем, что K – подкольцо в L. Последовательности вида (k,0,0,) ведут себя при сложении и умножении так же, как и соответствующие им элементы из K, а именно:

(k1,0,0,…)+ (k2,0,0,…)= (k1+k2,0,0,…);

(k1,0,0,…) (k2,0,0,…)= (k1k2,0,0,…).

Поэтому последовательность вида (k,0,0,) можно отождествить с элементом k K, т.е.

.

2) Пусть . Методом математической индукции можно доказать, что . Тогда

(0,0,,0,ak,0,)=(ak,0,0,)·( , N



условие 2) из определения1 выполняется.

  1. Пусть a0=0, a1=0,, an=0.

Из 1)-3) L - простое трансцендентное расширение кольца K. Кроме того, по следствию 2.1 любые два простые трансцендентные расширения кольца K изоморфны. Теорема доказана.

Замечание. Кольцо L, построенное в лемме 1, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца K согласно теореме 1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной (неизвестной) x над кольцом K и обозначается K[x]. Элементы кольца K[x] называются многочленами (полиномами) над кольцом K от переменной x.

Пусть, например, , причём an (по теореме 1). Тогда a0 - свободный или постоянный член многочлена , an - старший коэффициент многочлена .
3. Степень многочлена.

Свойства степени многочлена

Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей существует простое трансцендентное расширение , которое называется кольцом многочленов над K от переменной x. При этом удовлетворяет определению 1 и определению 2, т.е. - ассоциативно-коммутативное с единицей :

1) K K[x];

2) ;

3) .

Определение 3. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, ( ). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f , т.е. deg f =n (степень многочлена – это степень переменной при старшем коэффициенте).

Определение 4. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 . Таким образом, если , то deg (deg N {0}).

Теорема 2. Пусть K ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда:

  1. deg( + max{deg , deg };

  2. deg( · ) deg + deg .

Доказательство.

Пусть , . Пусть, например, m n. Тогда:

1) f+g=

deg(f +g) max{deg f, deg g}.

2) =

deg( ) n+m=deg f + deg g (если и - делители 0 , то deg fg < m+n).

Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть K - область целостности. Тогда deg ( ) = deg f + degg, f,g .
4. Кольцо многочленов над областью целостности.

Делимость в кольце многочленов. Свойства отношения делимости.

Теорема 3. Если K область целостности, то K[х]- область целостности

Доказательство. Пусть K область целостности. Покажем, что K[х] – область целостности. Допустим, что f(x), g(x) , . С другой стороны, deg(f·g) - противоречие. Следовательно, в K[х] нет делителей 0 K[х] - область целостности. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть K область целостности для K[х] существует поле частных.

Определение 5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен , если f(x)=g(x) и обозначается или .

Простейшие свойства отношения делимости в K[x]:

1) рефлексивность ;

2) транзитивность и ;

3) и ;

4) ;

5) .

В общем случае делимость в произвольных кольцах не обязана быть однозначной, т.е. возможно, что a : b= c и a = b , a = b , где . Делимость однозначна в области целостности.

Свойства делимости в области целостности

Отметим, что если K - область целостности, то по теореме 3 K [x] - область целостности.

Свойство 1. Пусть K область целостности, . Если и , то .

Свойство 2. Пусть K область целостности, , . Если то

Свойство 3. Пусть K область целостности,

Тогда f~g : f =g и g = f .
  1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconО некоторых тождествах, влекущих коммутативность ассоциативных колец
Автор показал, что полупервичные кольца и кольца с единицей являются коммутативными, если они удовлетворяют выше приведённому условию...
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconСистемы линейных уравнений. Эквивалентность. Элементарные преобразования
Расширение поля. Простое расширение поля. Алгебраические и трансцендентные элементы
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconВопросы к экзамену «алгебра и теория чисел»
Простые поля, классификация. Расширение подполя, получающееся присоединением подмножества большего поля; простое расширение. Алгебраические...
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconАрмендеризовские групповые кольца
На протяжении данной работы слово «кольцо» означает ассоциативное кольцо с единицей
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconГлава I. Слабо регулярные кольца и модули
В частности, И. И. Сахаевым полусовершенные кольца были охарактеризованы, как слабо регулярные кольца, у которых всякое множество...
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconДополнительные главы алгебры
Кольца главных идеалов и евклидовы кольца. Строение конечнопорожденных модулей над ними
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconТеория колец-2
Определения кольца, левого (правого) модуля над кольцом, левого (правого, двустороннего) идеала кольца. Теорема о гомоморфизме для...
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconО физическом смысле магнитодвижущей силы
На первый взгляд, логично, что единицей магнитодвижущей сила в си является ампер, т к единицей электродвижущей силы , определяемой...
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей iconЦентр полугруппового кольца над произвольной полугруппой
Строение элементов из носителя наибольшего ранга центрального элемента полугруппового кольца к [ISn]
1. Простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с единицей icon1 расчетная схема
К центральной (верхней) части кольца прикладывается сила P1 под заданным углом величина этой силы определяет, насколько миллиметров...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org