Числовым рядом называется выражение



Скачать 223.19 Kb.
Дата31.01.2013
Размер223.19 Kb.
ТипДокументы


1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

  • Числовым рядом называется выражение


,

где , , …, … – числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, – общий член ряда, где ( – множество натуральных чисел).

Пример 1. .

Частичной суммой ряда называется сумма первых членов:

.

Если существует конечный предел , то ряд называется сходящимся и – его сумма, а – остаток ряда. Если же не существует или бесконечен, ряд называется расходящимся.

В редких случаях можно определить сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением. Поэтому необходимо знать правила (признаки), по которым можно судить о сходимости или расходимости ряда. Распределим числовые ряды на два класса: 1) ряды с положительными членами (знакоположительные) и 2) ряды с членами разных знаков (знакопеременные).

Пример 2.

ряд знакоположительный.

Пример 3.

ряд знакопеременный, т. к. знаки чередуются, то он называется знакочередующимся.

Пример 4.

ряд знакопеременный.

Для каждого класса сформулируем правила исследования на сходимость.

При исследовании на сходимость положительных рядов можно идти двумя путями: либо проверить необходимый признак и дальше – по блок-схеме № 1 (рис. 1), либо применять достаточные признаки. Сформулируем признаки сходимости и укажем, как применить их при решении примеров.

1. Необходимый признак.

Если ряд сходится, то .

Обратное утверждение неверно. Проверяя необходимый признак, можно сделать заключение только о расходимости ряда (см. блок-схему № 1).

Пример 5. Ряд – положительный. Применяем необходимый признак: ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость .

Ряд положительный. Проверим необходимый признак:

(см. блок-схему № 1). Вывод: вопрос о сходимости ряда надо решать с помощью достаточных признаков (решение примера 6 см. на стр. 7).

Данный ряд с положительными

членами

Проверяем достаточные признаки: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный

Вывод: ряд сходится

или ряд расходится
Проверяем необходимый признак, находим





Вопрос о сходимости надо решать с помощью достаточных признаков



Ряд расходится
  1. Рис. 1.
    Блок-схема № 1 исследования на сходимость знакоположительного ряда



Сформулируем достаточные признаки.

2. Признак сравнения.

Ряды и – положительные.

а) Если члены данного ряда , начиная с некоторого номера, меньше членов ряда и ряд сходится, то данный ряд сходится.

б) Если члены данного ряда , начиная с некоторого номера, больше членов ряда и ряд расходится, то данный ряд расходится.

Замечание 1. Если члены ряда больше членов ряда и ряд сходится, признак не применим.

Замечание 2. Если члены ряда меньше членов ряда и ряд расходится, признак не применим.

Замечание 3. При использовании признаков сравнения надо знать ряды, с которыми можно сравнить данный ряд. К ним относятся:

  1. ряды , которые составлены из членов бесконечной геометрической прогрессии; при эти ряды сходятся, при расходятся;

  2. – ряд Дирихле, при сходится, при расходится.

Например, ряд составлен из членов геометрической прогрессии и сходится, т. к. .

Ряд расходится, т. к. .

Ряд – ряд Дирихле при , и он сходится, ряд расходится, т. к. .

3. Предельный признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля , то два ряда и одновременно сходятся или расходятся.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд положительный. Воспользуемся признаком сравнения. Общий член данного ряда . Сравним его с рядом , который сходится как ряд из членов геометрической прогрессии со знаменателем . Найдем , из чего следует, что исходный ряд сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд положительный, общий член ряда . Воспользуемся предельным признаком сравнения. В общем члене ряда оставим только старшие степени в числителе и знаменателе: . Ряд расходится как ряд Дирихле при .

.

Данный ряд расходится, т. к. расходится ряд, с которым сравнивали.

4. Признак Даламбера.

Дан положительный ряд .

Если , то при ряд сходится, при – расходится, при признак не применим.

Пример 9. Исследовать на сходимость .
  • Ряд положительный. Применим признак Даламбера


;

.



.

Данный ряд сходится.

5. Признак Коши.
  • Дан знакоположительный ряд .


Если , то при ряд сходится, при ряд расходится, при признак не применим.

Замечание. При решении примеров признак Коши целесообразнее применять в том случае, когда извлекается n-я степень из общего члена ряда.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд положительный, . По признаку Коши

, так как ряд расходится.

6. Интегральный признак.

Пусть ряд – положительный и его члены не возрастают, т. е.

,

и пусть – такая непрерывная невозрастающая функция, что



Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.

Рассмотрим пример 6 (см. стр. 4).

Применим интегральный признак. Так как , .





- конечное число интеграл сходится ряд сходится.

Исследование на сходимость знакопеременных рядов проводим по блок-схеме № 2 (рис. 2). Дадим некоторые пояснения.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из его модулей. Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся, поэтому если сходится, то сходится, причем абсолютно (см. блок-схему № 2). Если ряд из модулей расходится, то знакопеременный ряд может сходиться (тогда он называется условно сходящимся), а может и расходиться. Поэтому ставим вопрос: какой это ряд, знакочередующийся или нет? Если ряд знакочередующийся, то используем признак Лейбница.

7. Признак Лейбница.

Дан знакочередующийся ряд , и выполняются условия: 1) , т. е. члены убывают по абсолютной величине; 2) , тогда знакочередующийся ряд сходится, его сумма и остаток . Теорема Лейбница позволяет исследовать ряд на сходимость, оценить сумму сходящегося ряда и его остаток, что используется в приближенных вычислениях (см. пример 11).

При исследовании знакочередующихся рядов удобно пользоваться блок-схемой № 2.
Ряд - знакопеременный

Составляем ряд из модулей:


Исследуем по блок-схеме № 1


Ряд сходится

Ряд расходится

Ряд сходится абсолютно

Является ли ряд , где знакочередующимся?

да нет

Проверяем монотонность:


Вопрос о сходимости не решен

нет


да
Проверяем

нет да
Ряд расходится

Ряд сходится условно

Рис. 2. Блок-схема № 2 исследования на сходимость знакопеременного ряда

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд знакопеременный, так как может принимать и положительные, и отрицательные значения. Следуя блок-схеме № 2, составим ряд из модулей: и исследуем его по блок-схеме № 1.

Применим признак сравнения. Так как , то для сравнения подберем ряд , который сходится как ряд из членов геометрической прогрессии со знаменателем . Сравним общие члены двух рядов: . Ряд сходится сходится, причем абсолютно.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд знакопеременный. Составляем ряд из его модулей: . Исследуем его по блок-схеме № 1. Применим необходимый признак: ряд расходится. Следуя блок-схеме № 2, ставим вопрос: является ли данный ряд знакочередующимся? Да, является. Проверяем условия Лейбница. Условие 2 не выполняется: ряд расходится.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд .

Ряд знакопеременный. Составим ряд из модулей: . Применим интегральный признак (блок-схема № 1): интеграл расходится ряд расходится.

Ряд является знакочередующимся. Проверим условия Лейбница: 1) ; 2) . Условия выполняются ряд сходится, причем условно.
2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Функциональным рядом называется ряд вида

, (1)

где , , .

Функциональный ряд вида

(2)

называется степенным по степеням .

Тогда ряд вида

– (3)

степенной ряд по степеням .

Ряд (3) может быть получен из ряда (2) заменой .

Множество значений , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Для ряда (3) областью сходимости является интервал, симметричный относительно начала координат (рис. 3). Для ряда (2) область сходимости – интервал, симметричный относительно точки (рис. 4).
-R 0 R x0-R x0 x0+R

Рис. 3 Рис. 4

Число R – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда. В частности, если , то степенной ряд (3) сходится только в одной точке , а степенной ряд (2) сходится в точке . При степенной ряд сходится на всей числовой оси. Для отыскания радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши:

; (4)

, (5)

если этот предел (конечный или бесконечный) существует. На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться или расходиться, поэтому нужны дополнительные исследования.

Пример 14. Найти интервал сходимости степенного ряда

.

Воспользуемся признаком Даламбера.
, где ,

; .

.

Центр интервала в точке , так как ряд по степеням .

0
Исследуем ряд на концах интервала.

При получим числовой знакопеременный ряд .

Ряд знакочередующийся, исследуем его по блок-схеме № 2.

Условия Лейбница: 1) ; 2)

выполняются ряд сходится.

При получим положительный ряд

(применим блок-схему № 1).

Подберем ряд для сравнения: ; ; .

По предельному признаку сравнения



ряд расходится, так как расходится как ряд Дирихле при .

Следовательно, интервал сходимости степенного ряда .
3. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Степенные ряды очень широко применяются в приближенных вычислениях: для вычисления функций, определенных интегралов, численного интегрирования дифференциальных уравнений и т. п.

При этом полезно знать разложение в степенной ряд Тейлора некоторых функций; в скобках указан интервал сходимости ряда.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Пример 15. Вычислить с точностью до 0,0001 , разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав почленно.

Воспользуемся разложением функции , положив .











Получили знакочередующийся ряд Лейбница. Для оценки остатка ряда используем признак Лейбница: . При вычислении интеграла необходимо обеспечить точность 0,0001, т. е. , следовательно, начиная с четвертого члена (0,00002), можно все члены ряда отбросить, вычисления ведем с одним запасным знаком, округляем до 0,0001:

.

Пример 16. Найти пять первых, отличных от нуля членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего условию .

Пусть решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде степенного ряда по степеням :



По условию

(*).

Найдем коэффициенты ряда.

Из условия

; ; .

Дифференцируем обе части дифференциального уравнения:







Подставим найденные коэффициенты в (*):




4. РЯДЫ ФУРЬЕ
Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд

, (6)

где коэффициенты ряда , , (n=1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:

; (7)

(n=1, 2, 3,…); (8)

(n=1, 2, 3,…). (9)

Для четной функции все коэффициенты и соответ-ствующий ряд Фурье не содержит синусов:

, (10)

где

, (n=1, 2, 3,…). (11)

Для нечетной функции все коэффициенты

(n=1, 2, 3,…) и соответствующий ряд Фурье содержит только синусы:

, (12)

где

(n=1, 2, 3,…). (13)

При разложении функции в ряд Фурье в интервале пределы интегрирования в формулах (7), (8) и (9) будут от 0 до , а ряд Фурье будет иметь вид (6).

Пример 17. Разложить данную функцию в ряд Фурье

в интервале (рис. 5).

y

2
1

-2 -1 1 2 x
-1
-2

Рис. 5

Данная функция нечетная в , поэтому ее разложение в ряд Фурье содержит только синусы. Используем формулы (12) и (13), положив .

, где





.

.

Замечание. При отыскании коэффициентов Фурье полезно знать некоторые формулы:

1) , .

2) , , – нечетное.

3) , .

Пример 18. Разложить в ряд Фурье функцию .

Функция задана на двумя формулами. Используем формулы (6) – (9), положив :

,

где разбиваем интеграл на сумму двух, так как функция задана двумя формулами .



;

;

.


  1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ



Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задания контрольной работы № 8. Студент выполняет контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).


ВариантНомер задачи контрольной работы1111213141512212223242523313233343534414243444545515253545556616263646567717273747578818283848589919293949590102030405060
Задачи для контрольных заданий

Исследовать на сходимость следующие ряды:

  1. 6.

  2. 7.

  3. 8.

  4. 9.

  5. 10.



Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

11. 16.

12. 17.

13. 18.

14. 19.

15. 20.
Найти интервал сходимости степенного ряда :

21. 26.

22. 27.

23. 28.

24. 29.

25. 30.
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно:

31. , 36. ,

32. , 37. ,

33. , 38. ,

34. , 39. ,

35. , 40. ,

Найти первые три, отличные от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяюще-го начальному условию :

41. , 46. ,

42. , 47. ,

43. , 48. ,

44. , 49. ,

45. , 50. ,

Разложить данную функцию в ряд Фурье на данном интервале:

51. ,

52.

53. продолжить нечетным образом на (-2, 0)

54. ,

55. ,

56.

57. ,

58. , , продолжить четным образом на (-3, 0)

59. ,

60. ,

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ


  1. Дайте определения числовых сходящихся и расходящихся рядов.

  2. Сформулируйте необходимый признак сходимости числового ряда.

  3. Сформулируйте достаточные признаки сходимости числового ряда.

  4. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда.

  5. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

  6. Дайте определение степенного ряда.

  7. Сформулируйте правило для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

  8. Дайте определение ряда Фурье.

  9. Запишите формулы для нахождения коэффициентов рядов Фурье.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1986. – 480 с.

  2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1985. – 129 с.

  3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966. – 608 с.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. – В.: Высшая школа, 1986. Ч. 1. – 304 с.


ОГЛАВЛЕНИЕ

  1. Числовые ряды ………………………………………………………..………… 3

  2. Степенные ряды ……………………………………………………………….. 10

  3. Применение степенных рядов ………………………………………………... 11

  4. Ряды Фурье ……………………………………………………...…………….. 13

Контрольные задания ………………………………………...……………….. 15

Вопросы для самопроверки …………………………………………………... 18

Список литературы ……………………………………………………………. 19

Похожие:

Числовым рядом называется выражение iconБесконечным рядом (рядом). Если члены ряда : числа, то ряд называется числовым
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число s- суммой...
Числовым рядом называется выражение iconТема № Рациональные неравенства I. Теоретический материал
Запись () означает, что () или. Выражение составленное из чисел и знаков неравенства (), называется числовым неравенством. Выражение...
Числовым рядом называется выражение iconОпределение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Числовым рядом называется выражение iconОпределение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

Числовым рядом называется выражение iconОсновные понятия
Пусть – числовая последовательность, для. Тогда символ, обозначающий последовательное суммирование членов числовой последовательности,...
Числовым рядом называется выражение iconЛекция 22. Числовые ряды. 22 Основные определения. Определение
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Числовым рядом называется выражение icon1. Каким действием можно заменить сумму, чтобы получить верное равенство?
Выражение называется степенью с натуральным показателем. Число a называется основанием степени, а n – показателем степени. Третья...
Числовым рядом называется выражение icon12 поточечная сходимость функционального ряда
...
Числовым рядом называется выражение iconКлассификация алгебраических выражений. Определение многочлена
Алгебраическое выражение называется рациональным относительно переменной величины, входящей в это выражение, если над этой величиной...
Числовым рядом называется выражение icon5. Словарь терминов
Вектором называется величина, характеризующаяся числовым значением и направлением. Вектор изображается отрезком с направлением от...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org