Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1



Скачать 23.78 Kb.
Дата17.02.2013
Размер23.78 Kb.
ТипРешение
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера

1. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго – окуни. Сколько щук поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и окуней?

Ответ. Первый – 2 щуки, второй – 0 щук.

Решение. Из условия следует, что улов первого рыбака равен 9n, а улов второго равен 17k, где n и k — целые неотрицательные числа. Тогда рыбаки поймали по 5n карасей и по 7k окуней. Общий улов составляет 70 рыб, значит, получаем уравнение 9n+17k = 70. Таким образом, 70–17k должно делиться на 9. Перебором находим, что подходит только k = 2, откуда n = 4. То есть первый поймал 36 рыб, а второй — 34 рыбы. Тогда оба рыбака поймали по 5n = 20 карасей и 7k=14 окуней, откуда получаем ответ для щук.

2. По кругу стоят 22 человека, каждый из них – рыцарь (который всегда говорит только правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый из них произнес фразу: «Следующие 10 человек по часовой стрелке после меня – лжецы». Сколько среди этих 22 людей лжецов?

Ответ. 20 лжецов

Решение. Если более 10 лжецов стоят подряд, то один из них говорит правду, значит, такое невозможно. Всего 22 человека, поэтому среди них есть рыцарь. Рассмотрим рыцаря, он говорит правду, значит, 10 следующих за ним людей – лжецы. Так как 11 лжецов подряд стоять не могут, то за 10 лжецами обязан стоять рыцарь, за которым опять стоят 10 лжецов. Всего получается 2 рыцаря и 20 лжецов.

3. Дан равнобедренный треугольник ABC (AC = BC). На сторонах BC, AC, AB отмечены точки A1, B1 и C1 соответственно. Оказалось, что С1B1 перпендикулярно AC, B1A1 перпендикулярно BC и B1A1 = B1C1 . Докажите, что A1C1 перпендикулярно AB.

Решение. Пусть РA = РB = α. Тогда РC = –2α. Треугольник CA1B1 прямоугольный, значит, РCB1A1 = /2–(–2) = 2–. Тогда РA1B1C1 = /2–(2–/2) = –2. Так как B1A1 = B1C1, РB1C1A1 = РB1A1C1 = α.
Значит, РAC1A1 = РAC1BBC1A1 = (/2–α)+ α = /2, то есть, A1C1 перпендикулярно AB.

4. В выражении замените все 98 звёздочек знаками арифметических действий
(– , + , , :) таким образом, чтобы значение полученного арифметического выражения равнялось нулю.

Ответ. Например, . Возможно, есть и другие верные ответы.

5. Можно ли разбить числа от 1 до 100 на три группы таким образом, чтобы в первой группе сумма чисел делилась на 102, во второй группе – на 203, а в третьей группе – на 304?

Ответ. Нельзя.

Решение. Пусть удалось разбить от 1 до 100 числа на группы с суммой чисел 102A, 203B и 304C. Тогда выполнено равенство 102A+203B+304C = 5050 или A+B+C+101(A+2B+3C) = 10150. Стало быть, выражение A+B+C должно делиться на 101, откуда следует, что A+B+≥ 101. Но тогда 102A+203B+304≥ 102(A+B+C) ≥ 102101 > 5050. Таким образом, требуемым образом разбить числа на группы нельзя.

Похожие:

Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconЧетвертый тур дистанционного этапа IV олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач, указания по проверке и оценке 1
Можно ли из пяти одинаковых прямоугольников с периметром 10 составить один прямоугольник с периметром 22?
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconПервый тур дистанционного этапа IV олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач 1
Можно ли в половину клеток доски 12х12 поместить по фишке так, чтобы в одном квадрате 2х2, составленном из клеток доски, было нечётное...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconТретий тур дистанционного этапа олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач 1
Написали два числа — первое и второе. К первому прибавили второе — получили третье, ко второму прибавили третье — получили четвертое...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconВторой тур дистанционного этапа III олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач и указания по оценке 1
Алисой. Схватив перчатки и веер, он побежал к Герцогине (с той же скоростью, что бежал домой). В результате Алиса (которая всё время...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconПервый тур дистанционного этапа III олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач 1
Назовём два положительных целых числа почти соседними, если каждое из них делится (без остатка) на их разность. На уроке математики...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconРешения заданий заочного тура (Интернет-тура) XI республиканской олимпиады имени А. М. Красникова астрономия
Для Северного полушария = 83°17', = 83°17' с ш.; для Южного полушария = —83° 17', = 83°17'ю ш
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconIv математическая олимпиада имени леонарда эйлера решения заданий регионального этапа, критерии проверки 1
Назовем четырехзначное число x забавным, если каждую его цифру можно увеличить или уменьшить на 1 (при этом цифру 9 можно только...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconГомулина Н. Н., методист по физике и астрономии
Данные задачи окружного тура астрономической олимпиады, который прошел в Москве в 14 января 2000 года, рекомендуется использовать...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconРешения задач заочного тура VII открытой олимпиады по химии 2012
Так, из некоторого количества элемента X и 10. 8 г металла a получается соединение, которое легко гидролизуется водой с выделением...
Решения задач 1 традиционного тура олимпиады имени Леонарда Эйлера 1 iconIv олимпиада имени Леонарда Эйлера, заключительный этап Решения заданий первого дн
На стороне bc треугольника abc взята точка d таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку ad проходит через центр вписанной...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org