Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология



страница2/3
Дата08.10.2012
Размер0.73 Mb.
ТипАвтореферат
1   2   3

Апробация работы.

Результаты работы сообщались на Международных, Всесоюзных, Всероссийских и других конференциях и семинарах, в семинарах различных университетов и известных ученых. Опубликованы тезисы сообщений, см. в списке публикаций соискателя, позиции 12 – 30.

1984 – 1990 гг. ежегодные Герценовские чтения в Российском педагогическом университете, Ленинград, С-Петербург. Геометрический семинар в Красноярском государственном педагогическом университете.

1988 г. IX Всесоюзная геометрическая конференция, Кишинев.

Семинар по геометрии профессора Б.А. Розенфельда.

1991 г. Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова, Новосибирск.

1992 г. Международная научная конференция «Лобачевский и современная геометрия», Казань.

1993 г. Третья Международная конференция по алгебре памяти М.И. Каргаполова, Красноярск.

Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, Минск.

1996 г. Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на-Дону.

1997 г. Международный геометрический семинар им. Н.И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», Казань.

1998г. Третья Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск.

Мiжнародная наукова конференция, Чернiвцi.

Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на Дону.

1999. Научно-практическая конференция, посвященная 60-летию Пензенского педагогического университета, Пенза.

Школа-конференция, посвященная 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова, Казань.

2000. Международная конференция «Актуальные проблемы математики и механики», Казань.

Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимову, Ростов-на-Дону.

2001. Второй Всероссийский геометрический семинар, Псков.

Научный семинар математических кафедр Красноярского государственного университета.

2004. Всероссийская научно-методическая конференция «Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе.» Великий Новгород.

2005. XIV Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики», Пенза.

Научный семинар кафедры геометрии Казанского государственного университета.

2006, 2008. Международная школа-семинар по геометрии и анализу, Южный Федеральный Университет, Лиманчик.

2009. Семинар А.С. Мищенко по некоммутативной геометрии, МГУ.

Семинар И.Х. Сабитова по геометрии, МГУ.

Структура и объем.

Работа состоит из предисловия, 10 глав, заключения и приложения; содержит 360 страниц; библиография содержит 68 наименований. По теме диссертации соискателем опубликовано 73 работы.
Содержание работы.

Первая глава содержит краткий обзор необходимых понятий аффинной и евклидовой геометрий; их аналоги затем вводятся и изучаются в одулярных пространствах. Определено галилеево скалярное произведение векторов и галилеево многообразие (обычно рассматриваются евклидовы многообразия и близкие к ним).

Во второй главе изложена геометрия пространства-времени Галилея. Это классическое галилеево пространство.

Скалярное произведение векторов на действительном линейном пространстве вводится следующим образом. Линейное пространство представляется в виде прямой суммы = + . На каждом из подпространств , определено собственноевклидово скалярное произведение векторов. И далее, скалярное произведение векторов = и = из равно

= , если или ;

= , если .

Таким образом, галилеево скалярное произведение векторов на есть пара евклидовых скалярных произведений векторов на подпространствах и пространства (или пара матриц Грамма). Галилеева норма вектора есть

= , если ; = , если .

Галилеево векторное пространство обозначается через . Всякий вектор из есть сумма двух составляющих = , времениподобная составляющая, = пространственноподобная составляющая. Вектор называется евклидовым, вектор , , называется галилеевым. Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Эта специфика галилеева скалярного произведения векторов существенно используется в исследовании галилеевых одулярных пространств. Такой подход к изучению пространства Галилея впервые применен соискателем, см. препринт №63 за 2002 год, где изучается 3-мерное пространство Галилея.

Пространство Галилея есть аффинное пространство, в линейном пространстве которого определено галилеево скалярное произведение векторов.

Регулярная кривая задается векторной функцией класса = , . Изучаются кривые, имеющие галилеев касательный вектор в окрестности некоторой своей точки. Такие кривые задаются в естественной параметризации = , . Для них . Кривые другого вида могут быть изучены в евклидовой геометрии. Кривизна кривой равна , кручение: . Имеется зависимость кривизны и кручения галилеевой кривой с кривизной проекции галилеевой кривой на евклидову плоскость пространства Галилея: .

Получены формулы Френе. Найдены кривые, имеющие постоянные кривизну и кручение.

Регулярная поверхность задается векторной функцией класса = , . Поверхность, имеющая галилеевы касательные векторы, может быть задана в естественной параметризации = , , естественный параметр линий, или в виде = + , здесь время, = векторное поле евклидовой плоскости пространства Галилея. Рассматриваются только такие поверхности. Поверхности, все касательные векторы которых евклидовы, могут быть изучены средствами евклидовой геометрии. Для поверхностей определены и вычислены нормальная, полная, средняя и геодезическая кривизна. Найдены поверхности постоянной нормальной кривизны и поверхности постоянной полной кривизны. Вычислены символы Кристоффеля, получены уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Выписаны дифференциальные уравнения геодезических, имеющих заданную кривизну. Символы Кристоффеля и полная кривизна поверхности относятся к внутренней геометрии поверхности. На поверхности введены геодезические координаты.

В указанном виде геометрия пространства Галилея изучается только соискателем.

Третья глава посвящена одулям Ли и вейлевским одулярным пространствам – ВО-пространствам. Пусть алгебраическая структура с внутренней бинарной операцией, называемой сложением, элементы структуры обозначаются ; и пусть кольцо. Задано отображение , называемое операцией умножения элементов структуры на скаляры из кольца : . Выполняются аксиомы:

, .

Алгебраическая структура называется одулем над кольцом , -одулем, 8. -одули определены Л.И. Сабининым в 1977 году. Л.В. Сабинин, его школа и многие математики мира изучают одули на гладких квазигруппах и лупах и их приложения.

-одуль на группе Ли называется одулем Ли. Элементы одуля Ли называются одулярами. Одули Ли определяются посредством задания внешней операции на группе Ли – операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. Рассматриваются 3-мерные разрешимые одули Ли на многообразиях . Операции сложения троек можно найти в 9. Внешние операции на всех одулях Ли определены соискателем. Существует пять видов 3-мерных разрешимых одулей Ли.
1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Обозначение L , операции:

+ = ; = , .

Элементы линейного пространства называются векторами. Нулевой вектор: , вектор, противоположный вектору = , равен = = .
2. РАСТРАН общего вида. Обозначение: P q. Операции:

+ = ;

= , ; = , ;

где и для . Элементы растрана называются растами. Нулевой раст: ; раст, противоположный расту = , равен = = .

При имеем многообразие Sol, 10, c. 127. Операции:

= ;

= ; , .

Здесь , = .

РАСТРАН однородный (все ). Обозначение , операции:

+ = ;

= , ; = , ;

3. СИБСОН (в 10 многообразие Nil). Обозначение , операции:

+ = ;

= , .

Элементы сибсона называются сибсами; ; = = .

4. ДИССОН. Обозначение . Операции:

+ = ;

= ; = , .

; = = . Элементы диссона называются диссами.

5. ОСЦИЛЛЯТОРНЫЙ ОДУЛЬ. Обозначение , операции

+ = ,

=

, ;

, , .

; = = .

Обозначим: , , . Во всех одулях Ли имеется разложение = = , поэтому множество = является базисом каждого из одулей Ли. Одуляры представляются, соответственно перечислению одулей Ли, матрицами:

, , ,

, , .
Все 3-мерные разрешимые одули Ли являются пододулями одуля Ли аффинных преобразований (описанного соискателем в 1997 году). Каждый одуль Ли есть полупрямая сумма линейных пространств = , подпространство состоит из одуляров , состоит из одуляров . В диссертации содержатся некоторые свойства одулей Ли.

Как группы Ли, 3-мерные разрешимые одули Ли порождаются: тремя одулярами – линейное пространство и растран; двумя одулярами – сибсон, диссон и осцилляторный одуль.

Для одуляров, как и для векторов галилеева пространства, определяется галилеево скалярное произведение и галилеева норма. Нормой одуляра = называется

= , если ; = , если .

Одулярная функция одного параметра есть тройка действительных функций действительного аргумента = , . Считаем, что функции класса . Производная функция одулярной функции определяется с использованием внутренней и внешней операций на одуле Ли:

= = .

Найдены формулы дифференцирования одулярных функций = , , :

в векторном пространстве ,

в растране ,

в сибсоне ,

в диссоне .

Рассмотренный предел отношения приращения функции к приращению аргумента для функции со значениями в осцилляторном одуле не существует. Поэтому осцилляторные функции недифференцируемы.

Для отыскания производных второго порядка одулярных функций, дифференцируем производные первого порядка и т.д. Правила дифференцирования векторных функций на одулярные функции не распространяются; например, производная суммы одулярных функций не равна сумме производных этих функций.

Одулярная функция двух параметров есть тройка = , . Рассматривается случай, в котором функции класса . Частные производные функции двух параметров находятся по правилам дифференцирования функций одного параметра для каждого из одулей Ли. Смешанные производные второго порядка зависят от порядка дифференцирования: .

ВО-пространство есть множество точек W = , для пар точек которого определено отображение в одуль Ли : , т.е. всякой паре точек соответствует единственный одуляр , пишем: ; и выполняются аксиомы Г.Вейля

1. для всякой точки А и всякого одуляра существует единственная точка В, что ;

2. для любых трех точек А, В, С, если , , то .

Одуль Ли называется одулем ВО-пространства W. Одуляры из называются одулярами ВО-пространства W. Для любых трех точек : ; если , то ; .

ВО-пространство является частным случаем одулярных пространств Л.В. Сабинина, 8. Если = , то аффинное пространство. Размерность одуля Ли называется размерностью ВО-пространства . Далее рассматриваются 3-мерные ВО-пространства.

Прямая определяется двумя точками, точкой и ненулевым одуляром: множество точек прямой есть = . Прямая не имеет с прямой общих точек или совпадают с ней. Если одуляры и не перестановочны, и , то прямая не имеет с прямой общих точек. Прямые и называются параллельными для прямой . Имеется два вида параллельности прямых.

Три неколлинеарные точки определяют плоскость, если и только если одуляры порождают 2-мерное линейное пространство или 2-мерный растран. Таким образом, не через всякие три неколлинеарные точки в ВО-пространстве проходит плоскость. В ВО-пространствах с сибсоном, диссоном и осцилляторным одулем Ли имеются тройки неколлинеарных точек, через которые плоскости не проходят (это пространства с одулями Ли, порождаемыми двумя одулярами). Плоскость, порождаемая точкой и одулярами , есть множество точек = .

Точка и базис одуля Ли составляют репер ВО-пространства W, обозначение репера . Координатами точки в репере В называются координаты одуляра в базисе Б. Если , то и . Прямые , и являются координатными осями. Во всяком ВО-пространстве координатная плоскость является аффинной плоскостью.

Считаем, что в одуль Ли ВО-пространства введена галилеева норма, тем самым, каждое из них есть одулярное галилеево пространство-время. Координатная плоскость = Е2 евклидова. ВО-пространство с нормированным растраном называется ЕМ-пространством, с сибсоном – ЕС-пространством, с диссоном – ЕД-пространством, с осцилляторным одулем Ли – ЕО-пространством. В ЕМ-пространстве плоскости и являются ЕМ-плоскостями. В ЕС-пространстве плоскость галилеева. В ЕД-пространстве есть ЕМ-плоскость. В ЕС- и ЕД-пространствах не существует плоскостей с одулярами и . В ЕО-пространстве нет плоскостей с одулярами и одулярами .

В главах 4, 5, 6 построены дифференциальные геометрии ЕМ-, ЕС- и ЕД-пространств. Итоги исследований в геометрии этих пространств подведены в главе 7 и содержатся в теоремах этой главы.

51.1.2. ТЕОРЕМА. Во всех рассматриваемых ВО-пространствах

= , если ,

= , если .

Точка и ненулевой одуляр определяют прямую, как множество точек , по аналогии с прямой аффинного пространства. Параметрические уравнения прямых:

, , в пространстве Галилея;

, , в ЕМ-пространстве;

, , в ЕС-пространстве;

, + ,

в ЕД-пространстве.

Уравнения прямых линейны только в пространстве Галилея.

Плоскостью, определяемой точкой и независимыми одулярами , в случае, если оболочка 2-мерна, называется множество точек

.

2-мерные одули Ли это векторные пространства или растраны. Поэтому всякая плоскость любого из одулярных галилеевых пространств есть либо евклидова плоскость, либо галилеева плоскость, либо ЕМ-плоскость. Через три неколлинеарные точки в ВО-пространстве проходит плоскость и притом единственная, если и только если одуляры и порождают 2-мерный пододуль в одуле Ли ВО-пространства.

Во всяком из рассматриваемых ВО-пространств через всякую точку проходит единственная евклидова плоскость . Все плоскости пространства Галилея евклидовы или галилеевы. Через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Координатные плоскости и галилеевы, евклидова. Каждая из плоскостей ЕМ-пространства либо евклидова, либо ЕМ-плоскость. Через всякие три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Плоскость евклидова, плоскости и являются ЕМ-плоскостями. Все плоскости ЕС-пространства также либо евклидовы, либо галилеевы, но по сравнению с пространством Галилея, в ЕС-пространстве существуют неколлинеарные точки, через которые не проходит плоскость, например, не существует плоскости, имеющей сибсы и , т. к. . Координатная плоскость евклидова, галилеева, точка и сибсы , не определяют никакой плоскости. Каждая из плоскостей ЕД-пространства также либо евклидова, либо ЕМ-плоскость, но не через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Плоскость евклидова, есть ЕМ-плоскость, не существует плоскости с диссами , .

В одулярных галилеевых пространствах плоскости описываются следующими параметрическими уравнениями.

в пространстве Галилея;

в ЕМ-пространстве;

галилеева плоскость в ЕС-пространстве;

ЕМ-плоскость в ЕД-пространстве.

Только в пространстве Галилея уравнения плоскости линейны.

Уравнение евклидовой плоскости во всяком ВО-пространстве: .

Регулярная кривая класса одулярного галилеева пространства задается одулярной функцией = , . Если в окрестности некоторой точки кривой функция постоянная величина, то производная одулярной функции для всех одулей Ли равна = , в этом случае одулярная функция дифференцируется как векторная. производный одуляр является евклидовым. Касательная прямая кривой лежит в евклидовой плоскости ВО-пространства; такие кривые могут быть изучены средствами евклидовой геометрии. Если в окрестности некоторой точки кривой: , то одуляр касательной является галилеевым. Такие кривые изучает одулярная некоммутативная геометрия. В этом случае кривая задается в естественной параметризации

= , .

Одулярная функция представляется в виде двух составляющих

= + , где = .

Составляющая времениподобна, параметр есть время; составляющая пространственноподобна, это кривая евклидовой плоскости, проекция одулярной кривой на евклидову плоскость. Между кривыми каждого из галилеевых ВО-пространств и кривыми евклидовой плоскости имеется взаимно однозначное соответствие

3 Е2.

Для задания регулярной одулярной кривой достаточно задать евклидову кривую . В разных ВО-пространствах одной кривой соответствуют различные по своим свойствам одулярные кривые. Выполняются

52.1.1. ТЕОРЕМА. В пространстве Галилея, в ЕМ- и ЕС-пространстве положение касательной прямой к кривой не зависит от параметризации кривой; в ЕД-пространстве положение касательной зависит от параметризации кривой.

52.1.2. ТЕОРЕМА. В пространстве Галилея и ЕМ-пространстве положение соприкасающейся плоскости не зависит от параметризации кривой; в ЕС- и ЕД-пространстве кривая в общем случае не имеет соприкасающейся плоскости.

Вдоль кривой определено касательное отображение в одуль Ли соответствующего ВО-пространства. Касательное расслоение для каждого ВО-пространства состоит из одулей Ли этого пространства.

Кривизной кривой = + называется величина = ; в пространстве Галилея и ЕС-пространстве , в ЕМ- и ЕД-пространствах . Кручение определяется из равенства , где единичный одуляр главной нормали, единичный одуляр бинормали кривой.

52.2.1. ТЕОРЕМА. Вычислительные формулы кривизны и кручения кривой = + таковы

= , =

в ЕМ-пространстве;

= , =

в ЕС-пространстве;

= ,

= в ЕД-пространстве.

Сопровождающий репер кривой есть В = , состоит из единичных одуляров касательной, главной нормали и бинормали кривой.

52.2.2. ТЕОРЕМА. Формулы Френе кривых одулярных галилеевых пространств

, , ;

в ЕМ- и ЕД-пространствах , в ЕС-пространстве .

52.2.3. ТЕОРЕМА. Кривые = , имеющие постоянную кривизну и постоянное кручение , определяются функциями:

= ,

=

в ЕМ-пространстве;

= ,

=

в ЕС-пространстве;

=

,

=

в ЕД-пространстве.

52.3.1. ТЕОРЕМА. Кривизна , кручение кривой пространства Галилея и кривизна ее проекции на евклидову плоскость связаны соотношением

,

кривой ЕМ-пространства – соотношением

.

В пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве кривые, имеющие постоянную кривизну и постоянное кручение, являются винтовыми линиями.

Для кривых ЕС- и ЕД-пространств не установлено зависимости между кривизной, кручением и кривизной ее евклидовой проекции.

Регулярная поверхность ВО-пространтва описывается одулярной функцией класса двух параметров = , . Считаем, что касательные одуляры в некоторой точке поверхности неколлинеарны, точка называется обыкновенной. Если евклидовы одуляры, то поверхность имеет евклидову касательную плоскость. Такие поверхности могут быть исследованы средствами евклидовой геометрии.

Пусть одуляр галилеев. Поверхность может быть задана в параметризации = , , есть естественный параметр линий. Такую параметризацию поверхности называем естественной (особой). Поверхности в естественной параметризации изучает одулярная галилеева геометрия – геометрия ВО-пространств. Функцию представляем в виде двух составляющих = + , = . Составляющая времениподобна, есть время, составляющая пространственноподобна – это проекция одулярной поверхности на евклидову плоскость ВО-пространства, векторное поле евклидовой плоскости.

Между одулярными поверхностями, имеющими галилеевы касательные одуляры, и векторными полями евклидовой плоскости в каждом из ВО-пространств имеется взаимно однозначное соответствие

3 Е2.

Для задания регулярной одулярной поверхности в 3 достаточно задать векторное поле евклидовой плоскости. В разных ВО-пространствах одному векторному полю евклидовой плоскости соответствуют различные по своим свойствам одулярные поверхности.

53.1.1. ТЕОРЕМА. В пространстве Галилея и ЕМ-пространстве поверхность = в естественной параметризации обладает касательной плоскостью, это галилеева плоскость, соответственно, ЕМ-плоскость. В ЕС- и ЕД-пространствах поверхность в естественной параметризации не обладает касательной плоскостью.

53.1.2. ТЕОРЕМА. В ЕС- и ЕД-пространствах существуют квазиплоскости поверхности, определяемые двумя независимыми одулярами, порождающие весь одуль Ли соответствующего ВО-пространства.

Квазиплоскость, порожденная касательными одулярами поверхности, называется касательной поверхностью. Касательная поверхность поверхности ЕС-пространства описана в п. 42.2.

53.2.2. ТЕОРЕМА. Единичный одуляр нормали поверхности во всех ВО-пространствах равен , .

Нормальная кривизна поверхности в точке определяется равенством

, в пространстве Галилея и ЕС-пространстве , в ЕМ- и ЕД-пространстве .

53.3.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности всякого ВО-пространства равна , где направление на поверхности (и направление в поле ), , , коэффициент определяется равенством

= в пространстве Галилея;

= в ЕМ-пространстве с однородным растраном;

= в ЕС-пространстве, ;

= в ЕД-пространстве, .

Найдены поверхности постоянной нормальной кривизны.

53.3.3. ТЕОРЕМА. Полная (Гауссова) кривизна регулярной поверхности всех галилеевых одулярных пространств равна

.

Найдены поверхности постоянной полной кривизны в пространстве Галилея, в ЕМ- и ЕС-пространстве.

Первая квадратичная форма поверхности = ВО-пространства такова

, или , .

Эта квадратичная форма определяет галилееву метрику на поверхности и имеет то же выражение, что галилеева метрика ВО-пространства, п. 25.3. Вторая квадратичная форма поверхности есть

.

Во всех одулярных галилеевых пространствах вычислены вычислены символы Кристоффеля. С каждой точкой регулярной поверхности связан репер . Пусть



разложения одуляров производных второго порядка функции, задающей поверхность в естественной параметризации.

53.5.1. ТЕОРЕМА. Символы Кристоффеля поверхностей таковы: во всех ВО-пространствах

, , ;

символы имеют значения

в пространстве Галилея,

в ЕМ-пространстве,

в ЕС-пространстве,

в ЕД-пространстве.

53.5.2. ТЕОРЕМА. Символы Кристоффеля относятся к внутренней геометрии поверхности в пространстве Галилея и ЕМ-пространства , т.е. в этих ВО-пространствах символы Кристоффеля выражаются через коэффициент первой квадратичной формы и его производной .

53.5.3. ТЕОРАМА. Для производных и выполняются равенства

= , = ,

т.е. производные единичного одуляра нормали поверхности коллинеарен главному направлению на поверхности (аналог теоремы Родрига).

Имеются зависимости между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхностей одулярных галилеевых пространств и их производными.

53.6.1. ТЕОРЕМА. Формула Гаусса для полной кривизны поверхности такова:

в пространстве Галилея,

в ЕМ-пространстве,

и



в ЕС-пространстве,

,

в ЕД-пространстве.

53.6.2. ТЕОРЕМА. Полная кривизна поверхности выражается через коэффициент первой квадратичной формы поверхности и его производные только в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве; в остальных одулярных галилеевых пространствах функция выражается и через другие функции. Таким образом, в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве полная кривизна поверхности относится к внутренней геометрии поверхности; в ЕС- и ЕД-пространствах полная кривизна поверхности не относится к внутренней геометрии поверхности.

53.6.3. ТЕОРЕМА. Во всех одулярных галилеевых пространствах выполняется общая формула Петерсона-Кодацци:

;

вторая формула Петерсона-Кодацци имеет вид

в пространстве Галилея,

в ЕМ-пространстве,

в ЕС-пространстве,

в ЕД-пространстве.
В ВО-пространствах введена геодезическая кривизна линий на поверхности, получены дифференциальные уравнения геодезических и уравнения линий, имеющих заданную геодезическую кривизну.

Свойства геодезических в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве близки к свойствам геодезических в евклидовом пространстве.

В главе 7 получены кривые одулярных пространств по их кривым скоростей, т.е. по кривым евклидовой плоскости, которые являются пространственноподобными составляющими скорости движения по траекториям в ВО-пространствах. На этой основе установлены натуральные уравнения одулярных кривых. Евклидовы поля скоростей определяют поверхности ВО-пространств.

В главе 8 получены сетевые уравнения 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли – это уравнения 1-мерных пододулей и смежных классов по ним. Рассмотрен пример получения одуля Ли по сетевым уравнениям.

В главе 9 геодезические рассматриваются как траектории точек в преобразованиях. Формулы преобразования , являются параметрическими уравнениями траекторий точек в преобразовании . Установлена

61.2.4. ТЕОРЕМА. Траектории движения многообразия являются кривыми постоянных кривизн.

Рассмотрены поверхности траекторий. Свойства таких поверхностей могут изучаться одулярными методами. Многие поверхности обычных пространств – аффинного, евклидовых и других являются поверхностями траекторий. Тем самым, одулярная геометрия может рассматриваться как часть обычной геометрии.
1   2   3

Похожие:

Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconДвойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности 01. 01. 04 геометрия и топология

Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconДифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология

Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconШихаб геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий 01. 01. 04 геометрия и топология

Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconНекоммутативная геометрия
Основные классы и примеры алгебр
Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология icon«Что такое геометрия?»
Нила. Им была нужна геометрия в строительных целях, когда религия заставила их строить могилы для умерших — пи­рамиды. Само слово...
Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconРабота в графическом редакторе Paint Геометрия в Paint
...
Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconСвязности на оснащенных многомерных поверхностях в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология

Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconПрограмма экзамена по геометрии для студентов 1 года магистратуры (геометрия). Зимняя сессия 2011/12 уч года. Топология. Примеры топологий. Хаусдорфова топология. Гомеоморфизмы. Покрытия. Примеры покрытий
Программа экзамена по геометрии для студентов 1 года магистратуры (геометрия). Зимняя сессия 2011/12 уч года
Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 04 «Геометрия и топология» по физико-математическим наукам

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org