Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии



страница1/5
Дата08.10.2012
Размер1.02 Mb.
ТипЛекции
  1   2   3   4   5
Л.А. Масальцев. Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II.
19. Аффинные связности.
Пусть – гладкие векторные поля на многообразии Обозначим пространство всех гладких векторных полей на через .

Аффинной связностью на многообразии называется правило , по которому каждому векторному полю соответствует линейное отображение векторного пространства в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям:

1) ; 2) ,

где – произвольные гладкие функции на , а . Оператор называется оператором ковариантного дифференцирования по отношению к полю .

Пусть – локальные координаты на и – соответствующие базисные векторные поля. Функции , определяемые из уравнений

, (1)

называются символами Кристоффеля или коэффициентами связности . Если – другая локальная карта на , то в ней имеется другое множество из функций , удовлетворяющих уравнениям . Используя условия 1)-2) из определения связности, можно показать (см. Дубровин и др., параграф 28, теорема 5), что закон преобразования коэффициентов связности при переходе из одной локальной карты в другую имеет следующий вид

. (2)

Обратно, предположим, что имеется покрытие , состоящее из координатных окрестностей , в каждой из которых задан свой набор из функций . Пусть уравнение (2) выполняется для любой пары пересекающихся окрестностей . Тогда мы можем задать аффинную связность , удовлетворяющую условию (1) всюду на .

Отметим, что закон преобразования коэффициентов связности не является тензорным, и поэтому величины не являются компонентами тензора.

Оператор ковариантного дифференцирования можно применять не только к векторным полям (т.е. тензорам типа (1,0)) , но и к произвольным тензорным полям. Для тензорного поля типа (0,1) (т.е. для 1-формы) мы положим

.

В классических руководствах операция ковариантного дифференцирования записывается следующим образом. В силу свойства 2) аффинной связности достаточно определить ковариантную производную вдоль базисного поля . Пусть поле . Тогда и для координат получаем формулу для ковариантной производной тензора типа (1,0)

. (3)

Аналогично можно вывести формулу для ковариантной производной тензорного поля типа (0,1)

.
(4)

Вообще, если есть тензорное поле типа , то имеет следующие локальные компоненты



(5)

Используя аффинную связность , можно ввести понятие параллелизма на многообразии следующим образом.

Пусть , произвольная кривая в многообразии . Пусть – вектор поля скорости при движении точки вдоль кривой . Пусть – векторное поле на вдоль кривой . Предположим, что зависит от гладко. Говорят, что параллельно вдоль кривой , если при любом значении . В терминах локальных координат с и , условие параллелизма вдоль выглядит следующим образом

(6)

Кривая называется геодезической, если векторное поле вектора скорости кривой параллельно вдоль нее. В локальных координатах условие того, что кривая является геодезической, следующее

, . (7)

Поскольку (7) есть система ODE (обыкновенных дифференциальных уравнений), то из теоремы существования и единственности для ее решений получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть – многообразие с аффинной связностью. Пусть – точка в и произвольный касательный вектор. Тогда существует единственная максимальная геодезическая в такая, что и .

Пусть замкнутый подинтервал . Для любого касательного вектора существует единственное векторное поле вдоль такое, что и параллельно вдоль . Отображение , заданное посредством , есть линейный изоморфизм касательных пространств, который называется параллельным переносом вдоль кривой из точки в точку .

Пример. Рассмотрим так называемую плоскую связность, определяемую условием для всех комбинаций индексов (позже мы увидим, что именно такие значения имеют коэффициенты связности евклидова пространства с метрикой ). В этом случае ковариантные производные тензорных полей совпадают с обычными. Уравнение (6) параллельного переноса поля вдоль кривой принимает вид , Следовательно, в плоской связности при параллельном перенесении (независимо от кривой) значения векторов не меняются. Уравнение (7) для определения геодезических примет вид . Очевидно, его решениями будут линейные функции , что согласуется с классическими понятиями о параллельном переносе и геодезических в .

Используя аффинную связность на , можно определить два важных тензорных поля и посредством

, (8)

, (9)

для векторных полей , касательных к . Легко проверить, что есть тензорное поле типа (1,3) , которое называется тензором кривизны (Римана) (curvature tensor). Поле есть тензорное поле типа (1,2) и носит название тензора кручения (torsion tensor) аффинной связности .

Пусть – локальный репер из векторных полей, заданных на открытом подмножестве . Ему отвечает дуальный репер из канонических 1-форм таких, что . Определим 1-форм связности на посредством

, (10)

Линейность форм следует из второй аксиомы аффинной связности. Отсюда получаем, что

. (11)

Пусть функции будут компонентами тензора кручения и тензора кривизны относительно выбранного локального репера, т.е.

, (12)

. (13)

Используя компоненты тензоров кручения и кривизны можно определить 2-формы кручения и 2-формы кривизны посредством

, (14)

. (15)

Канонические формы , формы связности , формы кручения и формы кривизны связаны следующими структурными уравнениями Эли Картана.

Теорема 2. В пространстве аффинной связности справедливы уравнения

, (1-е структурное уравнение), (16)

, (2-е структурное уравнение). (17)

Доказательство. Для векторных полей , касательных к , имеем







.

Мы воспользовались здесь тем, что для любых 1-форм справедливы равенства 1) , 2) .

С другой стороны,



Следовательно, , откуда и получается 1-ое структурное уравнение. Аналогично доказывается и 2-е структурное уравнение, ч.т.д.

Замечание. Для евклидова пространства позже мы покажем, что , и нетрудно убедиться, что данные структурные уравнения совпадают с полученными ранее.
Литература. 1. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия, параграфы 28, 29. 2. Р. Зуланке, П. Винтген, Дифференциальная геометрия и расслоения, гл.2. 3. Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии, т.1, гл. 3.

20. Риманова связность. Риманов тензор кривизны.
Пусть – риманово многообразие с метрикой где .

Аффинная связность на римановом многообразии , удовлетворяющая следующим двум условиям:

, (связность без кручения),

, (метрический тензор параллелен), называется римановой связностью. Условие (1) в локальных координатах для базисных полей имеет вид: , т.к. , (т.к. скобка базисных полей всегда равна нулю). Легко показать, что условие (2) равносильно следующему: .

Теорема 1. На всяком римановом многообразии существует и единственна риманова связность.

Для доказательства получим явные формулы для коэффициентов связности. Пусть локальные координаты на и – соответствующие базисные векторные поля. Обозначим через обратную матрицу к . Поскольку , то .

Циклически переставим индексы и используем симметричность связности . Получим

.

Поскольку матрица имеет обратной , то однозначно определены коэффициенты связности:

.

Прямое вычисление показывает, что аффинная связность, заданная таким образом, является римановой, ч.т.д.

Пусть риманово многообразие с римановой связностью . Изучим свойства оператора кривизны .

Заметим, что если , то для любых векторных полей на евклидовом пространстве . Действительно, если , то и значит, . Следовательно, и

.

Поэтому для евклидова пространства со стандартной метрикой имеем .

Если на некотором римановом многообразии взять базисные поля , то поскольку получим

.

Следовательно, риманова кривизна измеряет степень некоммутативности ковариантных смешанных производных. Поскольку в евклидовом пространстве частные производные коммутируют, то и кривизна евклидова пространства равна нулю.

Выразим компоненты тензора Римана через коэффициенты метрического тензора и их производные. Имеем



.

Отсюда следует, что

. (1)

С помощью метрического тензора можно получить тензор Римана типа (0,4) .

Следующее предложение дает описание свойств тензора кривизны Римана (в скобках записаны те же свойства в локальных координатах).
  1   2   3   4   5

Похожие:

Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconЛекции по дифференциальной геометрии Геометрия гладких многообразий. Пусть гладкое
Пусть – локальные координаты в окрестности точки. Тогда кривая в локальных координатах может быть записана в виде. Кривая называется...
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconГруппы ли и алгебры ли
Гладкие многообразия. Гладкие отображения. Касательное пространство и дифференциал. Векторные поля и коммутатор векторных полей....
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconЛекция 1 Скалярные и векторные поля
Скалярные и векторные поля. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Векторное поле. Векторные линии. Производная по направлению....
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconВопросы к экзамену по дифференциальной геометрии 4 семестр 2010 г. Векторная функция скалярного аргумента. Круговые векторные функции
Векторная функция двух скалярных аргументов. Понятие поверхности. Параметризация. Примеры
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconНекоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии 10 Горизонтальная и вертикальная производные И
Геодезический поток и поля Якоби 32 Глава Интегральная геометрия тензорных полей, вопросы единственности 37
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconСкалярнвые и векторные поля введение векторный анализ
Векторный анализ – это раздел математики, в котором средствами математического анализа изучаются векторные и скалярные функции
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconПрограмма экзамена для студентов магистратуры (5 курс) по курсу «Многомерные аффинные и евклидовы пространства»
Мерные векторные пространства. Базис. Координаты вектора. Примеры векторных пространств
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconТихомиров Николай Борисович
Шелехов Александр Михайлович доктор физико-математических наук, про­фессор кафедры функционального анализа и геометрии Тверского...
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconВ проективной группе
Задание связности в расслоении аффинных реперов превращает его в пространство общей аффинной связности, в структурные уравнения которого...
Лекции по дифференциальной геометрии. Часть II. 19. Аффинные связности. Пусть гладкие векторные поля на многообразии iconПоиск компонент связности графа
Граф задан его матрицей смежности. Требуется определить количество компонент связности этого графа (по материалам главы 3, п. 3 и...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org