Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия



Скачать 66.54 Kb.
Дата19.10.2012
Размер66.54 Kb.
ТипДокументы
Комплексное число – это тонкое и поразительное средство, божественное, духовное, амфибия между бытием и небытием.

Лейбниц

Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока.
Основные понятия.

Число, удовлетворяющее равенству , обозначают в математике i и называют мнимой единицей, . Второй корень уравнения называют сопряженным первому и обозначают i.

В электротехнике используют вместо i (и) букву j (жи), так как i в электротехнике обозначает мгновенное значение силы тока.

Определение

Особенности

Число , где мнимая единица, называется комплексным числом.

x действительная часть комплексного числа.

jyмнимая часть комплексного числа.

Число называется сопряженным комплексному числу



а) при

- чисто мнимое число;

б) при

- действительное число;

в) при

- нуль.






График

Выражения








где j поворотный множитель, при умножении на который вектор поворачивается на 90° против часовой стрелки.


gif" name="object12" align=absmiddle width=70 height=18>


График

Выражения






Комплексное число может быть изображено на плоскости точкой (x;y) или векторомЮ длина которого - модуль комплексного числа, а угол наклона между положительным направлением действительной (вещественной) оси и вектором - аргумент комплексного числа.

; ;



Правило нахождения аргумента комплексного числа.





1) Найти острый угол

;

2) Найти в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, изображающий данное комплексное число.

I четверть

II четверть

III четверть

IV четверть



Упражнение 1.

  1. Дано:



Найти:

a)

б)

Решение:

а)



б) Угол между положительным направлением вещественной оси и самим вектором называется аргументом комплексного числа. аргумент комплексного числа.

Изобразим данные комплексные числа в комплексной плоскости.

Вектор, изображающий комплексное число находится во второй координатной четверти, тогда по правилу нахождения аргумента комплексного числа имеем:



Вектор, изображающий комплексное число находится в четвертой четверти, тогда по правилу нахождения аргумента комплексного числа имеем:



при повороте вектора, изображающего данное комплексное число против часовой стрелки. Но в данном случае гораздо удобнее работать с отрицательным острым углом, который получается при повороте вектора по часовой стрелке. Этот угол вычисляется по формуле

  1. А сейчас снова обратимся к мнимой единице, , где j – поворотный множитель, при умножении на который вектор поворачивается на 90° против часовой стрелки.

Например, если вектор, изображающий данное комплексное число лежит на вещественной оси x. При умножении на j, вектор, изображающий это комплексное число получается поворотом предыдущего на 90° против часовой стрелки и т.д.

а
+j

+j
) б)


5j


5


0

90°


-

+1


0


-

+1

-j

-j

+j


+j


0

90°


-

+1

-5


90°


-

+1

0

-j

-5j

-j

Формы записи комплексного числа.

Алгебраическая

Тригонометрическая

Показательная

Полярная



-

сопряженное число



-

сопряженное число



-

сопряженное число



-

сопряженное число


Для того, чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме, нужно вспомнить соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:




Запишем произвольное комплексное число сначала в алгебраической форме, затем в тригонометрической.

.
Упражнение 2.

Запишите комплексные числа упражнения 1 и во всех других формах.

Решение:

Используя формулу Эйлера: данное комплексное число можно перевести сначала в показательную, а затем в полярную (указывается аргумент и модуль) формы.

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, вычислим модуль комплексного числа и найдем аргумент комплексного числа Воспользовавшись результатами упражнения 1, запишем:







Отсюда понятно, что переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной и полярной формам и наоборот осуществляется через тригонометрическую форму.

Действия над комплексными числами.

В алгебраической форме

1) Сложение:

.

2) Вычитание:

.

3) Умножение:

.

4) деление:

.


В показательной форме

1) Умножение:

.

2) Деление:

.

3) Извлечение корня:

.

4) Возведение в степень:

.

В полярной форме

1) Умножение:

.

2) Деление:

.

3) Извлечение корня:

.

Вывод: алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании; показательная и полярная формы – при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня; тригонометрическая форма служит для перевода из показательной в алгебраическую.

Упражнение 3.

а) Записать комплексное число в показательной форме.

Решение:

Z=50 модуль данного комплексного числа. Чтобы найти аргумент изобразим данное число вектором комплексной плоскости (схематически). По рисунку видно, что .

Имеем:

б) Перевести комплексное число в алгебраическую форму и сравнить с ответом .

Решение:

.







Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.






Формула Муавра;

где k=0, 1, 2,…, n-1

-арифметический корень.

Похожие:

Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconЭлектрические цепи однофазного переменного тока
Изучение основных законов и методов расчета линейных электрических цепей однофазного переменного тока выполняется с помощью программы...
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconУрок «Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока»
Данный урок является интегрированным уроком физика-математика по теме «Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного...
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия icon1 Задание № Анализ электрической цепи постоянного тока
Выполнение задания №1 преследует цель закрепить теоретические положения о методах анализа электрических цепей, а также привить практические...
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconЛекция n основы матричных методов расчета электрических цепей
Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также...
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconРгр №2 Анализ линейных электрических цепей переменного синусоидального тока
Задание I. Анализ электрической цепи с составлением и анализом ее схемы замещения
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconЗаконы и общие методы анализа электрических цепей Тема Основные понятия теории цепей
Предмет и задачи курса. Место курса в подготовке инженера. Краткая история постановки и развития курса. Физические основы
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconПолучение переменного тока
Цель урока: Выяснить условие существования переменного тока; познакомиться с применением переменного тока в быту и технике
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconРавила Кирхгофа
Эти правила были сформулированы Кирхгофом в 1847 году, они используются для расчета разветвленных цепей постоянного и квазистационарного...
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconРуководство пользователя Серия tp витая пара для передачи графического и звукового сигналов
Проверить, чтобы напряжение на входе соответствовало 100~250 в переменного тока при 50 Гц переменного тока
Использование комплексных чисел при символическом методе расчета электрических цепей переменного тока. Основные понятия iconУрок в 11 классе Учитель: Шутов В. И. 2011 2012 уч г
Урок ставит целью знакомство учащихся с методом сложения гармонических колебаний одинаковой частоты с различными амплитудами и начальными...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org