Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства



Скачать 29.56 Kb.
Дата19.10.2012
Размер29.56 Kb.
ТипЗанятие
ЗАНЯТИЕ № 5,6
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

ДРОБНО—РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Рациональные неравенства - это неравенства вида h(x)> q(x) где h(x) и q(x)-рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.
Пример 1. Решить неравенство ( х-1)(х+1) (х-2)>0
Решение:

Рассмотрим выражение f (х)=(х-1)(х+1)(х-2).

Оно обращается в 0 в точках 1; -1; 2; отметим эти точки на числовой прямой


Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка, причём на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак. Как в этом убедиться? Например так: возьмём любую точку х из промежутка (2;+∞). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. Это значит, что х -1>0, х+ 1>0, х -2>0. Но тогда х-1>0 0, х+1> 0, х-2> 0, а значит, и f (х)> 0 (как произведение положительных чисел). Итак, на всём промежутке (2; +∞) выполняется неравенство f (х)> 0
Возьмём любую точку из интервала (1; 2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х> -1, х> 1, но х< 2, а поэтому х+1> 0, х-1> 0, х-2< 0. Но тогда f (х)< 0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1; 2) выполняется неравенство f(х)< 0.
Возьмём любую точку х из интервала (-1; 1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х> -1, но х 1, х< 2, а поэтому х+1> 0, х-1< 0, х-2, 0. Но тогда f (х)>0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, на промежутке (-1; 1) выполняется неравенство f (х)> 0.
Возьмём любую точку х из промежутка (-∞; -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точки -1, левее точки 1, левее точки 2. Это значит, что х < -1, х< 1, х< 2. Но тогда х-1< 0, х+1< 0, х-2< 0, а значит, и f (х)< 0 (как произведение трёх отрицательных чисел). Итак, на всём промежутке (-∞; -1) выполняется неравенство f(х)< 0.
Подведём итоги. Знаки выражения f(х) в выделенных промежутках таковы, как показано на данном рисунке:


Нас интересует, где выполняется неравенство f(х)>0. С помощью геометрической модели устанавливаем, что неравенство f(х)>0 выполняется на интервале (-1; 1) и на открытом луче (2;+∞).
Ответ: х€(-1; 1) U (2; +∞).
Пример 2. Решить неравенство: (х2-х)∕(х2-5х-6<0
Решение:

Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби f(х), содержащейся в левой части неравенства: х2-х=х(х-1) и х2-5х-6=(х+1)(х-6).
Числитель данной дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а знаменатель в точках -1 и 6. Отметим эти точки на числовой прямой:


Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков, причём, на каждом промежутке выражение f(х) сохраняет постоянный знак. Рассуждая как в предыдущем примере, получаем соответствующие знаки

на каждом промежутке. Нас интересует, где выполняется неравенство f(х)<0. С помощью геометрической модели устанавливаем, что х€(-1; 1)U (1; 6).
Пример 3: Решить неравенство: (х-1)2(х+2)<0
Решение: Рассмотрим выражение f(х)=(х-1)2(х+2), отметим точки 1 и -2 на числовой прямой и определим знаки f(х) на заданных промежутках. При х> 1 имеем f(x)>0, при -2 <х<1 имеем f(x)>0, при x<-2 имеем f(x)<0. Значит, решением заданного неравенства служит открытый луч (-∞; -2)
Пример 4. Решить неравенство: (19-х2-4х)∕(49-х2)<3∕(7+x).
Решение:

Преобразуем неравенство к виду (19-х2-4х)∕(49-х2)—3∕(7+х)< 0

И поработаем с левой частью получившегося неравенства. Имеем

(19-х2-4х)∕(7-х)(7+х)—37-х∕(7+х)=(19-х2-4х-3(7-х)∕(7-х)(7+х)=(-х2-х-2)∕(7-х)(7+х)=(х2+х+2)∕(х-7)(х+7). Таким образом, задача сводится к решению неравенства (х2+х+2)∕(х-7)(х+7). Попытаемся разложить на множители числитель алгебраической дроби, содержащейся в левой части неравенства. Речь идёт о разложении на множители выражения х2+х+2. Но дискриминант этого квадратного трёхчлена отрицателен:Д=12-4*1*2=-7. Значит, корней нет, а значит точек пересечения с осью х нет, но ветви параболы направлены вверх. Значит квадратный трёхчлен положителен при всех значениях х. Тогда на него можно разделить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:

Имеем: (х2+х+2)∕(х-7)(х+7)<0

Воспользовавшись методом интервалов, получаем ответ: (-7; 7).

Похожие:

Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconПриказ № от 2011 г. Рабочая программа элективного учебного курса
«Рациональные алгебраические уравнения и неравенства», «Рациональные алгебраические системы», «Иррациональные алгебраические задачи»....
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconРабочая программа элективных курсов по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства»
Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики....
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconТема № Рациональные неравенства I. Теоретический материал
Запись () означает, что () или. Выражение составленное из чисел и знаков неравенства (), называется числовым неравенством. Выражение...
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconРациональные дроби
Дробно-рациональная функция или рациональная дробь – это частное двух целых рациональных функций. Будем рассматривать рациональные...
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconЛинейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным
Основные задачи уроков. Ввести основные понятия неравенств с параметрами. Определить общую схему решения неравенства, приводимого...
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconЛитература Урала. 5а кл. Дедкова Н. С. Литература Урала. 5б кл. Дедкова Н. С. Наша Земля. 5б кл
Факультатив по математике «Рациональные уравнения и неравенства», 9а кл. Самофалова В. В
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconПрограмма вступительных испытаний «математика» Теория чисел, алгебраические преобразования : д есятичная система счисления, п ростые и составные числа, признаки делимости чисел, д еление с остатком, д
Виета, числовые неравенства и их свойства, метод интервалов, рациональные выражения, модуль, уравнения высших степеней
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconПлан проведения проекта 10 класс действительные числа
Действительные числа. Натуральные и целые числа. Делимость чисел. Основная теорема арифметики натуральных чисел. Рациональные, иррациональные,...
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconРациональные дроби
Основное свойство дроби выражается тождеством, где q ≠ 0, r ≠ r-целое рациональное выражение. P и q -рациональные выражения
Занятие №5,6 рациональные неравенства дробно-рациональные неравенства iconЗанятие содержание: Предел функции. Определение предела функции
Короче: число называется пределом функции при х, стремящемся к, если выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org