Назовем соответствующие точки на оси



Дата19.10.2012
Размер77.1 Kb.
ТипДокументы
Исторически то, что мы проходим, разработано математиками XVII века. Система координат, в частности, была введена в работах Декарта, потому и называется «Декартова система координат». Геометрия как наука развивалась с античных времен, однако раньше геометрические построения были делом творческим, а введение системы координат обещало свести все к операциям над числами. Итак, что такое система координат? Каждой точке плоскости вводится в соответствие пара чисел. Для этого выбираются оси координат – взаимно перпендикулярные прямые. Для каждой точки плоскости можно построить прямоугольник, включающий начало координат. Длины сторон прямоугольника в некотором выбранном масштабе и будут координатами точки.
Ну вот мы уже можем решать простейшие задачи, введя систему координат. Допустим, нам даны две точки. У них будут, соответственно, и координаты. Назовем их - первая точка и - вторая точка. Как мы можем посчитать расстояние между точками? А вот как: мы берем и строим прямоугольный треугольник. Гипотенуза будет наше расстояние неизвестное, а катеты будут соответствующими проекциями на оси, то есть и . По теореме Пифагора находим длину гипотенузы как
Давайте рассмотрим пример. Пусть даны точки с координатами (2,3) и (6,6). Расстояние между точками будет
Вторую задачу такую попробуем решить. Допустим, нам даны две точки и отрезок между этими двумя точками. Мы хотим найти на отрезке такую точку, чтобы она делила его в отношении . Обозначим две точки , а искомую точку M. Мы хотим, чтобы отношение длин было равно . Мы в школе проходили теорему Фалеса о том, что параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки на пересекающих их прямых. То есть если мы проведем три прямые, параллельные оси y, через точки , то пропорциональность длин отрезков будет сохраняться – наших искомых отрезков и отрезков, отсекаемых прямыми у оси x. Назовем соответствующие точки на оси x .
Пусть точка M имеет неизвестную искомую координату x, которая соответствует точке A. Тогда можем записать , откуда находим . Точно также мы можем поступить с y-координатой и найти неизвестную y-координату точки как . В частном случае , когда отрезок делится пополам, имеем формулы . Давайте проверим это. Возьмем , первая точка (1,2), вторая точка (3,4). То есть. По нашим формулам получаем x=2, y=3

Давайте проверим, построим эту точку, она действительно лежит посредине.
Следующая наша большая тема – это прямые линии на плоскости. Какое уравнение лини на плоскости? Нужно понять, что такое вообще линия на плоскости. Для этого надо обратиться к понятию функции. Уравнение линии записывается с использованием некоторой функции двух переменных, f(x,y), в виде f(x,y)=0. В некоторых случаях это уравнение будет определять линию. Можем написать уравнение, которое никогда не будет выполняться, например, . А вот уравнение соответствует окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Частный случай такого уравнения – это уравнение прямой. Начнем с простого случая – уравнения прямой пропорциональности. Проведем линию через начало координат. Она будет соответствовать уравнению y-ax=0, где a- это коэффициент пропорциональности. Это легко доказать, поскольку для любых двух точек на прямой их координаты пропорциональны, так как мы можем построить подобные треугольники. И наоборот, если координаты пропорциональны, то точка лежит на прямой. Чтобы обобщить уравнение прямой, мы можем сдвинуть нашу простейшую прямую вдоль оси у на расстояние b. Отсюда получим уравнение y=ax+b. Она будет пересекать ось y в точке b. Коэффициент a называется угловым коэффициентом. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой на прямой получаем , где точки лежат на прямой, а -угол между осью абсцисс и прямой. С помощью выведенного уравнения мы можем построить почти все прямые на плоскости, поскольку мы имеем степень свободы – наклон прямой и степень свободы – сдвиг прямой. Мы не можем описать только те прямые, когда a обращается в бесконечность. Этот случай соответствуеежат на прямой, а еугольника с гипотенузой на прямой получаем ю прямую вдоль оси у на расстояние вт прямым, параллельным оси y. Чтобы объединить все возможные случаи, используют более общее уравнение прямой, в виде Ax+By+C=0. Когда B=0,x=-C/Aэто прямая, параллельная оси y. Иначе разделим уравнение на B и получим у=-Ax/B-C/B. При a=-A/B и b=-C/B это уравнение соответствует нашему первому уравнению прямой y=ax+b. Подразумевается понятным, что все коэффициенты могут быть как положительные, так и отрицательные, чтобы не смущали минусы. Давайте построим какую-нибудь прямую. Например, 4x-2y+1= 0. Разделим все члены уравнения на 2 и приведем к виду y=2x+1/2. Любую прямую можно построить по двум точкам, поэтому нам достаточно знать две точки. при x=0 y=1/2, при x = 1 y=5/2. Имеется теорема о том, что любая прямая на плоскости соответствует какой-либо прямой, записанной с помощью этих трех коэффициентов, и наоборот, каждой прямой, выраженной этим уравнением, соответствует прямая на плоскости. Как обычно, мы должны доказать теорему в обе стороны. В одну сторону: имея прямую на плоскости, можем измерить угол с осью x - . Если угол не 90 градусов, измеряем координату точки пересечения с осью yb и записываем уравнение прямой в виде . Иначе измеряем координату пересечения с осью x - c и записываем уравнение в виде x+c=0. Аналогично доказываем в другую сторону: если коэффициент B не равен нулю, можем найти точку пересечения с осью y и угол наклона и построить прямую. Коэффициент B=0 – строим соответствующую вертикальную прямую.
Следующая тема – уравнение прямой с данным угловым коэффициентом, которая проходит через данную точку. Запишем прямую в виде y=ax+b. Угловой коэффициент нам дан – это a. b нам не дано, зато даны координаты точки , через которую проходит прямая. Факт, что через точку проходит прямая, означает, что если подставить координаты в уравнение прямой, равенство будет выполняться. Отсюда найдем b: . Запишем уравнение прямой в виде или . Например: наклон прямой 3, проходит через точку (1,2). Имеем y-2=3(x-1) или y=3x-1. Еще одна задача – когда угловой коэффициент не дан, а даны просто координаты двух точек, через которые проходит прямая, скажем, . Мы знаем, что через любые две точки можно провести прямую. Подставим эти две пары координат в уравнение прямой с неизвестным угловым коэффициентом: . Вычитаем из первого уравнения второе и находим a:. Далее задача сводится к предыдущей, поскольку мы знаем угловой коэффициент и можем провести прямую через первую точку. Окончательно получаем уравнение . Например: прямая проходит через точки (1,-1) и (3,4). Имеем . Еще одно уравнение прямой называется уравнение прямой в отрезках. Рассмотрим наше общее уравнение Ax+By+C=0. Мы считаем, что A,B,C не равны нулю. Разделим все члены на C и получим

. Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, поскольку такая прямая отсекает отрезки p и q у координатных осей x и y, как показано на рисунке.
Мы получили мощный инструмент для анализа геометрических понятий, потому что мы можем уже не строить прямые, а работать с числами. Так, мы можем найти координаты пересечения прямых. Предположим, нам даны две прямые: . Координаты точки пересечения x,y удовлетворяют обоим уравнениям – x,y, подставленные в первое уравнение, давали бы 0, и x,y, подставленные во второе уравнение, давали бы 0. Умножим первое уравнение на , а второе уравнение на . После этого можем исключить x вычитанием получившихся уравнений и выразить y:. Умножив первое уравнение на , а второе уравнение на , исключим y и выразим x: . Вот мы получили координаты точки пересечения. Обратим внимание, что при знаменатель обращается в 0, то есть решения не существует. В каких случаях решения не существует? Когда эти прямые параллельны. То есть условие - это условие параллельности прямых. Разделим первое уравнение прямой на , а второе – на .

Имеем угловой коэффициент первой прямой , у второй прямой . Когда эти угловые коэффициенты равны, прямые параллельны – или совпадают. Когда угловые коэффициенты равны, прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в бесконечном количестве точек. Это условие совпадает с полученным ранее условием параллельности. Рассмотрим пример пересекающихся прямых: 2x+5y-7=0, 3x+2y-5=0. Подставив в формулы, получим координаты точки пересечения (1,1). Через эту точку проходят обе прямые. В качестве второй точки возьмем для первой прямой (-1.5, 2 ), для второй прямой (0,2.5). На графике можем убедиться, что прямые пересекаются. Как получить условие совпадения прямых? Нужно, чтобы в наших формулах обращался в 0 не только знаменатель, но и числитель. Для этого, из второго уравнения, получим . Вот пример совпадающих прямых: 2x+5y=7, 4x+10y=14. Отсюда видим, что два разных уравнения могут описывать одну и ту же прямую.
Теперь, как найти угол между прямыми. Нам известен угол между прямой и координатной осью. Чтобы найти угол между двумя прямыми, нужно от одного такого угла отнять второй такой угол. Пусть , тогда

Эта формула важна сама по себе, но из нее мы можем получить условие перпендикулярности прямых. Когда угол между прямыми 90 градусов, тангенс угла обращается в бесконечность, следовательно, знаменатель обращается в 0. То есть - это условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим пример. Пусть даны две прямые, 3x-y=1, x+3y=7. Можем найти координаты пересечения, это точка (1,2). Угловые коэффициенты 1/3 и -3, то есть прямые перпендикулярны. Второй точкой возьмем для первой прямой (0,1), для второй прямой (4,1). По построению видим, что прямые перпендикулярны.
Мы уже много знаем про отношения координат на плоскости и можем решить следующую задачу: дана прямая Ax+By+C=0, дана точка M, не обязательно лежащая на прямой. Надо найти расстояние от точки до прямой. Мы знаем, что наименьшее расстояние от точки до прямой будет по перпендикуляру. Перпендикуляр – это отрезок прямой. Мы должны провести вторую прямую, перпендикулярную данной и проходящую через точку M, найти их пересечение, и расстояние от точки пересечения до точки M будет нашим искомым расстоянием. Что для этого делаем? Мы знаем угловой коэффициент перпендикулярной прямой. Если угловой коэффициент данной прямой -A/B,

то угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет B/A, как мы получили из условия перпендикулярности прямых. И мы знаем уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Это будет, как мы знаем, , а a=B/A, то есть . Точка пересечения удовлетворяет уравнению данной прямой, то есть . Из этих двух уравнений мы должны найти координаты точки . Первое уравнение при этом будет иметь вид Давайте ко второму уравнению прибавим и отнимем и запишем его в виде Итого у нас есть два уравнения и два неизвестных; нашими неизвестными являются . Я подставлю первое уравнение во второе и умножу на A, и получу.Отсюда .Аналогично могу поступить для y и получить . Из этих уравнений можно найти расстояние между точками: как мы знаем, . Из-под знака корня можем вынести , а под корнем останется . Окончательно, . Например, точка M с координатами (-6,3), прямая с уравнением 3x-4y+15. Две точки на прямой будут (-1,3) и (-3,1.5).

Похожие:

Назовем соответствующие точки на оси icon9. Скорость материальной точки, движущейся в положительном направлении оси
Скорость материальной точки, движущейся в положительном направлении оси x, меняется по закону v = k x, (k = 2 м/c). При t = 0 координата...
Назовем соответствующие точки на оси iconТест № кинематика
Материальная точка движется вдоль оси х. График зависимости проекции скорости точки на ось х изображен на рисунке. Модуль перемещения...
Назовем соответствующие точки на оси iconТес тригонометрические функции
Изобразите на рисунке и подпишите оси, соответствующие функциям sin t, cos t, tg t, ctg t
Назовем соответствующие точки на оси icon3 Отображение на комплексном чертеже точки, прямой и плоскости
Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x12 и пересекающих эту ось в одной и той же точке Аx (так как проецирование...
Назовем соответствующие точки на оси iconРешение. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки Функция аморфна
В точке нет точки перегиба, поскольку при переходе через эту точку знак 2-ой производной не меняется
Назовем соответствующие точки на оси icon22. 1 Геометрические преобразования плоскости
Осевой симметрией называется преобразование плоскости, при котором образом точки а плоскости будет точка А’, лежащая на перпендикуляре...
Назовем соответствующие точки на оси iconОсновная часть Определение. Произведением точек и назовем точку. При частным от деления точки на точку будем называть точку. Если, то корнем квадратным из точки будем считать точку. Теорема 1
...
Назовем соответствующие точки на оси iconВыполните тест. Решения заданий должны быть записаны в тетрадь!
На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной абсцисса равна чему равна абсцисса другой точки?
Назовем соответствующие точки на оси iconРасчетно-графическая работа №1
Скорость и ускорение точки в проекциях на декартовы и естественные оси координат. Построение траектории точки, графиков скорости...
Назовем соответствующие точки на оси iconГрафическое изображение точки безубыточности
Чтобы графически отобразить анализ точки безубыточности, воспользуйтесь формой, помещенной ниже, или другими аналогичными формами....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org