Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно



Скачать 80.25 Kb.
Дата19.10.2012
Размер80.25 Kb.
ТипДокументы




Производная

Оглавление

1. Таблица и правила нахождения производной. 1

2. Техника дифференцирования 2

3. Касательная к графику функции. Геометрический смысл касательной 3

3.1 Нахождение угла наклона касательной. Нахождение х0 по углу 3

3.2 Параллельность касательной оси Х, какой либо прямой 4

3. 3 Составление уравнения касательной 5

Составление уравнения касательной, если известна абсцисса точки касания х0 5

Составление уравнения касательной, если неизвестна абсцисса точки касания х0 5



1. Таблица и правила нахождения производной.



Таблица производных

f(x) с

kx

xn

n≠-1



sinx

cosx

tqx

ctqx

ex

ax

lnx

x>0

loqax

x>0

f′(x) 0

k

nxn-1



cosx

-sinx





ex

ax lna



gif" name="object6" align=absmiddle width=46 height=38>



Правила нахождения производной

  1. Постоянный коэффициент можно вынести за знак производной.

(СU)′ = C(U)′

Пример:.

(2х2)′ = 2(х2)′= 4х. ( -3 sinх)′ = -3cosx.

  1. Производная суммы равна сумме производных.

(U + V)′= U′ + V′

При наличии суммы производную брать от каждого слагаемого.

у = х3 + ½х2 – 2х, у ′ = 3х2+ х – 2.

3) Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя, умноженная на первый.

(UV)′ = U′V + V′U.

Примеры:

f(x) = xsinx, f′(x) = sinx + xcosx.

y = 2x2tqx, y′ = 2(2xtqx + x2/cos2x)

4) Производная частного равна дроби в числителе - производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, в знаменателе – знаменатель в квадрате.



Примеры:

5) Производная сложной функции

Сложная функция – это функция от другой функции.

Пусть f(x) = 2х2 – 1, пусть нужно найти корень квадратный из этой функции. Получим:

q(x) = , т.е. q(f(x)).

Введем понятия: 2х2 – 1 = f(x) – простая функция, - сложная функция.

Рассмотрим функцию у = sin(2х – π/3). 2х – π/3 – простая функция, sin от нее – сложная.

Производная сложной функции равна производной от простой, умноженной на производную от сложной.

q′(f(x)) = f′(x)q′(f(x)).

Примеры:

У = (2х – 3)3, у ′ = (2х – 3)′((2х – 3)3)′ , у ′ = 2.3(2х – 3)2 , у ′ = 6(2х – 3)2.

У = sin2х, у ′ = (2х)′ (sin2х)′ , у ′ = 2 cos2х .


у = .

Помнить! Если х с минусом, не забыть взять производную от него. (-х)′ = -1.

2. Техника дифференцирования


Многочлен

  1. Привести функцию в стандартный вид: преобразовать выражение так, чтобы каждое слагаемое представляло степень с соответствующим показателем, упростить при возможности выражение;

  2. Определить коэффициент каждого слагаемого;

  3. Найти производную каждого слагаемого, умноженную на коэффициент;

  4. Привести выражение к стандартному виду.


Нахождение производной от многочлена.

Примеры:

у = 2х4 у = 2х4,

у ′ = 8х3 – х2 + ½ х + 10х-1 – ⅔ + ⅔ х5/2 у′ = 8х3 – х2 + ½ х + 10/х + ⅔ х5/2- ⅔

Помнить! .
Общий алгоритм.


  1. Привести функцию в стандартный вид: преобразовать выражение так, чтобы каждое слагаемое представляло степень с соответствующим показателем, упростить при возможности выражение;

  2. Определить коэффициент каждого слагаемого;

  3. Определить вид производной каждого слагаемого;

  4. Определить простую и сложную функции;

  5. Найти производную каждого слагаемого, умноженную на коэффициент;

  6. Привести выражение к стандартному виду.

Примеры:

1) f(x) = 2х2tqx, П. 1 – нет; п.2 – коэффициент -2; п.3 – производная произведения;

п.4 – простые функции.

П. 5 – f ′(x) = 2(2хtqx + ).

2) у = п.1 – переведем в степень: у = 3(2х – 1) – 4 + .

П.2,п.3, п.4 – первое слагаемое – коэфф. – 3, производная степени, 2х – 1 – простая функция, степень – сложная.

П.3,п.4 – второе слагаемое – производная корня квадратного, х2 – 5 – простая функция, корень – сложная.

П.5: у ′ = 2.(-4)(2х – 1) – 3 + у ′ = - 8(2х – 1) – 3 +

3) у = Производная частного, простая функция, синус – сложная. ′ = - 1.

у ′ =

4) f(x) = sin2х. Способ 1. Синус – простая функция , степень 2 сложная.

f′(x) = 2 sinхcosx. f′(x) = sin2х

Способ 2. Преобразуем функцию по формуле половинного угла:

f(x)= f ′(x) = ½ .(-2)(-sin2х), f ′(x) = sin2х

5) у = х е у ′ = е +2 хе.

6) у = ln(3x – 4) , при x> 4/3 получим: у ′ =

7) y =
При х>0.

3. Касательная к графику функции. Геометрический смысл касательной


Касательная к графику функции, дифференцируемой в точке хо – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(xо).

f ′(xо) = k. k = tqα , где α – угол наклона касательной с положительным направлением оси Х.

f ′(xо) = tqα

Уравнение касательной имеет вид: у = f (xо) + f ′(xо)(х - xо).

3.1 Нахождение угла наклона касательной. Нахождение х0 по углу


Т.к. f ′(xо) = tqα, то для нахождения угла наклона касательной нужно:

1. Найти производную функции;

2. Найти значение производной в точке с абсциссой хо, f ′(xо);

3. Найти угол.

Примеры:

  1. Найти угол наклона касательной к оси Х в точке графика функции f(x) = х2 – 4х + 3 с абсциссой хо= 2,5; хо= 3; хо= - 1.

f ′(xо) = tqα.

f ′(x) = 2х – 4, хо= 2,5 f ′(2,5) = 2. 2,5 – 4 = 1, tqα = 1, α = 45

хо= 3 f ′(3) = 2. 3 – 4 = 2, tqα = 2, α = arctq2.

х0 = - 1 f ′(-1) = 2.(-1) – 4 = - 6, tqα = - 6 α = π- arctq6.

  1. Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = , в которых касательная к графику составляет с осью Х угол 45 .

Представим дробь в виде многочлена:

f(x) = 2х2 + х +5 – 1/х, f(x) = 2х2 + х +5 – х-1.

f ′(xо) = tqα, f ′(xо) = 1

f ′(x) = 4х + 1 + х – 2

0+ 1 + 1/х 02 = 1, 4х03 + 1 = 0, х0 =

3.2 Параллельность касательной оси Х, какой либо прямой


Условия параллельности оси Х:

Угол прямой, параллельной оси Х с осью Х равен нулю, следовательно,

tq0 = 0, f ′(xо) = 0.

Запомнить! Условие параллельности касательной оси Х:: f ′(xо) = 0.

Пример:

  1. Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = 12х – 9 tqх + 1, в каждой из которых касательная параллельна оси Х.

Условие параллельности: f ′(xо) = 0.

f ′ (x) = 12 – 9/cos 2х ,

12 – 9/cos 2х = 0, 12 cos 2х – 9 = 0, cos 2х = ¾ , cos х = ± ,

х = ± π/6 + 2πn или х = ± 5π/6 + 2πn, где n = Z.

Условие параллельности какой либо прямой:

Прямые у = k1x + b1 и y = k2x + b2 – параллельны, следовательно,



Касательная параллельна прямой у = kx + b при условии:

f ′(xо) = k, свободные члены (b) при этом не равны.

Запомнить! Условие параллельности касательной оси Х: f ′(xо) = k.
Примеры:

  1. Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = х3 + 3х2 + 9х - 9 , в каждой из которых касательная параллельна прямой у = 6х.

f ′ (x) = 3х2 + 6х + 9 . Так как k = 6, то 3х02 + 6х0 + 9 = 6, 3х02 + 6х0 + 3 = 0,

х02 + 2х0 + 1 = 0, (х0 + 1)2 = 0, х0 = - 1 .

Проверка: уравнение касательной примет вид:

У = - 1 + 3 – 9 – 9 + 6 (х + 1), устанавливаем, что b ≠ о.

Ответ: - 1

3. 3 Составление уравнения касательной


Уравнение касательной имеет вид: у = f (xо) + f ′(xо)(х - xо).

Составление уравнения касательной, если известна абсцисса точки касания х0


  1. Найти f ′ (x);

  2. Найти f(x0);

  3. Найти f ′ (x0) ;

  4. Подставить полученные значения в уравнение касательной;

  5. Привести к виду у = kx + b.

Пример:

  1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = в точке этого графика с абсциссой 7/3.

Уравнение касательной у = f (xо) + f ′(xо)(х - xо), х0 = 7/3
f ′ (x) = , f ′ (7/3) = ,

f(7/3) =

У = 48 – 35(х – 7/3), у = - 35х + 389/3.

Составление уравнения касательной, если неизвестна абсцисса точки касания х0


1. По условию найти абсциссу точки касания х0;

  1. Найти f ′ (x);

  2. Найти f(x0);

  3. Подставить полученные значения в уравнение касательной;

  4. Привести к виду у = kx + b.


Примеры:

  1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 5х2 + 3х – 8 , если угловой коэффициент касательной равен – 17.

Абсциссу точки касания найдем из условия f ′ (x0) = - 17

f ′ (x) = 10х + 3

10х0 + 3 = - 17 , х0 = - 2,

Уравнение касательной у = f (xо) + f ′(xо)(х - xо), х0 = - 2

f(x0) = 20 – 6 – 8 = 6,

у = 6 – 17(х + 2), у = - 17х – 28.
2) Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 5х2 + 20, проходящей через начало координат.

Точка М(0;0) принадлежит только графику касательной , т.к. f(0) = 20 ≠ 0.

Составим уравнение касательной.

у = f (xо) + f ′(xо)(х - xо)

у = 5х02 + 20 + 10х0(х – х0), т.к. М(0;0) принадлежит графику касательной, то у = 0, х = 0. Получим:

0 = 5х02 + 20 + 10х0(0 – х0),

- 5х02 + 20 = 0, х 0 = ± 2,

Составим уравнение касательной, х 0 = 2

у = 40 + 20(х – 2), у = 20х.

х 0 = - 2

у = 40 – 20(х + 2), у = - 20х.

3) Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = в точке пересечения этого графика с прямой у = 3.

Абсциссу точки касания найдем из условия = 3

х = - 3, х0 = - 3.

f ′ (x) = f ′ (-3) = 23,

f(-3) = 3,

у = 3 + 23(х + 3), у = 23х + 72.


Похожие:

Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconПравила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconМузей производной
Закрепление знаний по математике: правила нахождения производной, таблица производных
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconЗанятие №1 Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы,...
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconЧастная производная в точке M(x,y)
Частная производная находится как производная функции по аргументу в предложение, что
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconДифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f
Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconОтвет: Первая производная
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconВыпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй...
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconРуководство администратора Таблица os a sys 1 Таблица os a isp 1 Таблица os a nazn 1 Таблица os a polit 2
...
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconЛекция Интегрирование функций (приложение таблица и свойства интегралов- в отдельных файлах)
Огромное число приложений в различных науках приводят к следующей задаче: по данной функции найти такую функцию, производная которой...
Производная Оглавление Таблица и правила нахождения производно iconПроизводная и дифференциал высших порядков
Если же существует производная от функции, то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org