§ Определение производной. Дифференцирование функций

Скачать 88.91 Kb.

Дата	19.10.2012
Размер	88.91 Kb.
Тип	Документы

Предисловие

Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.

Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознакомиться с теорией и решением типовых примеров изложенных в данных методических указаниях.
§ 1. Определение производной. Дифференцирование функций
Производной функции у = f (x) называется предел отноше-

ния приращения функции к соответствующему приращению аргумента,

когда приращение аргумента стремиться к нулю:

µ §.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается также у' (x) или µ § Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций. Пусть С „Ў R ЎЄ посто-

янная, и = и (х), v = v(x) ЎЄ функции, имеющие производные.

С ' =0 . 2. (Си)' =С u' .

3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u v)’ =u’ v + u v’ .

5.µ § .

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y =

= f (u) дифференцируема по и, а функция и = ц (x) ЎЄ по х , то сложная функция y = f (ц (x)) имеет производную y' =f ' (u) u' (x) .

Таблица производных элементарных функций

1. µ §.

1а. µ §. 1б. µ §.

2. µ §. 2а. µ §.

3. µ §. 3а. µ §.

4. µ §cos u„Є u„S. 5. µ §.

6. µ §. 7. (ctg u)µ §µ §.

8. µ §. 9. µ §.

10. µ §. 11. µ §.

12. µ § (вывод этой формулы см. в п. 1.6).
1.4. Производные второго порядка. Производной второго порядка (второй производной ) от функции µ § называется производная от ее производной, т. е.

µ §.

Вторую производную также обозначают µ § или µ §. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную n-го порядка обозначают µ § или µ §.

1.5. Примеры. Используя правила дифференцирования и таблицу производ-

ных, найдем производные следующих функций:

1)µ §, 2) µ §, 3) µ §, 4) µ §,

5) µ §, 6) µ §, 7) µ §.

Решение.1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени: µ §. Тогда µ §

µ §.

2) Записываем данную функцию в виде степени: µ § и вычисляем:

µ §.

3) Применив формулу 4 п. 1.2 правил дифференцирования, находим:

µ §.

4) Дифференцируя функцию µ § как сложную, находим производную:

µ §.

5) В соответствии с формулой 5 п. 1.2 получаем:

µ §.

6) По аналогии с примером 3 находим:

µ §

µ §.

7) Так как данная функция ЎЄ показательная, то согласно формуле 2 п.1.3,

µ §

1.6. СтепенноЁCпоказательная функция. Выведем формулу для производной степенноЁCпоказательной функции µ §, считая что µ § и µ § дифференцируемые функции и µ §.

Решение. Логарифмируя равенство µ § и дифференцируя обе части полученного равенства µ §, находим: µ §. Следовательно,µ §. Таким образом, получили µ §.

Замечание. СтепенноЁCпоказательная функция дифференцируется как степенная плюс как показательная. Например, производная функции µ §, где х>0, равна

µ §

µ §.

Задание 1. Найти первые производные функций. В заданиях а) и б) дополнительно найти вторые производные.

1. а) у = 3х 5 ЁC µ §; е) у = ln tg(2x+1);

б) у = µ §; ж) у = µ §;

в) у = (х + 1)2 „Є cos5x; з) у = 23х + 7х 7 + µ §;

г) у = arctg(е2x + 3); и) у = µ §;

д) у = µ §; к) у = х arcsin x.

2. а) у = µ §; е) у = x2 „Є cos7x ;

б) у = µ §; ж) у = µ §;

в) у = ( х + 2) „Є µ §; з) у = ln 5 sin x;

г) у = µ § + 8x; и) у = arcsin e 4x;

д) у =µ §+ 3µ §; к) у = µ §.

3. а) у = µ §; е) у = sin 4 х + cos 4 x;

б) у =µ §; ж) у = ln µ §;

в) у = 3х „Є arcsin 2x; з) у = (х2 + 2х + 2) „Є е -х;

г) у = µ §+µ §; и) у = sin(x+ 6) ЁC x „Є cos 4x;

д) у = 3 ctg x + 8µ §; к) у = µ §.

4. а) у = µ §; е) у = х „Є arctg 3x;

б) у =µ §; ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = 3 sin2 x „Є cos 2x;

г) у = ln sin (2x + 5); и) у = µ § ;

д) у = µ §; к) у = µ §.

5. а) у = µ §; е) у = µ §;

б) у = µ § ЁC µ §; ж) у = µ §;

в) у = (ln x +1)2 „Є cos 2x ; з) у = sin2 2x+ cos x ;
г) у = arcsinµ §; и) у = ln tg 5x ;

д) у = 5 tg x + 3µ §; к) у = µ §.

6. а) у = µ §; е) у = arctg x 2 + 7x6 + 2 ;

б) у = µ §; ж) у = µ §;

в) у = (3 ЁC sin 2 x) 3 ; з) у = х 2 „Є ln(x 2 + 1);

г) у = µ § + sin (3x + 9) ; и) у = µ §;

д) у = µ §+ 3; к) у = (sin x) tg x.

7. а) у = µ §; е) у = µ §;

б) у = µ §+ 4x „Є ln x; ж) у = ( х 2 +1) „Є arctg 4x;

в) у =arcsin(3x2 + 2); з) у = ( 2х + 5) „Є µ §;

г) у = µ §; и) у = lnµ §;

д) у = µ §; к) у = µ §.

8. а) у = µ §; е) у = е х „Є cos x;

б) у = µ §; ж) у = 3 х 2 „Є ln x 3;

в) у = arctg µ §; з) у = µ §;

г) у = х „Є arccosµ §; и) у = (2х + 2 cos x) „Є е ЁCх ;

д) у = µ §; к) у = ( sin 2x) cos x .

9. а) у = µ §; е) у = еµ §;

б) у = µ §; ж) у = µ § ЁC ln 4x ;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = µ § + 8x + 7; и) у = cos 100 x + sin 100x ;

д) у = ( х + х 2 ) х ; к) у = µ §.

а) у = µ §; е) у = sin x „Є cos (7x+ 5);

б) у = µ §; ж) у = ( е cos x + 3) 2;

в) у = х 2 „Є µ §; з) у = ln sin (3x + 5);

г) у =arctg µ §; и) у = µ §;

д) у = µ §; к) у = ( х 3 ) ln х.

а) у = µ §; е) у = (1 ЁC х2 ) „Є cos 2x;

б) у = µ §; ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = е ЁCх „Є sin 2x ;

г) у = arctg(ln x) +ln(sinx); и) у = ln 5( x 2 ЁC 1);

д) у = 2 „Є cos (4x+x2); к) у = µ §.

а) у = µ §; е) у = е ctg 3 x;

б) у = µ §„Є arccos µ §; ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = arctg 2 x + 6x2; и) у = ( х 3 + х 2 ) „Є е ЁCх;

д) у = µ § + 7µ §; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у = ln( x 2 + 5);

б) у = µ §; ж) у = х 5 „Є е ЁCх;

в) у = µ §; з) у = arctg µ §;

г) у = ln 3 sin (3x + 3); и) у = µ §;

д) у = µ §; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у = 8х „Є µ §;

б) у = µ §; ж) у = ( 3х +1) 5 „Є cos3x;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = ln (2x3 +3x2 ); и) у = arctg 2 e x ;

д) у = µ §; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у = cos (10x+x3);

б) у = (5х + х 3 ) „Є ln x 2; ж) у = µ §;

в) у = µ § +2sin 4x + 4; з) у = µ §;

г) у = arccos µ §; и) у = ln(4+sin4x);

д) у = 0,7 arctg х; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у =(3х + 2) „Є sin 3x;

б) у = µ §; ж) у = ln 2 tg 2xµ §;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = х „Є arccos x ЁCµ §; и) у = arcsin( e 7x );

д) у = µ §; к) у = (sin2x) x.

a) у = µ §; е) у = е х„Є sin 2x;

б) у = µ §; ж) у = arctgµ §;

в) у = (5 + х 3 ) 2 „Є е ЁCх; з) у = µ §;
г) у = µ §; и) у = cos (3x );

д) у = µ §; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у =( х 2 + 6 ) „Є ln 3x;

б) у = µ §; ж) у = µ § + µ §;

в) у = µ §; з) у = е 3х „Є cos 3x;

г) у = 2tg 3(x 3 + 2) ; и) у = arctg 2 µ §;

д) у = 2 sin 3x; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у = sin 26x + 3x2;

б) у = ln ctg 3 x; ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = arctg(tg 2 x + 2 ); и) у = µ §;

д) у = µ § + 7µ §; к) у = µ §.

20. a) у = x7 ЁC µ §; е) у = µ §ctgµ §;

б) у = µ §arctgµ §; ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = arcsin (e ЁC4x);

г) у = µ §; и) у = µ § + 3µ §;

д) у = ln 2 sin3x; к) у = µ §.

21. a) у = µ §; е) у = µ § + µ §;

б) у = µ §; ж) у = ln 2 arctg x ;

в) у = µ § + 5µ §; з) у =µ §(tgµ §);

г) у = arctg(7sin3x); и) у = µ §;

д) у = µ §; к) у = µ §.

22. а) y = µ §; е) у = µ §;

б) у = tg ( x 2 +3); ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = ln tgµ §; и) у = µ §;

д) у = х 2 „Є arcsin (9x + 2) ; к) у = µ §.

a) у = µ §; е) у = µ §;

б) у = µ § ; ж) у =3 tg 6 x + 7;

в) у = µ §; з) у = 4х „Є arctg (2x+ 9);

г) у = µ §; и) у = µ §;

д) у = µ §; к) у = µ §.

24. a) y = µ §; е) у = tg (x 2 +cos x);

б) у = µ § ; ж) у = µ §;

в) у = µ § arctg x ; з) у = µ § ;

г) у = µ § ; и) у = µ § ;

д) у = µ §; к) у = µ §arctg x .

25. a) у = µ § ; е) у = µ §+ 5µ §;

б) у = tg x +µ §tg 3 x +µ §tg 5 x; ж) у = ln 2 sin x;

в) у = х 3 „Є ( х ЁC 5 cos x ) 2 з) у = arccos µ §;

г) у = µ §; и) у = (1 + 9х ) „Є µ §;

д) у = 5µ §; к) у = ( 1 + х ) cos x.

26. a) у = µ §; е) у = ln(2x ЁC 3);

б) у = µ § „Є x2; ж) у = µ §;

в) у = arctg( x 2+e3x); з) у = (2х3 + 5)4 „Є х 3;

г) у = ln tg (5x+1); и) у = sin 5x+cos 3x 3;

д) у = 3 ln3x; к) у = µ §.

27. а) у = 3x5 ЁC µ § + µ §; е) y = µ §;

б) y = arcsin (3x3 + 4); ж) y = ln cos(5x 3 + 4);

в) y = ( x+ 8) „Є arctg 4x3 ; з) y = ( ctg 3x + 1 )5;

г) y = µ §; и) y = 5µ §;

д) y = 4x „Є ( 1 ЁC 3ln x); к) y = (cos x )µ §.

28. a) y = µ §; е) у = сos 2 x ЁC2ln cos x;

б) у = arctg µ §; ж) у = µ §;

в) у = µ §; з) у = µ §;

г) у = х2 „Є ctg2 x ; и) у = µ §;

д) у = cos 2 5x + 7x; к) у = (cos x ) sin x.

29. а) у = µ §; е) у = arctgµ §;

б) у = µ §; ж) у = µ §;

в) у = (х + 5) 7 „Є sin3x; з) у = (х +1) „Є arccos (x 2 +1);

г) у = µ §; и) у = µ §;

д) у = 52 ctg x ; к) у = (tg x)х.

30. а) у = µ §; е) у = µ §;

б) у = 3х „Є sin 5x + 8; ж) у =х„Є (cos ln x + sin ln x );

в) у = (3 + sin x) 2 „Є x; з) у = µ §;

г) у = µ §; и) у = 0,92µ §;

д) у = µ §; к) у = µ §.
§ 2. Геометрические приложения производной

2.1. Теорема. Если кривая задана уравнением µ §, то значение µ § производной µ § в точке µ § равно угловому коэффициенту µ § касательной к кривой в точке µ §:µ §, где µ § ( рис.1).

Рис. 1.

2.2. Уравнение касательной к кривой µ § в точке µ § имеет вид:

µ § или µ §.
2.3.Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол µ § между двумя прямыми с угловыми коэффициентами µ § и µ § находится по формуле:

µ §,

причем знак “плюс” соответствует острому углу µ §, а знак “минус”ЎЄ тупо-

му.

Если µ §, то касательные ЎЄ взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.
2.4. Пример.Найти уравнение касательной к графику функции µ §, которая параллельна прямой µ §. Сделать чертеж.

Решение. График функции µ § ЎЄ парабола. Так как µ § при µ §, µ §, то вершиной параболы является точка (2; ЁC1). По условию, касательная µ § к параболе и данная прямая µ § с уравнением µ § параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k1 = yЃЊ1 =

µ §, µ §, µ §. Следовательно, x0 = 3 ЎЄ абсцисса точки касания µ § параболы и прямой µ §, µ § ЎЄ ее ордината. Таким образом, уравнение касательной µ § имеет вид: µ § (рис. 2).

Рис.2

Задание 2. Найти уравнение касательной к графику функции

y = f ( x), проходящей параллельно прямой. Сделать чертеж.
1. y = x2 ЁC 4x + 3, y= ЁC 4x ЁC 4. 2. y = x2 ЁC5x + 4, y = 3x + 1.

3. y = x2 ЁC 2x ЁC 3, y = 2x + 2. 4. y = x2 ЁC 6x + 8, y = 2x + 3.

5. y = ЁC x2 ЁC 2x + 3, y = 2x + 1. 6. y = x2 + 2x ЁC 3, y = 4x ЁC 1.

7. y = x2 + 8x ЁC 9, y = 2x + 1. 8. y = x2 + x, y = x ЁC 3.

9. y = x2 ЁC 4x + 3, y = 2x + 4. 10. y = x2 ЁC 6x + 8, y = 4x + 1.

11. y = x2 ЁC 2x ЁC 3, y = 4x ЁC1. 12. y = x2 + 8x ЁC 9, y = 4x.

13. y = x2 ЁC 5x + 4, y = x + 3. 14. y = ЁC x2 ЁC 2x +3, y = ЁC 6x + 4.

15. y = x2 ЁC 4x + 3, y = 4x + 4. 16. y = x2 + 2x ЁC 3, y = ЁC 4x + 2.

17. y = x2 ЁC 6x + 8, y = 6x + 1. 18. y = x2 ЁC 2x ЁC3, y = 6x + 3.

19. y = ЁC x2 ЁC 2x + 3, y = ЁC 2x ЁC 2. 20. y = x2 ЁC 5x + 4, y = ЁC 3x ЁC 1.

21. y = ЁC x2 + 4x, y = 2x . 22. y = x2 + 8x ЁC 9, y = ЁC 2x + 1.

23. y = x2 ЁC 8x ЁC 9, y = ЁC 6x. 24. y = ЁC x2 ЁC 2x + 3, y = 4x ЁC3.

25. y = x2 ЁC 5x + 4, y = ЁC x ЁC 2. 26. y = x2 + 8x ЁC 9, y = 6x.

27. y = x2 + 2x ЁC 3, y = 2x ЁC 2. 28. y = x2 ЁC 6x + 8, y = ЁC 4x + 2.

29. y = x2 ЁC 4x + 3, y = 6x ЁC 6. 30. y = x2 ЁC 2x ЁC 3, y = ЁC 4x +2.

§3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

µ §

3.1. Если функция µ § задана параметрически двумя уравнениями µ §, µ §, µ §, то ее производные вычисляются по формулам:

µ §, µ §.

Примечание. Производные по аргументу µ § иногда, следуя Исааку Ньютону, обозначают точками наверху:µ §, µ §, µ §. В этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:
µ §, µ §.

3.2.Пример 1. Найти µ § и µ §, если функция µ § задана параметрически:
µ § µ §.

Решение.Последовательно находим производные: µ §, µ §; µ §, µ §;

µ §, µ §.

3.3.Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой
µ §

в точке t0 = µ §.

Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у ЁC у0= k ( x ЁC x0 ),

где x0 = t0 cos t0 ЁC 2sin t0 = ЁC 2; у0 = t0 sin t0 + 2 cos t0= µ §. Найдем k = µ §=µ § при t = t0. Так как µ § = cos t ЁC t sin t ЁC 2 cos t = t sin t cos t, µ §=sin t + t cos tЁC

ЁC2sin t= t cos t ЁC sin t , то µ §µ §µ §, поэтомy k = µ §= µ § µ § при t = µ § и уравнение касательной имеет вид:

уµ §.

Задание 3. Для функций, заданных параметрически, найти µ § и µ §.

µ § 11. µ § 21. µ §
µ § 12. µ § 22. µ §
µ § 13. µ § 23. µ §
µ § 14. µ § 24. µ §
µ § 15. µ § 25. µ §
µ § 16. µ § 26. µ §
µ § 17. µ § 27.µ §
µ § 18. µ § 28.µ §
µ § 19. µ § 29.µ §
µ § 20. µ § 30.µ §

§4. Дифференцирование неявных функций
4.1. Говорят, что уравнение µ § задает неявно функцию µ §, на интервале µ §, если для всех µ § выполняется равенство F ( x; y (x)) = 0.

Для вычисления производной функции µ § следует продифференцировать по µ § тождество µ §, помня, что µ § есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно µ §.

4.2.Пример 1. Найти значение µ § в точке µ § для функции, заданной неявно уравнением µ §.

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом µ § функцией от x, получаем:

µ §,

откуда

µ §.

Полагая x = 1, y = ЁC1, находим µ §.
4.3.Пример 2. Найти величину угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривой x2 + y2 ЁC 4 x + 4 y + 3 = 0 с осью Ox. Сделать чертеж.

Р е ш е н и е. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:
y' =µ § (*)

Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:
µ §
Таких точек две: А(1;0) и В(3;0). Полагая x =1, y =0, находим согласно (*) угловой коэффициент k1 касательной к данной кривой в точке А:

k1 = у' (А ) = µ §=µ §.

Аналогично находим угловой коэффициент k2 касательной в точке В:

k 2 = у' (В ) = µ §. Угол и удовлетворяет равенству µ §, значит

µ § tg и = µ §µ §, откуда и = arctg (ЁCµ §) „l 126055'.

Прежде чем сделать чертеж , преобразуем данное уравнение в уравнение (х ЁC 2) 2 + (у + 2) 2 = 5, которое определяет окружность с центром О'(2;2) и радиусом R=µ § ( рис.3).

Рис.3

Задание 4. Найти значение µ § в точке М(x0,y0) для функций, заданных неявно.

1. x3 ЁC 2x2 y2 + 5x + y ЁC 5 = 0, M (1; 1).

2. x2 + 2xy2 + 3y4 ЁC 6 = 0, M (1; ЁC1).

3. x4 ЁC 6x2y2 + 9y2 ЁC 5x2 + 15y2 + 4 = 0, M (2; 1).

4. x3 + y3 ЁC 3xy + 1 = 0, M ( ЁC2;1).

5. 5x2 + 3xy ЁC 2y2 + 2 = 0, M (0; 1).

6. x2 + y2 ЁC 4x ЁC 10y + 19 = 0, M (3; 2).

7. x3 + x2y + y2 ЁC 13 = 0, M (1; 3).

8. x3 ЁC 2x2 + y2 = 0, M (1; 1).

9. x2 + 5xy + y2 ЁC 2x + y ЁC 6 = 0, M (1; 1).

10. x5 + y5 ЁC 2xy = 0, M (1; 1).

11. x2 + xy + y2 = 7, M ( ЁC1; ЁC2).

12. 2x3 ЁC xy + y ЁC 2 = 0, M (1; 5).

13. 3x2 ЁC xy + y ЁC 3 = 0, M (1; ЁC2).

14. x2 + 2y2 + 6x ЁC 4y ЁC 13 = 0, M (1; ЁC1).

15. 3x2 ЁC 5y2 ЁC 6x ЁC 20y + 25 = 0, M (2; 1).

16. 4x2 + y2 + 8x ЁC 4y + 3 = 0, M (0; 1).

17. 2x2 ЁC 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0, M (2; ЁC1).

18. x3 ЁC xy + y + 7 = 0, M ( ЁC1; ЁC3).

19. x4 ЁC y2 ЁC y ЁC 1 = 0, M (1; 0).

20. x3 + 2xy2 + y + 11 = 0, M ( ЁC1; ЁC2).

21. x3 + 5xy + y3 ЁC 7 = 0, M (1; 1).

22. 3x2 ЁC xy + y3 ЁC x = 0, M (0; 2).

23. x 6 + y 6 ЁC 2xy = 0, M (1; 1).

24. x 2 +x2 y ЁC y2 ЁC y = 0, M (1; 1).

25. 7x2 + xy ЁC y3 + 3 = 0, M (1; ЁC2).

26. x2y2 + xy + x2 ЁC 7 = 0, M (1; 2).

27. 2x5 + y5 ЁC 2xy + 26 = 0, M (1; ЁC2).

28. 3x2 ЁC xy + y 2 + x ЁC 34 = 0, M ( ЁC2; 4).

29. x2 ЁC x2 y + y 2 = 13, M ( ЁC1; ЁC3).

30. x2 y2 ЁC 4y3 ЁC x = 4, M (0; ЁC1).

Задание 5. Найти угол между касательными, проведенными в

точках пересечения кривой F ( x; y) = 0 c oсью Оx .Сделать чертеж.

1. x 2 + x 2 ЁC 2x + 4y ЁC3 = 0. 2. x 2 + y 2 + 4x ЁC 4y + 3 = 0.

3. x 2 + y 2 + 2x ЁC 2y ЁC 4 = 0. 4. x 2 + y 2 ЁC 4y ЁC 4 = 0.

5. x 2+ y 2 + 2x + 2y ЁC3 = 0. 6. x 2 + 6x + y 2 ЁC 2y + 6 = 0.

7. x 2 + y 2 ЁC 10 x+ 9 = 0. 8. x 2 + 10x+ y 2 ЁC 6y +16 = 0.

9. x 2 + 4x + y 2 + 2y ЁC 4 = 0. 10. x 2 + y 2 + 4x ЁC 4 = 0.

11. x 2 + y 2 + 10x + 9 = 0. 12. x 2 ЁC 6x + y 2 ЁC 6y + 8 = 0.

13. x 2 + y 2 ЁC 14x + 40 = 0. 14. x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 = 0.

15. x 2 + y 2 + 6x + 6y + 8 = 0. 16. x 2 + y 2 + 14x + 40 = 0.

17. x 2 + y 2 + 6x ЁC 6y + 8 = 0. 18. x 2 + y 2 + 4x ЁC 2y ЁC 4 = 0.

19. x 2 + y 2 ЁC 2x + 6y ЁC 6 = 0. 20. x 2 + y 2 ЁC 6x + 2y + 1 = 0.

21. x 2 + y 2 + 6x + 2y + 1 = 0. 22. x 2 + 6x + y 2 ЁC 2y + 1 = 0.

23. x 2 + y 2 + 2x + 4y ЁC 4 = 0. 24. x 2 + y 2 ЁC 6x ЁC 2y + 6 = 0.

25. x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0. 26. x 2 + 4x + y 2 ЁC 2y ЁC 3 = 0.

27. x 2 + y 2 ЁC 4x + 2y + 3 = 0. 28. x 2 + y 2 ЁC 6x + 6y + 8 = 0.

29. x 2 + 4x + y 2 ЁC 2y + 3 = 0. 30. x 2 + y 2 ЁC 2x + 4y ЁC 20 = 0.

§ 5. Правило Лопиталя
5.1. При раскрытии неопределенностей µ §,µ § кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:

Eсли µ § или µ § и существует предел отношения их производных µ §, то µ §.

Это правило справедливо и в случае µ §.
Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

а) µ §; б) µ §; в) µ §.

Решение. Убедившись, что имеет место случай µ § или µ §, применяем правило Лопиталя.

а) µ §,

б) µ §.
Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

в) µ §.

5.2. При раскрытии неопределенностей µ § для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям µ § или µ § путем алгебраических преобразований.

Пример 2. Найти пределы:

а) µ §; б) µ §.

Решение: а) Имеем неопределенность µ §. Приведем эту неопределенность к неопределенности µ §, а затем применим правило Лопиталя:

µ §.

б) Имеем неопределенность µ §. Преобразуем к неопределенности µ §, после чего применим правило Лопиталя:

µ §µ §

µ §.
5.3. При раскрытии неопределенностей µ §, µ §, µ § рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.

Пример 3.Вычислить µ §.

Решение. Имеем неопределенность µ §. Введем обозначение

µ §, тогда µ §. µ §.

Получили неопределенность µ §, применяем правило Лопиталя:

µ §µ §. Так как
µ §. Следовательно µ §.

Задание 6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
1. а) µ §, б) µ §.

2. а) µ §, б) µ §.

3. а) µ §, б)µ §.

4. а) µ §, б)µ §.

5. а) µ §, б)µ §.

6. а) µ §, б)µ §.

7. а) µ §, б) µ §.

8. а) µ §, б) µ §.

9. а) µ §, б) µ §.

10. а) µ §, б) µ §.

11. а) µ §, б) µ §.

12. а) µ §, б) µ §.

13. а) µ §, б) µ §.

14. а) µ §, б) µ §.

15. а) µ §, б) µ §.

16. а) µ §, б) µ §.

17. а) µ §, б) µ §.

18. а) µ §, б) µ §.

19. а) µ §, б) µ §.

20. а) µ §, б) µ §.

21. а) µ §, б)µ §.

22. а) µ §, б) µ §.

23. а )µ §, б) µ §.

24. а ) µ §, б) µ §.

25. а) µ §, б) µ §.

26. а) µ §, б) µ §.

27. а) µ §, б) µ §.

28. а) µ §, б) µ §.

29. а) µ §, б) µ §.

30. а) µ §, б) µ §.

§ Определение производной. Дифференцирование функций

Похожие: