Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики



Скачать 61.49 Kb.
Дата19.10.2012
Размер61.49 Kb.
ТипУрок

Урок 1


Производная — центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики.

Производная функции.


Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Тогда для любой точки x  U(x0) разность x − x0 обозначается ∆x и называется приращением аргумента, соответствующая разность значений функции f(x) – f(x0) обозначается ∆f(x0) и называется приращением функции. Так как x = x0 + ∆x, то ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0).

Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции Δf(x0, Δx) к соответствующему приращению аргумента Δx, если приращение аргумента стремится к нулю:



Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке.

Найдем производную функции f(x)= cos x в точке хо с помощью определения.

1) значению x = хо придаём приращение Δx;

2) находим приращение функции f(x)= cos x в точке хо:

f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = cos (x0 + ∆x) – cos(x0);

3) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при :







Итак, получили

(cos x0) = –sin x0.

Найдем производную функции в точке хо (хо > 0) с помощью определения.

1) значению x = хо придаём приращение Δx (│Δx< х0 );

2) находим приращение функции gif" name="object9" align=absmiddle width=72 height=25>в точке хо:

f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = ;

3) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при :





.

Итак, получили

.

Найдем производную функции f(x)= tg x в точке хо с помощью определения.

1) значению x = хо придаём приращение Δx;

2) находим приращение функции f(x)= tg x в точке хо:

f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = tg (x0 + ∆x) – tg (x0);

3) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при :







Итак, получили

.

Если же попробовать вычислить производную по этой же схеме, например, функции , то  это будет очень сложный и трудоемкий процесс. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Таблица производных основных элементарных функций


1)  (ха) = a xa1;

2)  (ax)  = ax ln a, a > 0, a  1; (ex) = ex;

3) 

4)  (sin x) = cos x;

5) (cos x) = –sin x;

6) 

7) 

8)
Основные правила нахождения производных

Если элементарную функцию умножить на произвольное число, то производная новой функции тоже можно легко найти:

(c f)  = c f .

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:



Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать и делить. Так появятся новые функции, дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрим ниже.
Пусть с const, = v(x) и u(x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке . Тогда:

1) (c) = 0; 2) (x) = 1;

3) (+ v) = u + v; 4) ( v) = u  v;

5) (c u) = c u; 6)

7) (u v) = u+ u v; 8)

9)

Далее для усвоения всего сказанного ранее рассмотрим примеры с подробным описанием каждого шага решения.

Пример 1. Найти производную функции y = 3x5 + 6x7 − 8х3 + x2 − 12 в точке x0 = –1.

Решение

y' = 3(x5)' + 6(x7)' − 8(х3)' + (x2)' − (12)' = 15x4 + 42x6 − 24х2 + 2x.

Тогда производная функции в точке x0 = –1:

y'(–1) = 15(–1)4 + 42(–1)6 − 24(–1)2 +2(−1) = 15 + 42 – 24 − 2 = 31.

Пример 2. Найти производную функции в точке x0 = 1.

Решение

Преобразуем функцию:



Тогда





Производная функции в точке x0 = 1:


Пример 3. Найти производную функции в точке x0 = 1.

Решение

Преобразуем функцию

.

Тогда



Производная функции в точке x0 = 1:


Пример 4. Найти производную функции в точке x0 = π/2.

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций:

(uv) = uuv.

Тогда





Производная функции в точке x0 = π/2:


Пример 5. Найти производную функции в точке x0 = π/4.

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций:

(uv) = uuv.

Тогда

.

Производная функции в точке x0 = π/4:


.

Пример 6. Найти производную функции в точке x0 = 1.

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной частного:



Тогда





Производная функции в точке x0 = 1:



Пример 7. Найти производную функции в точке x0 = 0.

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной частного:



Тогда



Производная функции в точке x0 = 0:



Контрольные вопросы.

1). Что такое приращение аргумента и приращение функции?

2) Дайте определение производной функции в точке.

3). Сформулируйте алгоритм нахождения производной по определению.

4). Почему производная константы равна нулю?

5). Чему равна производная суммы?

6) Продолжить формулы:

;



7) Найти производные следующих функций:

а)  б) y = 2x + sin x; в) = logx + 4.

8) Продолжить формулы:







(loga x)'= …; (ctg x)'= …;

9). Когда рациональнее вместо производной частного находить производную суммы?

10). Как дробь представить в виде произведения?

11). Чему равна производная произведения?

12). Чему равна производная степенной функции?

Похожие:

Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconПроизводная и дифференциал высших порядков
Если же существует производная от функции, то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке...
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconДифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функ­ции
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconПроизводная с понятие производной. Вычисление производной по определению
Пользуясь определением производной, найдите производную функции в каждой точке области определения
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconЛекция Производная функции 2
Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconЧастые вопросы об образовательных турах
Может. Персонал школы сможет объяснится с таким студентом жестами, но эффективность от поездки будет выше при знаниях хотя бы на...
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconСтановление и развитие анализа (Коши О, Эйлер Л, Лопиталь г и др.)
Понятие предела – фундамент математического анализа в XIX в
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconМетодическая разработка удк 517 Предел и некоторые способы его вычисления
Понятие предела широко используется уже в школьном курсе математики, хотя и не входит в обязательную программу. Изучение этого раздела...
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconВысшая математика общие сведения
Основные понятия математического анализа (функция, предел, производная, интеграл) позволяют исследовать математически не только состояния,...
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconОтвет: Первая производная
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение
Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики iconИ структура курса история русской литературной
О том, что даже у самых сильных произведений бывают слабые стороны, что почти любой классик писал не только на классическом уровне,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org