Урок 1 Производная центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики

Урок 1 Производная — центральное понятие математического анализа. Освоить производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики. Производная функции. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Тогда для любой точки x  U(x0) разность x − x0 обозначается ∆x и называется приращением аргумента, соответствующая разность значений функции f(x) – f(x0) обозначается ∆f(x0) и называется приращением функции. Так как x = x0 + ∆x, то ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0). Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции Δf(x0, Δx) к соответствующему приращению аргумента Δx, если приращение аргумента стремится к нулю: Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке. Найдем производную функции f(x)= cos x в точке хо с помощью определения. 1) значению x = хо придаём приращение Δx; 2) находим приращение функции f(x)= cos x в точке хо: ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = cos (x0 + ∆x) – cos(x0); 3) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при : Итак, получили (cos x0) = –sin x0. Найдем производную функции в точке хо (хо > 0) с помощью определения. 1) значению x = хо придаём приращение Δx (│Δx│< х0 ); 2) находим приращение функции gif" name="object9" align=absmiddle width=72 height=25>в точке хо: ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = ; 3) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при : . Итак, получили . Найдем производную функции f(x)= tg x в точке хо с помощью определения. 1) значению x = хо придаём приращение Δx; 2) находим приращение функции f(x)= tg x в точке хо: ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = tg (x0 + ∆x) – tg (x0); 3) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при : Итак, получили . Если же попробовать вычислить производную по этой же схеме, например, функции , то  это будет очень сложный и трудоемкий процесс. Поэтому существуют более простые и эффективные способы. Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными. Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные. Таблица производных основных элементарных функций 1)  (ха) = a xa–1; 2)  (ax)  = ax ln a, a > 0, a  1; (ex) = ex; 3)  4)  (sin x) = cos x; 5) (cos x) = –sin x; 6)  7)  8) Основные правила нахождения производных Если элементарную функцию умножить на произвольное число, то производная новой функции тоже можно легко найти: (c f)  = c f . В общем, константы можно выносить за знак производной. Например: Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать и делить. Так появятся новые функции, дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрим ниже. Пусть с = const, v = v(x) и u = u(x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке . Тогда: 1) (c) = 0; 2) (x) = 1; 3) (u + v) = u + v; 4) (u – v) = u – v; 5) (c u) = c u; 6) 7) (u v) = u v + u v; 8) 9) Далее для усвоения всего сказанного ранее рассмотрим примеры с подробным описанием каждого шага решения. Пример 1. Найти производную функции y = 3x5 + 6x7 − 8х3 + x2 − 12 в точке x0 = –1. Решение y' = 3(x5)' + 6(x7)' − 8(х3)' + (x2)' − (12)' = 15x4 + 42x6 − 24х2 + 2x. Тогда производная функции в точке x0 = –1: y'(–1) = 15(–1)4 + 42(–1)6 − 24(–1)2 +2(−1) = 15 + 42 – 24 − 2 = 31. Пример 2. Найти производную функции в точке x0 = 1. Решение Преобразуем функцию: Тогда Производная функции в точке x0 = 1: Пример 3. Найти производную функции в точке x0 = 1. Решение Преобразуем функцию . Тогда Производная функции в точке x0 = 1: Пример 4. Найти производную функции в точке x0 = π/2. Решение Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv) = uv + uv. Тогда Производная функции в точке x0 = π/2: Пример 5. Найти производную функции в точке x0 = π/4. Решение Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv) = uv + uv. Тогда . Производная функции в точке x0 = π/4: . Пример 6. Найти производную функции в точке x0 = 1. Решение Воспользуемся правилом нахождения производной частного: Тогда Производная функции в точке x0 = 1: Пример 7. Найти производную функции в точке x0 = 0. Решение Воспользуемся правилом нахождения производной частного: Тогда Производная функции в точке x0 = 0: Контрольные вопросы. 1). Что такое приращение аргумента и приращение функции? 2) Дайте определение производной функции в точке. 3). Сформулируйте алгоритм нахождения производной по определению. 4). Почему производная константы равна нулю? 5). Чему равна производная суммы? 6) Продолжить формулы: ; 7) Найти производные следующих функций: а)  б) y = 2x + sin x; в) y = log3 x + 4. 8) Продолжить формулы: (loga x)'= …; (ctg x)'= …; 9). Когда рациональнее вместо производной частного находить производную суммы? 10). Как дробь представить в виде произведения? 11). Чему равна производная произведения? 12). Чему равна производная степенной функции?

Похожие:

	Производная и дифференциал высших порядков Если же существует производная от функции, то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке...		Дифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический смысл Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функ­ции
	Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению Пользуясь определением производной, найдите производную функции в каждой точке области определения		Лекция Производная функции 2 Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную. Тогда обратная...
	Частые вопросы об образовательных турах Может. Персонал школы сможет объяснится с таким студентом жестами, но эффективность от поездки будет выше при знаниях хотя бы на...		Становление и развитие анализа (Коши О, Эйлер Л, Лопиталь г и др.) Понятие предела – фундамент математического анализа в XIX в
	Методическая разработка удк 517 Предел и некоторые способы его вычисления Понятие предела широко используется уже в школьном курсе математики, хотя и не входит в обязательную программу. Изучение этого раздела...		Высшая математика общие сведения Основные понятия математического анализа (функция, предел, производная, интеграл) позволяют исследовать математически не только состояния,...
	Ответ: Первая производная Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение		И структура курса история русской литературной О том, что даже у самых сильных произведений бывают слабые стороны, что почти любой классик писал не только на классическом уровне,...