Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач



Скачать 71.42 Kb.
Дата19.10.2012
Размер71.42 Kb.
ТипИсследование
ЕГЭ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ, ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К РЕШЕНИЮ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Задания на производную функции, её применения к решению практических задач в едином государственном экзамене представлены в каждом разделе. Наиболее сложные задания, как правило, присутствуют в группе С. Это задачи на исследование комбинированных функций на монотонность и экстремумы, задачи на нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, задачи по геометрии или практические задачи, решаемые с помощью производной. Выделим основные правила, теоремы, приемы, которые используются при решении этих задач.

  1. Порядок исследование функции у = f(x) на монотонность и экстремумы:

- найти область определения функции;

- найти производную функции;

- найти критические точки функции: это внутренние точки области определения,

в которых производная равна нулю или не существует;

- разбить область определения на промежутки и определить знак производной

функции на каждом из промежутков;

- применить достаточные условия монотонности и экстремумов функции.

2) Достаточные условия монотонности и экстремумов функции.

Т.1 Если производная функции f(x) имеет на промежутке ( а;b) положительна, то

функция на этом промежутке возрастает; если же производная f '(x) на проме-

жутке отрицательна, то функция на этом промежутке убывает.

Т.2 Если функция f(x) в точке х непрерывна, и при переходе через эту точку произ-

водная f '(x) меняет знак с «+» на «-», то х- точка максимума;

если же производная меняет знак с «-» на «+», то х- точка минимума.

Значение функции в точке максимума или минимума называется соответственно

максимумом, минимумом функции.

3) Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежут-

ках ( [ a;b] , (a;b) , (- ∞;+∞) ).

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b],

необходимо:

- найти производную функции;

- найти критические точки функции;

- найти значение функции на концах отрезка и в критических точках, лежащих

внутри отрезка;

- из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

b) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке

( a;b) нужно:

- рассмотреть задачу на отрезке [a;b] ( см.
а) );

- если наибольшее (наименьшее) значение достигается во внутренней точке от-

резка [а;b], то на открытом промежутке (а;b) оно достигается в этой же точке;

если наибольшее(наименьшее) значение достигается на концах отрезка [a;b], то

на открытом промежутке (a;b) оно не достигается.

Эту же задачу можно решить, исследовав функцию на промежутке (а; b) на экст-

ремумы, взяв наибольший максимум в качестве наибольшего значения функции,

а наименьший минимум- в качестве наименьшего значения функции на (а;b).

c) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на бесконечных

промежутках (-∞;+∞), (-∞;b), (а;+∞) нужно:

- исследовать функцию на экстремумы на данном промежутке;

- найти предел функции при ;
- из полученных экстремумов функции выбрать наибольший максимум и наимень-

ший минимум и сравнить их с найденными пределами функции на бесконечнос-

ти.

Рассмотрим примеры решения и оформления заданий такого вида.



Решение.



Решение.

f '(x) + _ +

___________________-1___________________0_______0,5_____________х

f(x) ↑ max ↓ min ↑

В точке х = -1 функция f(x) непрерывна, и при переходе через эту точка производная функции

меняет знак с «+» на «-», значит х = -1 – точка максимума. Других точек максимума функции нет.

Ответ: х = -1.



Решение.

Для нахождения наибольшего целого значения функции найдем сначала множество значений

функции. Так как функция непрерывна и возрастает при t ≥0, то достаточно найти наибольшее

и наименьшее значение функции







.

Решение.




5. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 104, а площадь одной из его граней

в 3 раза больше площади другой грани. Найти наименьшее значение суммы длин всех ребер этого

параллелепипеда.

Решение.
B C
A D
z

B C

x
A y D

Пусть измерения параллелепипеда будут х, у, z. Тогда площадь поверхности параллелепипеда

будет 2(ху + хz +уz). Пусть площадь грани АВСD в 3 раза больше площади грани АВВА . По ус-

ловию имеем: 2(ху + хz + yz) = 104, xy = 3xz. Сумма длин всех ребер будет 4(х +у + z). Из равенства

ху = 3хz следует, что у = 3z. Тогда 3хz + xz + 3z² = 52 или и сумма длин ребер принимает

вид Рассмотрим функцию По условию х > 0, y > 0, z > 0, a тогда 52 – 3z² >0

и Найдем наименьшее значение функции f( x) на промежутке На этом промежут-

ке f (z) непрерывна и дифференцируема. Критические точки: f (z) =0. x = ±2 .

Так как промежуток открытый, то исследуем функцию f(z) на экстремумы, применив дос-

таточное условие минимума функции.
f(z) _ +

_______________0__________________2_________________________________z

f(z) ↓ min ↑

В точке z = 2 функция f(x) непрерывна и при переходе через эту точку производная её меняет знак

с «-» на «+», следовательно это точка минимума, а так как на промежутке функция имеет

единственный минимум, то наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в той

же точке. В качестве функции мы брали сумму длин ребер параллелепипеда, значит наименьшее

значение длин всех ребер параллелепипеда будет

Ответ: 52.
6. Найти наибольший объем правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 3.

Решение.

  1. V(SABC) = Пусть АВ = х, тогда

S(ABC) = . Выразим через х высоту SO.

S , где R – радиус окружности

описанной около основания. Тогда SO =

= .

2) Рассмотрим функцию . По условию за-

дачи х > 0 и 27 - х² > 0, a тогда Найдем наиболь-

В шее значение функции f(x) на промежутке . На этом

А О промежутке f(x) непрерывна и дифференцируема.

К Найдем критические точки. Производная

С существует во всех точках рассматриваемого промежутка,

поэтому достаточно решить уравнение f '(x) = 0.


является критической точкой функции. Исследуем функцию на экстремумы.

f '(x) + -

_______________0________________________________________________х

f(x) ↑ max ↓

В точке х = функция f(x) непрерывна и при переходе через эту точку производная меняет знак

с «+» на «-», значит эта точка максимума функции. А так как, на промежутке функция f(x)

имеет единственный максимум, то на этом промежутке наибольшее значение достигается в этой

же точке. Итак наибольший объем пирамиды с боковым ребром 3 равен 4,5.

Ответ: 4,5 .


Упражнения.

1. Найдите значение функции в точке максимума.

2. Найдите точки максимума функции

3. Найдите минимум функции

4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0 ; 2].

5. Найдите наибольшее целое значение функции

6. Найдите наименьшее целое значение функции .

7. Найдите наименьшее значение функции f (x ) = 2 Cos 2x – 12 Sin x – 6.

8. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 5 + 4 Cos x - Sin²x, при .

9. Найдите наибольшее значение функции

10. Найдите наибольшее значение функции

11. Найдите наибольшее значение функции

12. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника, со сторонами, параллельными осям

координат, и с диагональю ОМ, где О – начало координат, а М – точка на графике функции



13. Точка А лежит на графике функции , точка В – на оси Ох,

и её абсцисса в 2 раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее значение площади треуголь-

ника ОАВ, где О – начало координат.

14. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами параллельными осям коорди-

нат, и диагональю ОР, где О – начало координат , а Р – точка на графике функции



15. Точка А лежит на графике функции , а точка В лежит на оси Ох,

и её абсцисса в 4 раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее значение площади треуголь-

ника ОАВ, где О – начало координат.

16. В прямоугольной трапеции основания равны 11 и 13, а меньшая боковая сторона равна 2.Через каж-

дую точку меньшей боковой стороны проведена прямая, пересекающая меньшее основание и отсе-

кающая от трапеции прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение

площади оставшейся части трапеции.

17.Найдите наибольший возможный объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна



18. Стороны прямоугольника равны 5 и 14. Через каждую точку меньшей стороне проведена прямая,

отсекающая от прямоугольника треугольник с периметром 18. Найдите наибольшее значение пло-

щади отсеченного треугольника.

19. Найдите наименьшее значение площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с

квадратным основанием, если известно, что объём данного параллелепипеда равен 125.

20. Число 26 представьте в виде суммы 3 – х положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов

была наименьшая и чтобы второе слагаемое было втрое больше первого.


Ответы: 1. . 2. . 3. -7. 4. 1,2. 5. 8. 6. 22. 7. 4. 8. 9. 9. 324. 10. 2. 11. .

12. 24 -6 ln0,75. 13. 14 + 2π. 14. 32. 15. 16 + 6π. 16. . 17. . 18. .

19. 150. 20. 26 = 4 + 12 + 10.

Похожие:

Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач icon«Исследование функции с помощью производной»
Урок по теме: «Исследование функций и построение графиков с помощью производной»
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач iconТехника дифференцирования и применение производной в физике (в рамках подготовки к егэ )
Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению...
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач iconЕ методы решения краевых задач – задач решения дифференциальных уравнений
Это происходит потому, что применение разностной формулы для отыскания высшей производной требуется знание низшей производной или...
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач iconПроизводная с понятие производной. Вычисление производной по определению
Пользуясь определением производной, найдите производную функции в каждой точке области определения
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач iconУрок по теме «Применение производной в различных областях науки»
Добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о понятии производной, её геометрическом и физическом смысле. Показать...
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач icon«Применение производной к исследованию функций». Решение экстремальных задач с использованием маркетинговых исследований
Калининградская область. Моу сош п. Приморье сго, Балтийский проспект, 14. т. (8-253) 39024
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач icon§ теоретические вопросы понятие производной. Производная функции
Геометрический смысл производной. Уравнения каса­тельной и нормали к графику функции
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач icon«Геометрический смысл производной»
На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке (2; −1). Найдите значение производной этой функции при
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач iconУрок13. Вычисление производной
...
Исследование функции с помощью производной, применение производной к решению экстремальных задач iconОпределение производной
Определение производной: производной функции называется предел отношения к
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org