Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции



Скачать 113.2 Kb.
Дата19.10.2012
Размер113.2 Kb.
ТипЛекция
Лекция 3. Производная функци комплексного переменного.
План лекции:

  1. Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции.

  2. Регулярные функции. Условия Даламбера-Эйлера.

  3. Гармонические функции.

  4. Конформные отображения.



Содержание лекции:

Вопрос 1. Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции.
Пусть задана функция w = f (z) комплексного переменного. Дадим z = x+ iy приращение . Найдём вызванное этим приращением аргумента приращение функции



Найдём вызванное этим приращением аргумента приращение функции



Если существует предел отношение при стремлении к нулю по любому закону то этот предел называют производной функции f(z) в точке z и обозначается

(1)
Как и в случае действительного переменного постоянный множитель можно выносить за знак производной и справедливы обычные правила дифференцирования суммы произведения и частного функций, правила дифференцирования сложной функции, а также формулы дифференцирования функции действительного переменного.

Рассмотрим геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть функция w = f (z) имеет производную в точке z0, причём

Расположим плоскости z и w так, чтобы соответсвенно их действительные и мнимые оси были параллельны и одинаково направлены. Рассмотрим в плоскости z две точки: z0 и и какую-нибудь проходящую через них кривую . В плоскости w им будут соответствовать точки w0 и w0+ w и проходящая через них кривая r.
При этом вектору z будет соответствовать вектор w. Принимая во внимание, что модуль частного равен частному модулей, получим:



П
ереходя к пределу, получим:

(2)

Учитывая, что |z| является расстоянием от точки z0 до точки z0 + z, a |w| --- расстоянием между точками w0 и w0 + w заключаем, что величина указывает, в каком отношении в результате отображения изменяются линейные размеры.

Согласно равенству (2) величину естественно назвать коэффициентом растяжения

(если ) или сжатия (если ) в точке z0 при отображении области g, лежащей в плоскости z, в область G, лежащую в плоскости w, осуществляемую функцией w = f (z)

Коэффициент растяжения обозначают , поэтому

(3)

Заметим, что линия выбрана произвольно, и при любом её направлении для данной точки z0

предел отношения равен одному и тому же числу , равному коэффициенту растяжения отображения в точке z0. Таков геометрический смысл модуля производной.

Выясним теперь геометрический смысл аргумента. Имеем:



Но известно, что аргумент частного двух комплексных чисел равняется разности их аргументов, поэтому



а -- угол вектора с осью Ох, а -- угол вектора с осью О1u. Следовательно, разность равна углу между векторами и

Если перейти к пределу при , то секущие MN и AQ (MN - это вектор на рисунке, а AQ - вектор ) будут стремиться к своему предельному положению - к положению касательных MN’ и AQ’, то



будет равен углу между касательными MN’ и AQ’

Заметим, что и здесь направление линии (то есть касательной MN’) выбрано произвольно.


Поэтому любая линия, проведённая чарез точку z0, поворачивается при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный аргументу производной функции f (z), . В этом и заключается геометрический смысл аргумента .

Пример


Пусть w = f (z) = z3. Найти коэффициент растяжения и угол поворота линий, осуществляемого функцией при отбражении в точке z0 = 2i

Решение

Находим производную функции: , а затем её частное значение в точке z0 = 2i:



Отсюда следует, что коэффициент растяжения = 12, а угол поворота =

Пример


Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая -- сжимается при при отображении с помощью функции

Решение


Находим в каждой точке . Отсюда . Для части комплексной плоскости, лежащей внутри окружности |z| = 1, выполняется условие |z| < 1, при котором (за исключением нулевой точки, в которой производная не существует). Поэтому в каждой точке, лежащей внутри окружности |z| = 1, за исключением точки z = 0, происходит растяжение. Часть комплексной плоскости, лежащей вне той же окружности, |z| = 1, очевидно, сжимается, потому что здесь |z| > 1, а следовательно,

Перейдём к понятию дифференциала функции.

Дифференциалом dw функции w = f )z) называтся главная часть её приращения, линейная по отношению к приращению независимой переменной z.

Исходя из определения производной (1), заключаем:



где . Следовательно,



Ввиду того, что произведение является бесконечномалой величиной более высокого порядка, чем , заключаем, что дифференциал функции f (z) равен произведению . Если w = z, то , поэтому дифференциал функции w = f (z) равен:


Вопрос 2. Регулярные функции. Условия Даламбера-Эйлера.


Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

Расмотрим условия дифференцируемости функции



Теорема.

Пусть функция f (z) = u(x,y)+iv(x,y) определена в некоторой окрестности точки z = x + iy, причём в этой точке функции u (x,y) и v (x,y) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексного переменного f (z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения:

(1)

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция w = f (z) дифференцируема в точке z; тогда функция имеет в точке z производную. Поэтому существует предел



и этот предел не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при , то есть при стремлении точки к точке z по прямой, параллельной оси Ох, получим:


(2)


Выберем теперь другой путь стремления точки к точке z, а именно: z = iy, то есть, устремляя точку к точке z по прямой, параллельной оси 0y, получим:




(3)

Так как предел при не должен зависеть от закона стремления z к нулю, то из (2) и (3) следует, что

или



то есть необходимость доказана.

Достаточность. Функции u (x,y) и v (x,y) по условию теоремы дифференцируемы, то есть имеют полные дифференциалы. Но, как известно из математического анализа, если функции u (x,y) и v (x,y) имеют полный дифференциал, то полное приращение функции может быть представлено в виде:





где (4)

каково бы ни было z = x + iy, имеем:

(5)

Заменив на основании условий (1) в числителе правой части на а на получим:

(6)

Так как то и, в силу (4) |1 + i2| стремится к нулю при и , то есть при .

Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось бы к нулю, из (5) получим:




и достаточность условий (1) для дифференцируемости f (z) доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы мы пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции w = f (z) комплексного переменного z = x + i y по комплексному аргументу z (если оно возможно) равносильно вычислению частных производных по x от u(x,y) и v(x,y). Проверим справедливостиь формулы на конкретном примере. Возьмём, например, функцию w = z2. Дифференцируя по z, получим: . С другой стороны,

w = z2 = x2 - y2 + i2xy u = x2 – y2 v = 2xy

Применяя формулу (2), получим:

и

Условия (1) – условия дифференцируемости функции в точке -называются условиями Даламбера – Эйлера или условиями Коши – Римана.

Если однозначная функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется регулярной в данной точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется регулярной в этой области.

Регулярная функция иначе называется аналитической или голоморфной.

Точки плоскости z, в которых однозначная функция f (z) является регулярной, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых функция f (z) не является регулярной, называют особыми точками (в частности точки, в которых f (z) не определена).

Условия Даламбера – Эйлера (1) являются условиями регулярности функции в области.

Пример 1.

Выяснить, является ли функция w = z2 регулярной.

Решение


Имеем: w = z2 = (x2 – y2) + 2xyi;

u = x2 – y2; v = 2xy;

.

Условия (1) выполнены во всех точках плоскости z, следовательно, функция w = z2 является регулярной во всей плоскости.

Пример 2.

Выяснить, является ли регулярной функция

Решение

Так как , то u +iv = x – iy и u = x; v = -y, откуда следовательно первое из условий (1) нигде в плоскости z не выполняется. Поэтому функция w = z не дифференцируема ни в одной точке плоскости.


Пример 3.

Выяснить, является ли регулярной функция w = zRe z.

Решение


Так как w = zRe z, то

u = iv = (x + iy)x = x2 + ixy и u = x2, v = xy;



Условие (1) выполнено только лишь при x = 0 и y = 0. Следовательно, функция w = zRe z дифференцируема только в одной точке z = 0 и нигде не является регулярной.
Вопрос 3. Гармонические функции. Связь аналитических функций с гармоническими.

Пусть функция w = f (z) = u + iv регулярна в области D. Тогда она удовлетворяет условиям Даламбера – Эйлера :

(1)

Дифференцируя первое из этих тождеств по х, а второе по y и складывая, получим:

(2)

Дифференцируя же первое из этих тождеств по y, а второе по х и вычитая, будем иметь:

(3)

Равенства (2) и (3) говорят о том, что функции u (x,y) и v (x,y), являюшиеся соответственно действительной и мнимой частями функции w = f (z), регулярной в некоторой области D, в той же области являются решениями дифференциального уравнения в частных производных:

(4)

Дифференциальное уравнение (4) называется уравнением Лапласа.

Функция, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической. Следовательно, действительная и мнимая части регулярной функции являются гармоническими функциями.

Пример

Найти регулярную функцию w = f (z), если известно, что её действительная часть u = x2 – y2 + x и w(0) = 2i.

Решение


Находим . По услови , имеем:

, откуда:

или v = 2xy + y + (x). Дифференцируя v по x, получим:



но из условия:



С другой стороны, из условия задачи следует, что поэтому откуда следует, что и (x) = C = Const.

Итак, v = 2xy + y + C и, следовательно,

w = u + iv = x2 – y2 + x + i (2xy + y + C).

По условию w (0) =2i; воспользуемся этим для определения С:



Откуда C = 2 и w (z) = (x2 – y2 + x) + (2xy + y + z)

Сравнивая эту функцию с функцией

z2 + z = (x + iy)2 + x + iy = (x2 – y2 + x) + i (2xy + y),

видим, что w = z2 + z + 2i.

Вопрос 4. Конформные отображения


Пусть функция w = f (z) регулярна в области D. Тогда согласно определению регулярности функции в области функция дифференцирруема в каждой точке z0 области D, то есть она имеет конечную производную в каждой точке z0 области. Поэтому производная



не зависит от того, по какому закону, то есть по какой кривой точка z0 + z стремится к точке z0. Отсюда следует, что коэффициент растяжения отображения, осуществляемого регулярной функцией, постоянен в данной точке z0 области во всех направлениях.

Та
кже известно, что любая кривая, проведённая через точку z0, поворачивается при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный аргументу производной функции.

Поэтому, если рассмотреть две кривые в плоскости z, проходящие через точки z0, 1 и 2. Г1 и Г2 – образы этих кривых при отображении с помощью фунции u = f (z); 1, 2, Ф1, Ф2 – углы, образованные касательными к каждой из этих кривых с положительным направлением действительных осей соответственно 0x и 0y, то будем иметь:



Итак:

Или:

Но – угол между касательными к кривым 1 и 2 в точке z0, то есть угол между этими кривыми в точке z0, а – угол между кривыми Г1 и Г2 точке w0. Но .Следовательно, при отображении, осуществляемом регулярной функцией, угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, вкоторой производная отображающей функции отлична от нуля, остаётся без изменения. Это свойство сохранения углов при отображении функции w = f (z) носит название консерватизма углов.

Отображение, обладающее свойством постоянства коэффициента растяжения и консерватизма углов, называется конформным отображением.

Таким образом, мы доказали: отображение, осуществляемое регулярной функцией, является конформным во всех точках, в которых производная этой функции отлична от нуля.

Можно доказать и обратное утверждение: если отображение, осуществляемое функцией f (z), конформно в области D, то функция f (z) является регулярной в области D.

Пример 1.

Каково отображение, осуществляемое функцией w = 4z?

Решение


Так как то функция регулярная, и отображение, производимое ею, конформно во всей плоскости z с коэффициентом растяжения в любой точке, равным 4. Так как то направление при отбражении не изменится.

Пример 2.

Каково отображение, осуществляемое функцией w = z3?

Решение


Функция регулярна во всей плоскости, но в точке z = 0 проиводная равна нулю. Поэтому, отбражение, осуществляемое этой функцией, конформно во всех точках плоскости z, за исключением точки z = 0. Так как arg w = 3arg w, то лучи arg z = и arg z = , выходящие из точки z = 0 и образующие между собой угол - , отображаются соответственно в лучи arg w = 3 и arg w = 3, образующие между собой угол 3( - ). Следовательно, в точке z = 0 конформное отображение нарушается: углы в этой точке не сохраняются, а утраиваются.




Похожие:

Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconЛекция Функция комплексного переменного. План лекции
Областью в комплексной плоскости называется множество d точек этой плоскости, обладающее следующими свойствами
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconЛекция Интегрирование функций комплексного переменного
Но определенный интеграл регулярной функции комплексного переменного обладает свойством, присущим не всем криволинейным интегралам...
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconОпределение функции комплексного переменного
Определение производной функции комплексного переменного. Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости...
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconУчебная программа Дисциплины р1 «Теория функций комплексного переменного»
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconУчебная программа Дисциплины р2 «Теория функций комплексного переменного» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconРабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного
Воспитание достаточно высокой математической культуры; развитие навыков использования понятий и методов теории функций комплексного...
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconРабочая программа курса «Теория функций комплексного переменного»
«Теория функций комплексного переменного» для специальности 220600 «Организация и технология защиты информации»
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconКонтрольные вопросы по курсу «Теория функций комплексного переменного»
Контрольные вопросы предназначены для проверки знаний студентов по теории функций комплексного переменного и представлены в виде...
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconРабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» предназначена для студентов 2 курса по специальности
Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
Лекция Производная функци комплексного переменного. План лекции iconМесто дисциплины в структуре ооп принципы построения курса: Курс входит в математический и естественнонаучный цикл ооп 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Дифференцируемость функций комплексного переменного, условие Коши-Римана. Понятие интеграла функции комплексного переменного. Теорема...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org