Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению



Скачать 64.02 Kb.
Дата19.10.2012
Размер64.02 Kb.
ТипДокументы
ПРОИЗВОДНАЯ
С-9.1.

Понятие производной. Вычисление производной по определению.


  1. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в точке .

  2. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в каждой точке области определения.

  3. Дана функция . Вычислите .

  4. Правда ли, что если для двух функций, заданных на R, в каждой точке области определения выполняется неравенство f(x)) верно и для производных?

  5. Приведите пример функции, непрерывной в каждой точке вещественной оси, у которой нет производной ровно в трех точках.

  6. Существует ли производная в точке 0 у функции ?


С-9.2.

Производная элементарных функций.


  1. Вычислите по определению производную функции .

  2. Вычислите производные следующих функций, пользуясь известными производными: а) ; б) ; в) ;

  3. Вычислите производную функции .

  4. Решите уравнение , если .

  5. Укажите две функции, производные которых равны функции .

  6. При каких значениях параметра а производная функции f принимает значения одного знака на всей области определения: ?



С-9.3.

Касательная.


  1. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой gif" name="object18" align=absmiddle width=43 height=24>.

  2. Написать уравнения всех касательных к графику функции , проходящих через точку .

  3. В каких точках графика функции касательная к ее графику параллельна прямой ?

  4. При каком значении параметра а прямая касается графика функции ?

  5. Изобразите множество точек на координатной плоскости, через которые можно провести две касательные к графику функции .


С-9.4.

Дифференцируемые функции и дифференциал.


  1. Сравните значение приращения и дифференциала функции в точке х0 = 1 и приращений аргумента равных а) ; б) ; в) . Покажите, что предел .

  2. Найдите дифференциал функции в точке и с его помощью вычислите приближенно значение функции при х = 9,998.

  3. Найдите дифференциал функции в точке и с его помощью вычислите приближенно значение функции при х = 255.

  4. Известно, что f+g и fg дифференцируемы на R. Правда ли, что f-g тоже будет дифференцируемой на R?



С-9. 5.

Производная частного, произведения, композиции.


  1. Вычислите производную функции f : а) ; б) ; в) ; г) .

  2. Вычислите производную данной функции f в данной точке :

а) , ; б) , ; в) , .

  1. При каких значениях параметров a и b функция дифференцируема в каждой точке своей области определения?



С-9.6.

Определение первообразной. Таблица первообразных и их элементарные свойства.

1. Найдите какую-либо первообразную функции (x>0).

2. Докажите, что функция G(x)=arctg(3x+1)+5 является первообразной функции .

3. Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку М(-1;0).

4. Верно ли, что первообразная периодической функции, если существует, то обязательно является периодической?

5. Докажите, что функции f(x)=2x-1 и g(x)=x2+3x-3 имеют первообразные, графики которых касаются в точке с абсциссой 1.
С-9.7.

Приемы интегрирования

1. Найдите .

2. Найдите все первообразные функции , графики которых проходят через точку .

3. Найдите при .

4. Найдите первообразную функции , заданной на (0,5;+∞), график которой касается прямой y=4x-4.

5. Найдите .

С-9.8.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Доказательство тождеств.


  1. Вычислите значение с в теореме Лагранжа для функции f на заданном отрезке: а) ; б) .

  2. Докажите, что у производной многочлена три корня.

  3. Используя теорему Лагранжа, докажите справедливость неравенства , если .

  4. На графике функции найдите точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки (0;-2) и (1;3).

  5. Докажите тождество при .



С-9.9.

Исследование функции на монотонность с помощью производной.


  1. Для каждой из следующих функций найдите промежутки монотонности функции: а) ; б) ; в) ; г) .

  2. Сколько корней имеет уравнение ?

  3. При каких значениях параметра к уравнение имеет единственный корень?

  4. При каких значениях параметра а функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке ?



С-9. 10.

Исследование функции на экстремумы с помощью производной.


  1. Найдите критические точки и точки экстремума функции на ее естественной области определения: а) ; б) ; в) .

  2. Найдите экстремумы и критические точки функции .

  3. При каких значениях параметра а функция на промежутке имеет ровно 2 экстремума?

  4. Существует ли значение а при котором функция имеет экстремум при ?



С-9.11.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.


  1. Найдите наибольшее и наименьшее значение данной функции на данном множестве:

а) при ; б) на R; в) при .

  1. Найдите множество значений функции на промежутке .

  2. Найдите на параболе точку, ближайшую к точке с координатами (3;0).

  3. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции на промежутке достигается на одном из концов?


С-9. 12.

Экстремальные задачи.


  1. Из всех равнобедренных треугольников с периметром 2 найдите тот, у которого площадь наибольшая.

  2. Какую наименьшую площадь поверхности имеет прямой круговой цилиндр с объемом 1?

  3. Число 4 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго было наибольшим.


С-9.13.

Производные высших порядков. Выпуклые функции.

  1. Вычислите , если: а) ; б) ; в) .

  2. Исследуйте на выпуклость функции а) ; б) .

  3. Пользуясь вогнутостью логарифма на промежутке [1;e], докажите, что .

  4. Исследуйте на выпуклость функцию ; б) Докажите, что если , то выполняется неравенство .


С-9.14.

Построение графиков и исследование функций.


  1. Постройте эскиз графика функции .

  2. При каких а уравнение имеет единственный положительный корень?

  3. Сколько корней имеет уравнение , если ?

  4. Постройте график функции , определенной следующим образом: равно наибольшему значению функции на промежутке .

С-9.15.

Доказательство неравенств.


  1. Докажите, что при выполняется неравенство .

  2. Докажите, что при выполняется неравенство .

  3. Докажите, что при выполняется неравенство .

  4. Докажите, что при .



Контрольная работа


  1. Дана функция .

а) Найдите наибольшее значение функции.

б) При каких значениях параметра b уравнение имеет два решения?

в) Найдите промежутки выпуклости функции f.

г) Найдите уравнение всех касательных к графику функции, которые проходят через точку .

д) Докажите, что через точки на оси абсцисс с координатами (b,0), где не проходит ни одной касательной к графику функции f.

  1. Найдите множество значений функции .

  2. Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку М(0;1).

  3. Найдите

  4. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от а?

  5. а) Исследуйте на возрастание и убывание функцию ; б) Сравните и.

  6. . При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Похожие:

Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению icon§ теоретические вопросы понятие производной. Производная функции
Геометрический смысл производной. Уравнения каса­тельной и нормали к графику функции
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconВ-8 Задание на вычисление производной Геометрический смысл Вычисление угла между прямой и осью ох производной

Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconРешение слау с разреженными матрицами. Метод lu-разложения, сравнение с методом Гаусса
Варианты вычисление 1-ой производной, вычисление 2-ой производной. Оценка погрешности
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconПроизводная от обратной ф-ии
Заменим в определении производной предел – односторонним пределом, получится определение односторонней производной
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconУрок13. Вычисление производной
...
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconПроизводные и дифференциалы высших порядков
Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconПравила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconУрока: "Определение производной"
Ребята! Мы с вами начали изучение большой и важной темы “Производная”. Запишите тему урока: “Определение производной”
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconПроизводная Оглавление Таблица и правила нахождения производно
Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя,...
Производная с понятие производной. Вычисление производной по определению iconОпределение производной
Определение производной: производной функции называется предел отношения к
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org