Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова



Скачать 28.48 Kb.
Дата19.10.2012
Размер28.48 Kb.
ТипДокументы

Математичні методи обробки даних

УДК 519.68; 620.179.15; 681.3

Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова


Институт проблем регистрации информации НАН Украины

ул. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина

Логарифмическая функция от кватерниона



Рассмотрено построение логарифмической функции от кватерниона. Предложен вывод основного выражения и сопоставление с логариф-мом комплексных и действительных чисел.

Ключевые слова: кватернион, логарифм, мнимая единица.


Введение


Открытые в 1843 году У. Гамильтоном кватернионы, представляют собой некоммутативную систему гиперкомплексных чисел четвертого порядка. Кватер-
нионы нашли важное применение в различных областях науки и техники.

В связи с этим целесообразно расширить класс нелинейных функций от ква-тернионов, которые могут быть представлены через функции вещественных пере-менных.

В настоящее время, кроме полиномов и дробно-рациональных функций, получены представления и изучены свойства экспоненты от кватерниона, а также гиперболических функций — синуса и косинуса. В данной статье строится пред-ставление логарифмической функции от кватерниона.

Определение логарифма от кватерниона


Определение логарифма от кватерниона основано на представлении экспо-ненты от кватерниона:
, (1)
где

; (2)

© Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
. (3)
Обозначим логарифм от кватерниона через Ln Q. Пусть:

Ln Q = Х, (4)
где — также кватернион. Смысл выражения (4) заключается в том, что кватернион Х должен удовлетворять уравнению

eX = Q, (5)
которое с помощью (4) может быть представлено в виде:
. (6)

Построение представления логарифма от кватерниона

Приравнивая в (6) коэффициенты при одноименных координатах, получим систему уравнений

(7)

решение которой будет иметь вид:
;
m = 2, 3, 4.
(8)

Таким образом, логарифм кватерниона Q имеет следующее представление через вещественные функции:

. (9)

Как видно из (9), логарифм кватерниона многозначен. Аналогично логарифмам от комплексных и вещественных чисел выделим из (9) главное значение. При n2 = n3 = n4 = 0 получим выражение:
, (10)
которое и примем за определение логарифма от кватерниона.
Сравнение логарифма кватерниона с логарифмами

вещественных и комплексных чисел

Так как поля вещественных и комплексных чисел являются подполями поля кватернионов, то из (9) и (10) должны вытекать формулы для логарифмов комплексных чисел. Действительно, если комплексное число
(11)
представить в виде кватерниона
,
тогда:

, (12)
что совпадает с определением логарифма комплексного числа.
Поступила в редакцию 15.03.2002

ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2002, Т. 4, № 1 35

Похожие:

Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова, Ю. Е. Бояринова
Рассмотрены новые применения квадриплексных чисел в таких важных областях как криптография с открытым ключом и цифровая фильтрация...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
Целью работы является повышение эффективности моделирования различных процессов, описываемых такими дифференциальными уравнениями...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconЯ. А. Калиновский, Т. Г. Постникова, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Целью данной работы является исследование возможности построения со-пряженных элементов в различных гиперкомплексных числовых системах,...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Изучены особенности алгоритмов выполнения линейных и нелинейных операций в системе обобщенных комплексных чисел. Успешное решение...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconМ. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, П. В. Трубников
Одним из методов защиты информации является метод, близкий к криптографии с открытым ключом, который сводится к задаче сохранения...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconРедкоземельные элементы в щелочно-карбонатных метасоматитах северного урала
А. В. Калиновским (Калиновский, 1990; Калиновский, Суханов, 1985). Эти образования были отнесены им к полевошпатовым метасоматитам...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconПетр Калиновский
Издание православного братства во имя Воздвижения Честного и Животворящего Креста Господня
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconА. В. Смирнов, К. Б. Калиновский
...
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова iconС83 Конституционно-правовые проблемы уголовного права и процесса: Сб мате­риалов международной научной конференции. Санкт-Петербург, 30-31 октября 2009 г. / Сост. К. Б. Калиновский
С83 Конституционно-правовые проблемы уголовного права и процесса: Сб мате­риалов международной научной конференции. Санкт-Петербург,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org