Нулевой многочлен по определению имеет степень



Скачать 155.47 Kb.
страница1/4
Дата20.10.2012
Размер155.47 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4
Кольцо многочленов от одной переменной (доказательство свойств операций сложения, умножения двух многочленов). Степень многочлена. Деление с остатком.

Определение: Многочлен – линейная комбинация неотрицательных целых степеней переменной x с числовыми коэффициентами (подразумевается, что коэффициенты принадлежат кольцу или полю). .

Если все (кольцу), то говорят, что многочлен принадлежит множеству - множеству всех многочленов от x с коэффициентами из k.

.

Замечание: В курсе матана многочлен рассматривается как непрерывная (непрерывно дифференцируемая) функция действительного (комплексного) переменного. В алгебре многочлены – это формальные выражения вида (14.3), однозначно определяемые набором коэффициентов:

Определение: Степенью многочлена называется наибольшее целое n такое, что коэффициент при в записи (14.3) для отличен от 0.

Нулевой многочлен по определению имеет степень .

Замечание: Если не оговорено, то в записи (14.3) подразумевается, что , т.е. имеет степень n.

Обозначение: Степень: .



Действия над многочленами из .

  1. Сложение многочленов:



Пусть , тогда . В этой записи вообще говоря, или могут быть равны 0.

Определение: gif" name="object20" align=absmiddle width=84 height=19> называется суммой , т.е. , если:

, т.е. , где .

Свойства сложения:

1) (ассоциативность).

2) (коммутативность).

1 и 2 основаны на соответствующих свойствах сложения коэффициентами из k (кольцо).

3) Нулевой многочлен является нулём множества

4) , то противоположное множество .

1 – 4 – аксиомы кольца выполнены в

5) . Следует из определения суммы с учётом, что (может быть = 0).

2. Произведение многочленов:

Определение: . Считаем, что , т.е. ; , т.е. . Произведение многочленов многочлен из .

Свойства произведения:

  1. (свойство степени): из определения следует, что , но коэффициент при получается при k = 0, т.е. , т.к. и , т.е.

  2. (ассоциативность умножения).

Док-во: .

- левая часть.

- правая часть.

ЛЧ = ПЧ, значит равенство верно. ЧТД.

  1. (Коммутативность произведения), следует из определения формулы (14.5).

  2. Многочлен 0 – й степени является единицей множества

  3. - дистрибутивность сложения и умножения многочленов.

Док-во: .



ЧТД.

Все доказанные свойства для многочленов из показывают, что - коммутативное кольцо с единицей.

Найдём обратимые элементы в кольце . - обратим, если .

Тогда .

Т.к. , то .

Следовательно, - ненулевая константа.

Вывод: Обратимые элементы кольца - это многочлены нулевой степени (константы), т.е. аксиома поля для не выполняется, значит не является полем.

Деление с остатком.

Пусть - кольцо многочленов, где k – поле! (Например в кольце многочленов с целыми коэффициентами z[x] нельзя ввести деление с остатком.).

Определение: Пусть .

Разделить по с остатком, значит найти .

Теорема: Для Существует представление (15.1), причём это представление единственное.

Док-во:

  1. Существование (15.1).

Индукция по (по степени делимого). - зафиксированный параметр.

А) Пусть n < m, тогда - является представлением (15.1), т.к. является остатком от деления на .

Б) Пусть для всех n, меньших k существование (15.1) доказано.

В) Рассмотрим случай n = k. (Можем считать, что )



Рассмотрим многочлен

.

Итак, применимо предположение индукции.

Тогда для , т.е. , где



Т.к. k – поле, то .

- это и есть представление (15.1) для , где .

Док-во:

  1. Единственность (15.1).

Пусть можно разделить на 2 – мя способами:



Степень правой части равенства:

[т.к. - остаток, то ]

Если бы , то степень левой части была бы не меньше . Это невозможно, т.к. левая и правая часть равны, значит имеют одинаковую степень. Значит в силу равенства: .

Итак: , т.е. способы деления на с остатком совпадают, что доказывает единственность (15.1)ЧТД.

Отношение делимости. Ассоциированность.

Определение: Говорят, что многочлен делит многочлен , если .

Обозначение: .

Свойства делимости: ().

  1. Если , то (транзитивность деления).

  2. Если , то .

  3. Если , то .

  4. .

Определение: Два многочлена из называются ассоциированными, если , такая, что один из многочленов получен из второго, умноженного на c. Если - ассоциирована с , то - обозначение.

Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.

Определение: Пусть называется общим делителем , если .

Определение: называется наибольшим общим делителем
  1   2   3   4

Похожие:

Нулевой многочлен по определению имеет степень iconМногочлены и их корни
Здесь коэффициенты будем считать произвольными комплексными числами. Многочленом нулевой степени будем считать отличное от нуля комплексное...
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconДля доказательства того, что степень
Сумма f(x)r1(x) + g(x)r2(x) имеет степень, меньшую, чем f(x)g(x). Отсюда следует, что левая часть равенства имеет степень, не меньшую...
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconЛекция 15 Интегрирование рациональных функций
Опр. Многочлен делится на многочлен с остатком, если найдутся многочлены, и, для которых, причем степень многочлена меньше степени...
Нулевой многочлен по определению имеет степень icon«Многочлены»
Установите, является ли данный многочлен однородным в Если данный многочлен является однородным, определите его степень
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconМногочлены задание 1 Определение многочлена. Степень многочлена
...
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconНулевой бюджет, это не нулевой маркетин г«Продать маркетинг»
Понятие: «малый бизнес», не имеет четкого определения. Но, для исключения разночтений, все же надо договориться, какие предприятия...
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconИнтерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n...
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconУказатель 5 Рабочие листы по определению интересов 6 Рабочие листы по определению способностей 10 Оценивание 14
Большое значение в профессиональной деятельности имеет выбор профессии, а следовательно и успешный жизненный выбор
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconПриложение 7 Симметрические многочлены от двух переменных
Обозначим многочлен от переменных x и y через Р(x;y). Тогда P(y;x) означает многочлен, получаемый заменой в P(x;y) переменной x на...
Нулевой многочлен по определению имеет степень iconЗадача 29. Разложите многочлен на неприводимые множители над каждым из полей Q, Z2, Z3
Задача 27. В каждом из колец Q[x], Z2[x], Z3[x], используя схему Горнера, разделите многочлен f(X) с остатком на
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org