Рабочая программа дисциплины " теория чисел" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией



Скачать 116.48 Kb.
Дата20.10.2012
Размер116.48 Kb.
ТипРабочая программа



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Якутский государственный университет им. М.К. Аммосова

Институт математики и информатики



РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины " ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ"
специальность 032100.00 Математика с дополнительной специализацией


Квалификация - учитель математики


Якутск 2004 г.

СОДЕРЖАНИЕ



Выписка из учебного плана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

  1. ТРЕБОВАНИЯ СТАНДАРТА К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКА . . .3

  2. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ

    1. Принципы построения курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

    2. Цели курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

  3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

    1. Структура. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2. Содержание курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

      1. Лекционные занятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

      2. Лабораторные занятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

      3. Содержание самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  4. СТРУКТУРА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОБУЧАЕМЫХ . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

РЕКОМЕДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

КОНТРОЛИРУЮЩИЙ МАТЕРИАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .13

ВЫПИСКА ИЗ УЧЕБНОГО ПЛАНА. (ДПП.Ф.
07)

ВУЗ - Якутский государственный университет

Институт - Институт математики и информатики

факультет - математический

кафедра - алгебры и геометрии

Форма обучения - очная

курс- III

семестр - 6

всего аудиторных часов - 48 часов

лекций - 32 часа

лабораторных занятий - 16часов

СРС - 42 часа

экзамен -VI семестр

всего часов – 90

Недельная нагрузка по семестрам


Виды

Занятий

6 семестр

Аудиторные

3

Лекционные

Лабораторные

2

1


1. ТРЕБОВАНИЯ СТАНДАРТА К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 032100.00 Математика

Специалист должен отвечать следующим требованиям:

    1. Уметь осуществлять процесс обучения учащихся средней школы с ориентацией на задачи обучения, воспитания и развития личности школьников и с учетом специфики преподаваемого предмета.

    2. Уметь стимулировать развитие внеурочной деятельности учащихся с учетом психологических требований, предъявляемых к образованию и обучению.

    3. Уметь анализировать собственную деятельность, с целью ее совершенствования и повышения квалификации.

    4. Уметь выполнять методическую работу в составе школьных методических объединений.

    5. Уметь выполнять работу классного руководителя, поддерживать контакт с родителями.

    6. Владеть основными понятиями математики.

    7. Уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений.

    8. Иметь целостное представление о математике как о науке, ее месте в современном мире и в системе наук.

Обязательный минимум содержания дисциплины «Теория чисел» содержит следующие темы:

Делимость и простые числа. Основная теорема арифметики. Основное свойство простого числа. Неравенства Чебышева для (х). Теория сравнений. Кольцо и поле классов вычетов. Теорема Эйлера и Ферма. Сравнения и системы сравнений с неизвестной величиной. Сравнения первой степени. Сравнения по простому модулю. Сравнения по степени простого числа. Редукция сравнения по составному модулю к сравнению по степени простого числа и к сравнению по простому модулю. Показатели чисел и классов по данному модулю. Число классов с заданным показателем. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю. Индексы чисел и классов по данному модулю. Двучленные сравнения по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра.

Арифметические приложения теории сравнений.

Цепные дроби. Существование и единственность значения цепной дроби. Представление действительных чисел цепными дробями. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности. Приближения действительных чисел подходящими дробями. Теорема Дирихле и ее применение к представлению простого числа в виде суммы двух квадратов.

Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел и к доказательству иррациональности.

2. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ.

2.1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА:

  1. Данный курс разработан для студентов 3 курса в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 032100.00 Математика с дополнительной специальностью, квалификация - учитель математики.

  2. Основная цель курса: изучение глубоких математических фактов о целых числах с целью повышения математической культуры, выработка практических навыков решения задач по теории чисел, воспитание у студентов культуры мышления и доказательства математических утверждений, развитие интуиции.

  3. В начале курса уделяется время вопросам исторического развития теории чисел.

  4. Основными формами проведения занятий являются лекции, лабораторные занятия и самостоятельная работа. Курс имеет практическую направленность: лабораторные занятия - 16 ч., самостоятельная работа - 42 ч.

  5. Текущий контроль в течении семестра осуществляется в виде сводной контрольной работы, диктантов. Итоговый контроль предполагает экзамен в 6 семестре.


2.2. ЦЕЛИ КУРСА



Цели

Содержание цели

Студент должен иметь представление



О предмете и основных разделах теории чисел.



О роли русских и советских математиков в развитии теории чисел.



О влиянии теории чисел на развитие других разделов математики, применении теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях.



Об алгебраических и трансцендентных числах.

Студент должен знать



Основные направления исследований и основные методы, используемые в теории чисел.



О связях между разделами теории чисел.



Основные математические понятия, возникающие в процессе исследования свойств целых чисел.

Студент должен уметь



Решать основные типы задач по теории чисел:

а) Задачи на делимость.

б) Задачи на отыскание значений основных арифметических функций.

в) Решение сравнений первой, второй степени от одного неизвестного, двучленных сравнений по простому модулю, показательные сравнения.

г) Представление действительных чисел в виде цепной дроби.

д) Вычисление остатков при делении на данное число, определение длины периода, получающегося при обращении обыкновенной дроби в десятичную.



Пользоваться математическими понятиями, возникающие в процессе исследования свойств целых чисел.

РЕКОМЕДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА



Основная:


  1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Провещение, 1966.

  2. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. М.: Высшая школа, 1999.

  3. Михелович Ш.Х. Теория чисел. М.: Высшая школа, 1967.

  4. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1978.

  5. Грибанов, П.И. Титов В.У. Сборник упражнений по теории чисел. М.: Просвещение, 1964.

  6. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. М.: Просвещение, 1970.

  7. Зарипова С.Н., Самохина В.М. Индивидуальные задания по теории чисел и указания к их выполнению. Якутск: Из-во ЯГУ, 1999.


Дополнительная:


  1. Арнольд И.В. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1939.

  2. Архангельская В.М. Элементарная теория чисел: Учебное пособие. - Изд. Саратовского унив-та, 1963.

  3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972.

  4. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1995

  5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школы, 1979.

  6. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. ЧI. Числа. М.: Просвещение, 1978.

  7. Марчевский М.Н. Теория чисел. Харьков, 1958.

  8. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные. М.: Мир, 1966.

  9. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М.: Просвещение, 1968.

  10. Сушкевич Я.Н. Теория чисел. Харьков, 1954.

  11. Хинчин А.Я. Жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979.


Вопросы тематических диктантов.

Тема: Простые числа. Делимость. Арифметические функции.


  1. Понятие делимости.

  2. Свойства делимости целых чисел.

  3. Теорема о делении с остатком.

  4. Определение НОД и НОК.

  5. Свойства НОД и НОК

  6. Связь НОД и НОК.

  7. Какие числа называются простыми?

  8. Какие числа называются составными?

  9. Основные свойства простых чисел.

  10. Какой вид числа называется каноническим?

  11. Основная теорема арифметики.

  12. Формулы для вычисления НОД и НОК.

  13. Чему равен НОД взаимно простых чисел?

  14. Чему равно НОК взаимно простых чисел?

  15. Неравенство Чебышева.

  16. Определение функции f(x)=[x] и ее график.

  17. Определение функции f(x)={x} и ее график.

  18. С каким показателем входит простое число в разложение n!?

  19. Определение мультипликативной функции.

  20. Свойства мультипликативных функций.

  21. Какие суммы, распространенные на делители числа?

  22. Примеры мультипликативных функций.

  23. Определение функции Эйлера.

  24. Основные свойства функции Эйлера.

  25. Формулы вычисления функций Эйлера.

  26. Формула для нахождения числа делителей данного числа.

  27. Формула для нахождения суммы делителей данного числа.

Тема: Теория сравнений.

              1. Какие числа называются сравнимыми по заданному модулю?.

              2. Основные свойства числовых сравнений.

              3. Образует ли класс вычетов по модулю 5 кольцо?

              4. Образуют ли класс вычетов по модулю 5 поле?

              5. Образуют ли класс вычетов по модулю 4 кольцо?

              6. Образуют ли класс вычетов по модулю 4 кольцо?

              7. Понятие полной системы вычетов.

              8. Признак полной системы вычетов?

              9. Признак приведенной системы вычетов?

              10. Понятие приведенной системы вычетов.

              11. Первая теорема о вычетах линейной формы.

              12. Вторая теорема о вычетах линейной формы.

              13. Теорема Эйлера.

              14. Теорема Ферма.

              15. Критерий разрешимости сравнения первой степени с одним неизвестным.

              16. В каком случае сравнение первой степени с одним неизвестным имеет единственное решение?

              17. Формула для решения сравнений с помощью теоремы Эйлера.

              18. Формулы для решения сравнений с помощью цепных дробей.

              19. Теорема Вильсона.

              20. Понятие показателя, которому а принадлежит по модулю m.

              21. Определение первообразного корня по модулю m.

              22. Определение индекса по модулю p по основанию g.

              23. Что называется квадратичным вычетом по данному модулю ?

              24. Что называется квадратичным невычетом по данному модулю ?

              25. Критерий Эйлера для квадратичных вычетов и невычетов.

              26. Определение символа Лежандра.

              27. Свойства символа Лежандра.

              28. Свойства символа Якоби.

Тема: Цепные дроби. Алгебраические и трансцендентные числа.

  1. Что такое цепная дробь?

  2. Что мы называем подходящими дробями данной цепной дроби?

  3. Рекуррентные соотношения для вычисления подходящих дробей.

  4. Основные свойства подходящих дробей.

  5. Какие числа называются алгебраическими?

  6. Какие числа называются трансцендентными?

  7. Пример алгебраического числа.

  8. Пример алгебраического числа 4-степени.

  9. Пример трансцендентного числа.

  10. Теорема Лиувилля.

  11. Теорема Гельфонда.


Экзаменационные вопросы

  1. Предмет курса. Основные разделы теории чисел. Влияние теории чисел на развитие других разделов математики. Применение теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях.

  2. Понятие делимости. Свойства делимости.

  3. Теорема о деление с остатком.

  4. НОД двух и нескольких чисел. Алгоритм Евклида.

  5. Основные свойства НОД двух и нескольких чисел.

  6. НОК двух и нескольких чисел его свойства. Связь НОД и НОК.

  7. Простые числа. Критерий определения простоты числа.

  8. Теорема Евклида о бесконечном множестве простых чисел. Разложение на простые множители.

  9. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.

  10. Решето Эратосфена.

  11. Числовые функции. Функции [x], {x}. Их свойства и графики. Теорема о вычислении показателя степени простого числа p в каноническом разложении n!

  12. Мультипликативные функции и их совйтсва.

  13. Суммы, распространенные на делители числа.

  14. Число и сумма делителей данного числа. Их графики.

  15. Функция Эйлера. Мультипликативность функции Эйлера. Формула для вычисления (m).

  16. Сравнения и их основные свойства.

  17. Классы по данному модулю. Разбиение множества целых чисел на классы. Сложение и умножение классов. Кольцо классов.

  18. Системы вычетов. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.

  19. Первая теорема о вычетах линейной формы.

  20. Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы вычетов.

  21. Вторая теорема о вычетах линейной формы.

  22. Теоремы Эйлера и Ферма.

  23. Сравнения первой степени с неизвестной величиной. Критерий разрешимости и число решений. Решение методом подбора.

  24. Решение сравнений первой степени при помощи теоремы Эйлера.

  25. Системы сравнений первой степени. Общий случай. Случай попарно простых модулей.

  26. Сравнения n-ой степени: Сравнения n-ой степени по простому модулю. Сведение к наиболее простому виду (теоремы о равносильности сравнений).

  27. Теорема о максимальном числе решений.

  28. Теорема Вильсона.

  29. Сравнения по составному модулю: Приведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по модулям попарно простым.

  30. Общие сведения о двучленных сравнениях второй степени. Число решений.

  31. Сравнения n-ой степени. Сравнения n-ой степени по простому модулю. Теоремы о равносильности сравнений. Теорема о числе решений сравнения. Теорема Вильсона.

  32. Теорема о существовании и числе классов, принадлежащих показателю по простому модулю.

  33. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю.

  34. Применение индексов к решению сравнений. Критерий разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.

  35. Приведение сравнений второй степени к двучленным сравнениям.

  36. Квадратичные вычеты. Число квадратичных вычетов. Критерий Эйлера.

  37. Символ Лежандра. Свойства.

  38. Закон взаимности нечетных простых чисел.

  39. Установление признаков делимости.

  40. Определение длины периода, получающегося при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

  41. Разложение в правильную цепную дробь (конечную) рационального числа. Существование и единственность значения цепной дроби.

  42. Подходящие дроби конечных цепных дробей, их свойства.

  43. Решение сравнений первой степени с помощью цепных дробей.

  44. Бесконечные цепные дроби. Разложение иррационального числа в бесконечную цепную дробь. Теоремы о том, что разложения иррациональных чисел исчерпывают все возможные бесконечные цепные дроби.

  45. Подходящие дроби бесконечных цепных дробей, их свойства.

  46. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности.

  47. Теорема Дирихле и ее применение к представлению простого числа в виде суммы двух квадратов.

  48. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел и к доказательству иррациональности.



Похожие:

Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconРабочая программа учебной дисциплины дпп. Ф. 06. Геометрия ооп: Специальность 032100. 00 Математика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconУчебно-методический комплекс учебной дисциплины дпп. Ф. 10 Теория алгоритмов 032100. 00 Математика с дополнительной специальностью
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconУчебно-методический комплекс учебной дисциплины Геометрия Специальность 032100. 00 Математика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconУчебно-методический комплекс учебной дисциплины Геометрия Специальность 032100. 00 Математика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconУчебно-методический комплекс учебной дисциплины Математическая логика Специальность 032100. 00 Математика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconРабочая программа учебной дисциплины дпп. Ддс. 04. Геометрия ооп: Специальность 032100. 00 Физика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconРабочая программа учебной дисциплины ддс. 06. Геометрия ооп: Специальность 030100. 00 Информатика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconУчебно-методический комплекс учебной дисциплины Математическая логика и теория алгоритмов Специальность 032200. 00 Физика
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconРабочая программа учебной дисциплины дпп. Ф. 08 Числовые системы ооп 032100
Рабочая программа составлена на основании гос впо по специальности 032100. 00 Математика с дополнительной специальностью (код оксо...
Рабочая программа дисциплины \" теория чисел\" специальность 032100. 00 Математика с дополнительной специализацией iconПрограмма дисциплины дпп. Ф. 08 «теория чисел» Специальность 032100 (050201. 65) Математика Квалификация учитель математики
Элементы Теории сравнений. Алгебраические системы на Zm. Арифметические приложения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org