§ Гипотеза и её доказательство



Дата20.10.2012
Размер78.8 Kb.
ТипДокументы


§ 5. Гипотеза и её доказательство


В математике о фактах

сначала догадываются,

а затем их доказывают

В предыдущих задачах проверялась кем-то высказанная гипотеза, которая всегда оказывалась верной. Но во многих задачах труднее всего высказать эту правильную гипотезу. Построить гипотезу, т. е. просто нужно постараться угадать ответ. Для этого придают n последовательно значения 1, 2, 3, … до тех пор, пока у не накопится достаточно материала. Теперь все зависит от наблюдательности человека решающего поставленную задачу и от его способности по частным результатам угадать общий результат, то есть, построить более или менее надежную гипотезу. После этого останется только проверить эту гипотезу методом математической индукции. А метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

Пример 5.1. Пусть . Допустим, что, изучая , мы высказали гипотезу , т. е.

. (5.1)

Проверим эту гипотезу. Теорема 1. При n = 1 имеем:

Левая часть (5.1): ; Правая часть (5.1): .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что формула (5.1) верна при n = k. Проверим, будет ли она верна при n = k + 1.

Предположим, что формула (5.1) верна при n = k + 1. Тогда имеем:







k3 + 4 k2 + 8 k + 3 k2 + 3 k + 2

k3 + 3 k2 + 2 k k + 1

k2 + 6 k + 3

k2 + 3 k + 2

3 k + 1

gif" name="object10" align=absmiddle width=321 height=59>,

то есть результат получился иной (получили противоречие). Это противоречие показывает, что формула (5.1) не верна.

Попытаемся высказать верную гипотезу. Для этого вычислим несколько ,

n = 1,2,3…., и попробуем заметить некоторую закономерность:

;

;

;

Внимательно рассматривая эти равенства можно высказать гипотезу, что равенство выполняется для любого натурального n. Методом математической индукции проверим эту гипотезу, т.е. проверим справедливость
равенства . (5.1.1)

Теорема 1. При n = 1 имеем, что левая часть равенства (5.1.1): ;

правая часть равенства (5.1.1): . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что формула (5.1.1) верна при n = k. Тогда она верна при

n = k + 1.

Действительно:

.

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.1.1) верно для любого натурального n.

Пример 5.2. Найти сумму

.

Найдем несколько значений при n = 1, 2, 3:

;

;

.

Выскажем такую гипотезу. Для верно равенство

. (5.2)

Проверим эту гипотезу методом математической индукции.
Теорема 1. При n = 1 левая и правая части равенства (5.2) равны:

,.

Теорема 2. Дано. При n = k: . Нужно доказать: .

Доказательство.



.

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.2) верно для любого натурального n.

Пример 5.3. Вывести формулу для нахождения суммы

.

Решение. Распишем каждую дробь в данной сумме на разность следующим образом




.

Остаётся методом математической индукции доказать равенство



Пример 5.4.

1. Вычислить сумму первых n нечетных чисел: .

2. Вычислить сумму первых n членов числовой последовательности . То есть найти: .

Решение 1. Обозначим искомую сумму через , т.е. .

Придаем n последовательно значения 1, 2, 3, 4. 5, 6:
S1 = 1, S2 = 4, S3 = 9, S4 = 16, S5 = 25, S6 = 36.
В данном случае легко заметить, что
S1 = 1², S2 = 2², S3 = 3², S4 = 4², S5 = 5², S6 = 6².
На основе этого выскажем гипотезу:

, для любого n N. (5.4.1)
Проверим эту гипотезу методом математической индукции.

Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (5.4.1) выполняется при n = k. Тогда оно выполняется при n = k +1.
Действительно:.

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.4.1) выполняется при любом натуральном n.
Решение 2. Найдём сумму при n = 1, 2, 3, 4:

;

;

;

.

Выскажем следующую гипотезу:

.

Так как , то

. (5.4.2)

Методом математической индукции докажем равенство (5.4.2).

Теорема 1. При n = 1 имеем, что левая часть равенства (5.4.2): ;

правая часть равенства (5.4.2): . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (5.4.2) выполняется при n = k. Тогда оно выполняется при n = k + 1.

Действительно:


Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.4.2) выполняется при любом натуральном n.

Пример 5.5. Найти сумму .

Решение. Найдем сумму при n = 1, 2, 3:

;

;

.

Выскажем следующую гипотезу:

. (5.5)

Методом математической индукции докажем эту формулу.

Теорема 1 доказана выше при вычислении .

Теорема 2. Дано, что равенство (5.5) выполняется при n = k. Докажем, что это равенство выполняется при n = k+1: .


Доказательство.



.

Здесь .

. Последнее равенство следует из:




2 k 3 + 6 k 2 + 5 k + 2 2 k 2 + 2 k + 1

2 k 3 + 2 k 2 + k k + 2

4 k 2 + 4 k + 2

4 k 2 + 4 k + 2

0

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.5) верно для любого натурального n.

Пример 5.6. При каких натуральных n выполняются неравенства:

; (5.6.1)


; (5.6.2)

. (5.6.3)

Проверим выполнение неравенства (5.6.1) при следующих значениях n:

при n = 1: ; при n = 2: ;

при n = 3: ; при n = 4: ;

при n = 5: .

Из полученных выше неравенств, следует, что неравенство (5.6.1) выполняется при n = 1. Но это неравенство не выполняется при n = 2, 3, 4. Однако оно снова выполняется при

n = 5.


Предположим, что неравенство (5.6.1) выполняется при любом . Докажем это предположение методом математической индукции.

Теорема 1. При n = 5 имеем: . Терема 1 доказана.

Теорема 2. Дано, что неравенство верно при n = k: .

Нужно доказать, что оно верно при n = k+1: .

Доказательство.



.

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.1) верно для любого натурального .

Проверим выполнение неравенства (5.6.2) при следующих значениях n:

при n = 1: ; при n = 2: ;

при n = 3: ; при n = 4: .

при n = 5: .

Из полученных выше неравенств, следует, что неравенство (5.6) выполняется при n = 1 и при n = 2. Но это неравенство не выполняется при n = 3. Однако оно снова выполняется при n = 4, 5.

Предположим, что неравенство (5.6.1) выполняется при любом . Докажем это предположение методом математической индукции.


Теорема 1. При n = 4 имеем: . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Дано, что неравенство верно при n = k: .

Нужно доказать, что оно верно при n = k+1: .

Доказательство.



.

Неравенство “ > 0 ” следует из того, что при .

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.2) верно для любого натурального .

Проверим выполнение неравенства (5.6.3) при следующих значениях n:

при n = 1: ; при n = 2: ;

при n = 3:; при n = 4: ;

при n = 5: .

Из полученных выше неравенств, следует, что неравенство (5.6.3) не выполняется при n = 1, 2, 3, 4. Но оно выполняется при n = 5.

Предположим, что неравенство (5.6.3) выполняется при любом . Докажем это предположение методом математической индукции.


Теорема 1. При n = 5 имеем: . Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство верно при n = k: .

Нужно доказать, что оно верно при n = k+1: .

Доказательство.

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.3) верно для любого натурального .

Пример 7. Выразить произведение через .

Установим гипотезу. При n = 1: ; при n = 2:

. (5.7.0)

Сопоставляя два полученных результата, выскажем гипотезу:

. (5.7)

Теорема 1. Доказательство этого равенства при n=1 следует из равенства (5.7.0).

Теорема 2. Предположим, что выдвинутая гипотеза справедлива при n = k:

. Докажем, что это равенство выполняется при n = k+1.

Доказательство.

. Теорема 1 доказана.

Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что равенство (5.6.3) верно для любого натурального n.

Литература. Содержание

Похожие:

§ Гипотеза и её доказательство iconСущность гипотезы сепира-уорфа гипотеза лингвистической относительности
Гипотеза лингвистической относительности (известная также как «гипотеза Сепира – Уорфа»), тезис, согласно которому существующие в...
§ Гипотеза и её доказательство icon© Ishevskaya 2006 Гипотеза
Гипотеза: мы считаем, что совершенство формы пирамиды обусловлено математическими законами, заложенными в ее форму
§ Гипотеза и её доказательство iconГипотеза (от греческого hypothesis основа, предположение)
В широком смысле гипотеза стратегия, принятая для того, чтобы решать некоторую проблему
§ Гипотеза и её доказательство iconОдна из фундаментальных проблем
Одной из интересных научных гипотез в этой области, в процессе осмысления которой возникла отечественная гипотеза о происхождении...
§ Гипотеза и её доказательство iconПостановка проблемы
При анализе свойств исследуемого объекта требуется сделать выбор. Какая из двух альтернатив (гипотеза H0 либо гипотеза H1) в большей...
§ Гипотеза и её доказательство iconПостановка проблемы
При анализе свойств исследуемого объекта требуется сделать выбор. Какая из двух альтернатив (гипотеза H0 либо гипотеза H1) в большей...
§ Гипотеза и её доказательство iconИз книги А. Поис: «Наш Мир и Мы» Гипотеза 5-1
Гипотеза 5-1: При любом взаимодействии на взаимодействующих сторонах остаются следы изменения (деформация, модуляция), которые являются...
§ Гипотеза и её доказательство iconЭнуклеированная яйцеклетка клетка, у которой отсутсвует ядро
Гипотеза симбиогенеза – гипотеза о происхождении прокариот и эукариот, согласно ей, одни прокариоты преобазовались внутри клетки...
§ Гипотеза и её доказательство iconДоказательство смерти
Пятый фильм Квентина Тарантино "Доказательство смерти" премьера, которого состоялась в 2007 году можно посмотреть онлайн на kinoslide...
§ Гипотеза и её доказательство iconГипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона
Харьковского университета С. Н. Бернштейном (1880-1968). Окончательное решение 4-й проблемы Гильберта дано А. В. Погореловым. Кроме...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org