Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций



Скачать 107.51 Kb.
Дата20.10.2012
Размер107.51 Kb.
ТипДокументы
ББК 22.161

УДК 517.53 + 517.574
НУЛЕВЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА

ДЛЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Хабибуллин Б. Н.
Анонсируются условия, при которых подмножество области на комплексной плоскости является нулевым подмножеством для весового класса голоморфных в этой области функций.
Классический результат Р. Неванлинны об описании нулевых множеств для алгебры ограниченных голоморфных функций в единичном круге комплексной плоскости и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для различных типов алгебр или пространств голоморфных в функций. Отметим здесь лишь обзор С.В. Шведенко [1] и наиболее близкие нам по типу рассматриваемых классов функций работы Ф.А. Шамояна [2],[3], Б. Коренблюма [4], И. Беллера и Ч. Горовица [5]-[7], К. Сейпа [8] и И. Бруны и К. Массанеды [9]. Подавляющее большинство результатов при этом относилось к весовым классам голоморфных функций в , определяемым посредством радиальных весовых функций , . В статье приводятся условия, при которых подмножество области является подмножеством нулевого множества для весового класса голоморфных функций в (см. п.2). Даны также условия на варьирование нулевых подмножеств, при которых они остаются такими же (см. п.3). При этом ограниченная область произвольна, а условия на систему весов, определяющую класс , и на подмножество имеют общий характер, и в то же время вполне обозримы и легко проверяемы. В рассматриваемых терминах все результаты не улучшаемы. В то же время они являются новыми даже для классов функций в , задаваемых радиальной системой весов, и перекликаются с известными критериями для нулевых множеств (см., к примеру, [2, теорема 2.2]). Нередко для пространств в удается показать, что всякое нулевое подмножество для них является и нулевым множеством (см., к примеру, [5]). Таким образом, исследование нулевых подмножеств, наряду с тем, что представляет значительный самостоятельный интерес, может быть полезным и при описании нулевых множеств, равно как и в вопросах интерполяции, полноты систем функций, базисности, спектрального синтеза и многих других.


Истоки использованного метода доказательств — в исследованиях подобного рода для пространств целых функций в работах автора [10], [11] (см. также изложение элементов этого метода в книге П. Кусиса [12, гл. IIIC] и в кратком обзоре Т. Рансфорда [13]). Общая схема метода для одной комплексной переменной изложена в [14], для нескольких переменных — в [15]. В отличие от традиционных она имеет неконструктивный характер и не требует построения в каком-либо явном виде (в виде произведения, интеграла или иной форме) ненулевой функции из весового класса с заданным подмножеством нулей.

  1. Основные понятия и обозначения. Пусть — область в , — пространство всех голоморфных в функций, , а — множество изолированных точек в . Если существует ненулевая функция из , обращающаяся в нуль на , то нулевое подмножество для . Если класс — линейное пространство, то нулевое подмножество для называем также множеством неединственности для , и множеством единственности для в противном случае.

Через обозначаем конус всех субгармонических функций в ; — подконус всех положительных функций из .

Пусть. Линейное пространство (над ) всех голоморфных функций в , удовлетворяющих неравенству при всех , где — постоянная, обозначаем через .

Семейство функций , не содержащее тождественную , далее называем системой весов на , а функции из весовыми, или весами. Если система весов обладает свойством

для любых найдутся постоянная и весовая функция , при которых для всех ,

то класс образует линейное пространство. Если система состоит из одной функции , то условие выполнено и . Если система весов имеет вид , где, то класс обозначаем через . Если , то для выполнено , т.е. — линейное пространство. Если система весов обладает свойством

для любых найдутся постоянная и весовая функция , при которых для всех ,

то класс обозначаем как . Если вместе с выполнено и , то — алгебра. При из следует , т.е. — алгебра при условии . Если , где , то алгебру обозначаем как .

Ниже всюду до п.3 семейство , борелевских непересекающихся предкомпактных подмножеств в образует покрытие не более чем счетного подмножества . Число точек из , попавших в , обозначаем как . В нашей работе даются условия, при которых является подмножеством нулей именно для классов типа и . Эти условия формулируются в терминах определенного мажорирования числа точек значениями меры Рисса (здесь равенство в смысле теории распределений, — оператор Лапласа) некоторого субгармонического веса на всех подмножествах . Для явного количественного выражения такого мажорирования используем, в частности, простую характеристику

. (1)

— диаметр множества . Через обозначаем евклидово расстояние между множеством и дополнением области . Для полагаем . При формулировках теорем о нулевых подмножествах в терминах характеристики (1) существенную роль будет играть «мелкость» семейства относительно области , которая, в частности, будет характеризоваться предельным значением относительных диаметров подмножеств :

. (2)

Другая характеристика подобного рода из (5) использует

Определение. Энтропией линейной связности непустого подмножества S в ограниченной области называем величину

, (3)

где берется по всем спрямляемым дугам , соединяющим точки и , — их длина в евклидовой метрике.

  1. Теоремы неединственности. В пп. 2, 3 всюду ограниченная область в . Для алгебр по положительной системе весов справедлива

Теорема 1. Пусть для выполнено условие и существует число , , при котором для каждого веса найдутся весовая функция и число , для которых

при всех (4)

Если для характеристик из (2) или (3) выполнено соотношение

или , (5)

а для некоторого веса с мерой Рисса характеристика из (1) конечна, то подмножество неединственности для .

Оба условия из (5) в теореме 1 точны. Для выпуклой области последнее соотношение в (5) эквивалентно конечности величины . Очевидно, для алгебры при проверке (4) на роль веса детерминировано выбирается функция вида , где — постоянная.

Следующий аналог теоремы 1 охватывает и классы со знакопеременными весами , но за счет усиления условий на .

Теорема 2. Пусть для системы весов выполнено условие и для любого числа , , для каждого веса найдутся вес и число , при которых имеет место (4). Если и для некоторого веса характеристика из (1) конечна, то — нулевое подмножество для класса .

Дальнейшее усиление условий выводит уже на пространство по системе весов с положительной функцией .

Теорема 3. Пусть и при для любого числа найдутся числа , , и , при которых

для всех (6)

Если и , то – множество неединственности для пространства .

В наиболее жестком случае пространства

в отличие от теоремы 3 допускается и знакопеременный вес .

Теорема 4. Пусть и при и некотором найдутся числа , , и , при которых выполнено (6). Если при всех и конечна сумма , то – множество неединственности для .

  1. Теоремы устойчивости. В результатах этого пункта имеет значение нумерация нулевых подмножеств и множеств единственности. Под последовательностью в области понимаем проиндексированное натуральными числами множество изолированных точек в . Для пары последовательностей и , , в рассмотрим две характеристики их близости в области :

, , где — отрезок с концами в точках λ и γ. Очевидное неравенство в случае выпуклости переходит в равенство.

Теорема 5. Если или , а система весов такая же, как в теореме 1, то и могут быть множествами единственности для только одновременно.

Теорема 6. Если, а система весов такая же, как в теореме 2, то и могут быть нулевыми подмножествами для только одновременно.

Теорема 7. Если , а функция такая же, как в теореме 3, то и могут быть множествами единственности для только одновременно.

Теорема 8. Если , а функция такая же, как в теореме 4, то и могут быть множествами единственности для только одновременно.
Замечание 1. Все результаты без каких-либо осложнений переносяться на нулевые подмножества кратных точек, т.е. остаются справедливыми и при учете кратности обращения в нуль голоморфных функций.

Замечание 2. Условие о непересекаемости подмножеств семейства в теоремах неединственности из п.2 можно исключить, заменив его на условие локальной конечности семейства в (для каждой точки в существует открытая окрестность, пересекающаяся с конечным числом подмножеств ) и внеся необходимые изменения в определение характеристики из (1) и в формулировку теоремы 4.

Замечание 3. Результаты допускают прямое обобщение на произвольные неограниченные области. Для этого наиболее естественно перейти от евклидова расстояния к сферическому, т.е. хордальному, расстоянию на расширенной комплексной плоскости с соответствующими корректировками для функции расстояния , для длины дуги и для энтропии линейной связности из (3). Понятие энтропии линейной связности также можно распространить на области в , , или даже на метрические пространства с сохранением большинства его свойств, используемых при доказательстве теоремы 1.

Работа выполнялась при поддержке РФФИ (грант 03-01-00033) и фонда «Поддержка ведущих научных школ» (грант НШ-1528.2003.1).

ЛИТЕРАТУРА


  1. Шведенко С. В. // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». 1985. Т.23. С. 3-124.

  2. Шамоян Ф. А. // Изв. АН Арм. ССР. 1978. Т. 13. № 5-6. С.405-421.

  3. Шамоян Ф. А. // Изв. АН Арм. ССР. 1983. Т. 18. № 1. С.15-27.

  4. Korenblum B. // Acta Math. 1975. V. 135. P. 187-219.

  5. Beller E. // Israel J. Math. 1977. V. 27. P. 320-330.

  6. Beller E., Horowitz C. // J. Analyse Math. 1994. V. 64. P. 203-217.

  7. Horowitz C. // J. Analyse Math. 1995. V. 65. P. 145-159.

  8. Seip K. // J. Analyse Math. 1995. V. 67. P. 307-322.

  9. Bruna J., Massaneda X. // J. Analyse Math. 1995. V. 66. P. 217-252.

  10. Хабибуллин Б. Н. // Изв. АН СССР. 1991. Т. 55. № 5. С. 1102-1123.

  11. Хабибуллин Б. Н. // Изв. РАН . 1994. Т. 58. № 4. С. 125-148.

  12. Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. Montréal: Les Publ. CRM, 1996.

  13. Ransford T. J. // Approximation, Complex Analysis and Potential Theory. Proc. NATO Adv. Stud. Inst. (Quebec, Canada, 2000). NATO Sci. Ser. II. V. 37. Kluwer Acad. Publ. 2001. P. 221-237.

  14. Khabibullin B. N. // Israel Math. Conf. Proc. (“Entire Functions in Modern Analysis”, Tel-Aviv, 1997). 2001. V. 15. P. 207-219.

  15. Хабибуллин Б. Н. // Изв. РАН. 2001. Т. 65. №5. С. 167-190.




Похожие:

Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 94(5): 94(510): 94(515): 94(517) ббк 63. 3(5) В15
В15 Василий Павлович Васильев, 1818 – 1900. – Казань: Изд-во Казанск ун-та, 2002. – 20 с
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 517. 518 И. Э. Даниелян, Г. В. Микаелян
Интегральное представление И. Караматы. В теории медленно меняющихся функций (м м ф.) основной является теорема И. Караматы о представлении...
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconНижний Новгород 2005 г. Удк 517 ббк в161. 31 к-84 к-84 Числовые ряды. Учебно
К-84 Числовые ряды. Учебно-методическая разработка. Составители Круглова С. С., Шишина В. Т. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского...
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУчебно-методическое пособие по русскому языку Павлодар удк 372. 881. 161. 1(07) ббк 74. 261. 3 Ф82
В данной разработке представлен материал для изучения темы “Фразеологизмы русского языка” учащимися колледжа на базе 9 классов с...
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 517. 977. 5 Модифицированный генетический алгоритм для задач оптимизации в управлении
Многоэкстремальные задачи успешно решаются генетическими алгоритмами, тем не менее значительные затраты времени на решение сдерживают...
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 811. 161. 1 Ббк 81. 2Рус-92. 3 В 15

Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 811. 161. 1 Ббк 81. 2Рус-92. 3 В 15

Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconНижний Новгород 2005 г. Удк 517. 3 Ббк в167. 222 к-84 к-84 Несобственные интегралы первого рода. Учебно
К-84 Несобственные интегралы первого рода. Учебно-методическая разработка. Составители Круглова С. С., Солдатов М. А., Шишина В....
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла
Ключевые слова: уравнений Максвелла, некорректные задачи, регулярное решение, матрицы Карлемана
Ббк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций iconУдк 811. 161. 1 Ббк 81. 411. 2-8 Т-49 Л. Ш. Тлюстен элементы этимологического анализа в орфографической работе с учащимися начальных классов адыгейской школы
СТ. Как показала опытно-экспериментальная проверка, использование таких форм работы существенно повышает качество орфографических...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org