6 Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

Скачать 87.98 Kb.

Дата	15.04.2013
Размер	87.98 Kb.
Тип	Документы

6.6. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

Оболочка считается пологой, если ее геометрические размеры таковы, что выполняется условие

, т.е. если стрела подъема f оболочки в центре не превосходит 1/5 длины меньшей стороны оболочки в плане, либо

, где

– стрелы подъема сторон контура,

– размеры оболочки в плане.

Очевидно, что пологая оболочка двоякой кривизны, изображенная на рис. 6.19, характеризуется положительной гауссовой кривизной и обладает большой жесткостью. Такие оболочки в настоящее время достаточно широко применяются для устройства железобетонных большепролетных покрытий. Теория пологих оболочек была разработана во 2-й половине 40-х годов В. З. Власовым; она лежит в основе большинства методов расчета упомянутых выше конструкций.

В теории пологих оболочек, помимо гипотез, указанных в п.6.1, делается ряд специальных допущений.

Рассмотрим элемент срединной поверхности (рис. 6.19, (а)), горизонтальная проекция которого есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям x и y. Углы наклона касательных к его сторонам обозначим

(рис.6.19, (б)). В силу условий пологости оболочки, эти углы достаточно малы, чтобы можно было принять

, (6.43)

откуда следует

. (6.44)

Поэтому считается, что

а) геометрия срединной поверхности пологой оболочки не отличается от геометрии плоскости;

б) для пологих оболочек можно также принять, что

gif" name="object18" align=absmiddle width=116 height=21>;

в) линии на срединной поверхности, проекции которых суть прямые, параллельные осям x и y, являются линиями главных кривизн.

f

f₁

f₂

l₁

l₂

R₂R₁

Рис. 6.19

Из (6.43) следует также, что можно не делать различия между нормалью к срединной поверхности и вертикалью.

Для пологих оболочек, применяемых для устройства покрытий и перекрытий, в большинстве случаев основной является вертикальная нагрузка (собственный вес, полезная нагрузка). Поэтому в дальнейшем, считается отличной от нуля только составляющая

, действующая в направлении оси z.

Расчет пологой оболочки заключается в определении 15 неизвестных (6 усилий, 6 деформаций и 3 перемещений) являющихся функциями переменных x и y (рис. 6.9).

Уравнения равновесия запишем по аналогии с уравнениями плоской задачи (3.11) и теории изгиба пластинок (5.12) – (5.14).

, (6.45)

.

При

, когда оболочка превращается в пластинку, последнее из этих уравнений вырождается в (5.14).

Зависимости между внутренними усилиями моментного типа и перемещениями принимаются такими же, как и в теории изгиба пластинок

(6.46)

Сохраняются поэтому и выражения для перерезывающих сил.

, (6.47)

где

. (6.48)

Уравнение совместности деформаций (3.17) здесь принимает вид

, (6.49)

где

(6.50)

оператор, учитывающий кривизны оболочки

.

Если мембранные усилия представить по аналогии с плоской задачей, через функцию напряжений

, (6.51)

то формулы закона Гука преобразуются к виду

(6.52)
,

,

Теперь, приведенные здесь уравнения (6.45) – (6.52), можно свести к двум уравнениям относительно функции прогибов w и функции напряжений F. Если в последнее из уравнений равновесия (6.45) подставить выражения (6.47) для поперечных сил и выражения (6.50) для мембранных сил, то получим

. (6.53)

Если в уравнении совместности деформаций (6.49) деформации выразить с помощью зависимостей (6.52) то получим

. (6.54)

Воспользовавшись обозначениями (6.48) и (6.50) для операторов Лапласа

и применив обозначение

, систему из двух разрешающих уравнений (6.53) и (6.54) теории пологих оболочек можно представить следующим образом

(6.55)

Выражения (6.55) представляют собой уравнения смешанного метода: одна неизвестная функция F - силовая, другая w – есть перемещение. Первое из уравнений получено из условий равновесия, второе – из условия совместности деформаций. Наконец, операторы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются только знаком.

Легко заметить, что при

, т.е. тогда, когда срединная поверхность оболочки вырождается в плоскость, система уравнений (6.55) распадается на два самостоятельных дифференциальных уравнения в частных производных. В этом случае первое из этих уравнений, является бигармоническим уравнением плоской задачи, второе - основным уравнением изгиба пластинок.

Функции w и F являются разрешающими. Это значит, что через них можно выразить мембранные усилия (6.57), изгибающие и крутящие моменты (6.46), поперечные силы (6.47), а воспользовавшись геометрическими зависимостями и формулами (6.52) можно получить выражения для перемещений u и v

(6.56)

Естественно, что при решении конкретных задач к системе разрешающих дифференциальных уравнений (6.55) следует присоединить условия на контуре.

Рассмотрим расчет пологих оболочек двоякой кривизны с шарнирным опиранием по всему контуру.

y

z

x

l₁

l₂

Рис. 6.20

Предположим, что пологая оболочка положительной гауссовой кривизны закреплена по всему контуру, как показано на рис. 6.20. Граничные условия, таковы:

п
(6.57)
ри

;

при

.

Требуется построить решение системы дифференциальных уравнений (6.55), удовлетворяющее условиям (6.57). Для этого представим искомые функции в виде двойных тригонометрических рядов (решение В. З. Власова):

, (6.58)

. (6.59)

Здесь

– неизвестные постоянные коэффициенты, m и n – числа натурального ряда.

Величину внешней нагрузки

, стоящую в правой части первого уравнения (6.55), разложим также в двойной тригонометрический ряд на прямоугольной области

, то есть:

. (6.60)

Коэффициент

– величина известная, определяемая согласно теории рядов Фурье:

. (6.61)

Выражения (6.58) и (6.59) удовлетворяют граничным условиям (6.57). Действительно, если развернуть эти граничные условия с помощью выражений (6.46), (6.51) и (6.56), увидим, что, например, для

(6.62)

В (6.62) входят производные по переменной x только четных порядков. А так как при

, величина

и любая её четная производная обращаются в нуль, то условия (6.57) удовлетворяются. То же можно показать и для краев

.

Для определения коэффициентов

подставим ряды (6.58), (6.59) и (6.60) в систему (6.55); для каждого члена ряда получим следующую систему алгебраических уравнений

(6.63)

Решая ее, находим

(6.64)

Для упрощения формул введем обозначения

. (6.65)

Тогда

(6.65)

В случае действия равномерно распределенной нагрузки, то есть при

, выражение (6.61), которое применяется при расчете как оболочек, так и пластинок, принимает вид

(6.67)

Подстановка (6.67) в (6.64) дает

, (6.68)

где

(6.69)

Если подставить (6.66) в (6.58), (6.59), а затем в (6.51) (6.46) и (6.47) то получим расчетные формулы

, (6.70)

.

Быстрота сходимости рядов (6.70) определяется структурой их коэффициентов. Каждый из них представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно индексов m и n. Чем больше степень знаменателя превышает степень числителя, тем быстрее сходится ряд. Если, например, подставить в формулы для

выражения

(6.69), то убедимся, что у полученных дробей знаменатели одинаковы, в числителе же у выражения для

стоит многочлен четвертой степени, а у выражения для

– шестой. Ряд для

сходится быстрее, чем для

. Вообще, ряды для мембранных усилий сходятся быстрее, чем для моментных.

В этом можно также убедиться сравнив форму эпюр тех и других усилий (рис. 6.2). У мембранных усилий она гораздо более плавная.

В строительстве обычно применяются пологие оболочки с соотношением размеров

; чаще всего – квадратные. На рис. 6.21 показан примерный вид эпюр внутренних усилий в квадратной оболочке при равномерно распределенной нагрузке.

Из рисунка видно, что усилия моментного типа (

) быстро убывают по мере удаления от края: имеет место краевой эффект.

В средней части оболочки действуют только мембранные усилия (

), т.е. там существует безмоментное напряженное состояние. В узловых зонах развиваются главные растягивающие усилия, которые действуют по диагональным сечениям (рис. 6.22).

При расчете железобетонной прямоугольной в плане пологой оболочки двоякой кривизны нужно иметь в виду, что при равномерно распределенной нагрузке возможно появление трещин двух типов. Сквозные трещины могут развиваться ввиду наличия главных растягивающих напряжений по диагональным сечениям у углов. Трещины второго типа (2 на рис. 6.22, (а)) связаны с изгибающими моментами краевого эффекта и возможны на нижней поверхности оболочки.

Таким образом, в оболочке можно выделить приконтурную полосу, где на нижней поверхности действует растягивающие напряжения (рис. 6.22, (б)). Ширина этой полосы t зависит от параметра

, причем для квадратной оболочки эта зависимость изображается графиком, приведенным на рис. 6.22, (в).

О

болочка должна быть запроектирована так, чтобы в процессе ее эксплуатации трещины не появлялись, или чтобы была ограничена ширина их раскрытия.

Рис. 6.21

6 Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

6.6. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

Рис. 6.19

y

z

Рис. 6.20

Рис. 6.22

Похожие: