Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса



Скачать 338.37 Kb.
страница1/4
Дата08.10.2012
Размер338.37 Kb.
ТипМетодическое пособие
  1   2   3   4


Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Научно-образовательный центр

«Инновационная педагогика в техническом университете»
Горбунов А.В.

Методическое пособие по курсу

«Алгебра, геометрия и теория чисел»

для мастер-класса

«Прикладная математика и математическое

моделирование»

Российской научной школы-семинара «Академия юных»

Издание научно-технической ассоциации

«Актуальные проблемы фундаментальных наук»

Лицензия № 006331, сер. ИД 05923 от 28 сентября 2001 г.

Серия «Профессионал»

УДК 001

ББК 72
М 75
Автор:

Горбунов Артур Валерьевич, доцент кафедры «Математическое моделирование» МГТУ им Н.Э. Баумана, кандидат физико-математических наук
Компьютерная верстка:

Сидоренко Евгения Александровна, начальник отдела олимпиад школьников управления «Образовательные и научные молодежные программы и проекты» МГТУ им. Н.Э. Баумана


Печатается по оригинальным авторским материалам.

УДК 001 Горбунов А.В. Российская научная школа-семинар «Академия юных»: методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» мастер-класса «Прикладная математика и математическое моделирование». М.: РОО «НТА «АПФН», 2011. 28 с.
Методическое пособие предназначено для самостоятельной, специализированной научно-исследовательской подготовки слушателей группы «Научные кадры будущего» по научному направлению « «Прикладная математика и математическое моделирование».

Приведены сведения об основах векторной алгебры и сферической геометрии, основные теоремы сферической тригонометрии и способы их доказательства. Предложены задачи для самостоятельных исследований.

ISBN 978-5-900025-70-4 © РОО «НТА «АПФН», 2011
Содержание





Стр.

Предисловие

4

1. . Примерный план курса «Алгебра, геометрия и теория чисел»

5

1.1. Восьмой цикл занятий (весна 2012 г.): «Неевклидовые геометрии»

5

1.2. Девятый цикл занятий (лето 2012 г.): «Элементарная теория чисел»

6

1.3. Десятый цикл занятий (осень 2012 г.): «Симметрия в алгебре и геометрии»

7

2. Пособие к восьмому циклу занятий «Неевклидовые геометрии»


9

2.1.
Происхождение сферической геометрии


9

2.2. Основные понятия сферической геометрии


9

2.3. Элементы сферической тригонометрии


14

2.4. Методы векторной алгебры в сферической геометрии


18

2.5. Сферическая система координат


24

2.6. Задачи для исследований


26

Список использованных источников

28


Предисловие
Изучение математики в рамках проводимого мастер-класса направлено на достижение следующих целей:

  • получение знаний об основных понятиях алгебры, геометрии и теории чисел, в том числе, векторной алгебры, теории определителей, симметрических и циклических выражений, аналитической, сферической и проективной геометрий;

  • овладение навыками решения геометрических задач, вывода уравнений кривых, использования геометрических преобразований, преобразования алгебраических выражений, доказательства тождеств и неравенств, решения задач на делимость;

  • развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе решения исследовательских задач;

  • применение полученных знаний и умений для решения задач практической и теоретической деятельности;

В результате изучения математики в рамках мастер-класса ученик должен:

  • получить представление о неевклидовых геометриях, элементарной теории чисел, теории симметрических и антисимметрических выражений;

  • овладеть навыками использования методов векторной алгебры и метода координат для решения геометрических задач, использования преобразований для решения нестандартных геометрических задач, преобразования алгебраических выражений, доказательства тождеств и неравенств, решения задач на делимость;



  • научиться использовать приобретенные знания и умения в практической и исследовательской деятельности.

1. Примерный план курса

«Алгебра, геометрия и теория чисел»

1.1. Восьмой цикл занятий (весна 2012 г.): «Неевклидовые геометрии»

Литература: 3, 4, 6, 7, 9, 11, 14, 15.
Цель занятий: познакомить школьников с некоторыми неевклидовыми геометриями и дать общее понятие о геометрии как науки, изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях из определённой группы; научить приемам решения задач сферической геометрии; применения геометрических преобразований для решения нестандартных задач; предложить темы для самостоятельных исследований.

Тема 1. Основные понятия сферической геометрии

Краткое содержание: Точки, прямые и окружности на сфере. Сферический треугольник. Сумма углов сферического треугольника и её связь с площадью, эксцесс сферического треугольника. Основные соотношения в сферическом треугольнике: теорема синусов, теоремы косинусов для сторон и для углов, теоремы половинных углов и др.

Теория: 3, 11, 14, 15.

Практика: 6, 11.

Тема 2. Применение векторной алгебры в сферической геометрии

Краткое содержание: Тождества векторной алгебры и их смысл в сферической геометрии. Координаты на сфере. Задачи для исследования

Теория: 11, 14, 15.

Практика: 6, 11.

Тема 3. Геометрические отображения и преобразования

Краткое содержание: Примеры геометрических преобразований. Типы геометрических преобразований: движения, подобия, аффинные и круговые преобразования и др. Применение преобразований к решению геометрических задач.

Теория: 15.

Практика: 7.

Тема 4. Группы преобразований

Краткое содержание: Понятие группы преобразований: произведение преобразований, обратное преобразование, тождественное преобразование. Общее определение геометрии. Координатная запись геометрических преобразований: примеры. Аналитические методы изучения преобразований: линейные преобразования, преобразования комплексной плоскости, дробно-линейные преобразования, бирациональные преобразования.

Теория: 9, 15.

Практика: 7.

Тема 5. Аналитическое исследование уравнений кривых.

Краткое содержание: Преобразование уравнений кривых на примере кривых второго порядка. Геометрическое определение и вывод канонических уравнений, свойства кривых второго порядка. Конические сечения. Приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду.

Теория: 4, 9, 15.

Практика: 4, 7.

Тема 6. Проективные преобразования и проективная геометрия

Краткое содержание: Проективная прямая и проективная плоскость. Полярное отображение и принцип двойственности в проективной геометрии. Однородные координаты. Теоремы Паппа, Дезарга, Паскаля. Понятие неточечного преобразования и группы неточечных преобразований.

Теория: 9, 15.

Практика: 7.

1.2. Девятый цикл занятий (лето 2012 г.): «Элементарная теория чисел»

Литература: 2, 8.
Цель  занятий: познакомить школьников с элементарной теорией чисел; научить приемам решения задач на делимость, вывода и доказательства признаков делимости; предложить темы для самостоятельных исследований.

Тема 1. Основные понятия элементарной теории чисел.

Краткое содержание: Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Проверка числа на простоту. Решето Эратосфена. Распределение простых чисел в ряду натуральных. Единственность разложения на простые делители. Общие делители и общие кратные. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. Темы для исследования.

Теория: 2.

Практика: 8.

Тема 2. Сравнения, классы, вычеты.

Краткое содержание: Арифметика остатков. Кольцо вычетов. Поле классов по простому модулю. Функция Эйлера. Малая теорема Ферма, теорема Эйлера и их обобщения. Задачи на делимость: некоторые методы решения.

Теория: 2.

Практика: 8.

Тема 3. Признаки делимости чисел.

Краткое содержание: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и др. Получение новых признаков делимости. Задачи на делимость: элементарные приёмы решения. Темы для исследования.

Теория: 2.

Практика: 8.

Тема 4. Сравнения с неизвестной.

Краткое содержание: Приложение теории сравнений для решения неопределённых (диофантовых) уравнений.

Теория: 2.

Практика: 8.

Тема 5. Действительные числа.

Краткое содержание: Рациональные и иррациональные числа, примеры. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и примеры трансцендентных чисел. Приближение иррациональных чисел рациональными. Понятие мощности множества. Мощности множеств натуральных, целых, рациональных, алгебраических, действительных и трансцендентных чисел. Темы для исследования.

Теория: 2, 8.

Практика: 8.

1.3. Десятый цикл занятий (осень 2012 г.): «Симметрия в алгебре и геометрии»

Литература: 1, 7, 8, 13, 15.
Цель  занятий: познакомить школьников с теорией симметрических и антисимметрических многочленов, а также методами использования симметрии для решения алгебраических задач, познакомить с приёмами вывода тождеств и неравенств для элементов треугольника; научить приемам решения симметрических систем, доказательства симметрических неравенств, разложения на множители многочленов с несколькими переменными.

Тема 1. Симметрические многочлены от двух и трёх переменных

Краткое содержание: Основная теорема о симметрических многочленах. Выражение степенных сумм через элементарные многочлены, формула Варинга.

Теория: 1.

Практика: 1, 8.

Тема 2. Приложение симметрических многочленов

Краткое содержание: Решение симметрических систем. Доказательство симметрических неравенств. Разложение симметрических многочленов на множители. Освобождение от иррациональности в знаменателе.

Теория: 1.

Практика: 1, 8.

Тема 3. Антисимметрические многочлены двух и трёх переменных

Краткое содержание: Основная теорема об антисимметрических многочленах. Дискриминант и его применение. Разложение антисимметрических многочленов на множители.

Теория: 1.

Практика: 1, 8.

Тема 4. Симметрические и антисимметрические многочлены от n переменных

Краткое содержание: Элементарные многочлены от n переменных. Основные теоремы о симметрических и об антисимметрических многочленах n переменных. Перестановки и инверсии. Чётность перестановки. Чётно-симметрические многочлены от n переменных. Представление чётно-симметрического многочлена в виде суммы симметрического и антисимметрического многочленов.

Теория: 1.

Практика: 1, 8.

Тема 5. Симметрические тождества и неравенства для элементов треугольника

Краткое содержание: Основные соотношения между элементами треугольника, радиусами вписанной и описанной окружностей. Симметрические тождества для сторон, углов, высот и радиусов вневписанных окружностей. Необходимые и достаточные условия существования треугольника с данными элементами.

Теория: 1, 13.

Практика: 7, 8.

2. Пособие к восьмому циклу занятий

«Неевклидовые геометрии»

2.1. Происхождение сферической геометрии

Сферическая геометрия являет собой содержательный пример неевклидовой геометрии, нашедшей приложения во многих отраслях человеческой деятельности. Интересно, что сферическая геометрия возникла за две тысячи лет до появления самого термина «неевклидова геометрия», предложенного лишь в начале XIX века н.э. Вероятно, первым к сферической геометрии обратился греческий математик Евдокс (ок. 408–355 гг. до н.э.) в попытке описать движение планет через сложное вращение четырёх концентрических сфер. Позже, после проникновения идей греческих геометров в Александрию, значительный вклад в сферическую геометрию внёс александрийский геометр Менелай. В его трёхтомном труде «Сферика» был подведён итог предшествующему развитию сферической геометрии, введены в рассмотрение сферические треугольники, обнаружен и доказан ряд соотношений между их элементами. В частности, Менелаем было показано, что сумма углов сферического треугольника всегда больше . Результаты Менелая почти сразу были использованы в астрономических расчётах Клавдием Птолемеем. В своей книге «География» Птолемей также пользуется сферической геометрией, считая Землю шаром. Позже сферическая геометрия окончательно утвердилась в морской навигации и геодезии, т. е. стала использоваться при описании земной поверхности.

2.2. Основные понятия сферической геометрии

В случае, когда размер фигуры на сфере значительно меньше радиуса сферы, фигуру можно считать плоской и использовать для её измерения аппарат планиметрии. Именно так поступают в геодезии при составлении карт небольших участков поверхности Земли. Это обстоятельство обуславливает определённую аналогию между основными понятиями планиметрии и сферической геометрии, которую мы будем использовать при изложении понятий сферической геометрии.

2.2.1. Точка, прямая и окружность

Роль таких понятий планиметрии как точка, прямая и окружность в сферической геометрии играют точка сферы, большая и малая окружности. Сечение сферы плоскостью может быть точкой сферы или окружностью. Из рис. ... видно, что радиус такой окружности является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу сферы , и другим катетом , равным расстоянию от центра сферы до плоскости. Поэтому по теореме Пифагора



Радиус окружности будет максимальным в случае, когда плоскость проходит через центр сферы (). В этом случае окружность на сфере называется большой окружностью, а секущая плоскость диаметральной плоскостью. При имеем и в этом случае окружность на сфере называется малой окружностью. При сечение сферы плоскостью будет точкой сферы, а секущая плоскость будет касательной плоскостью к сфере.



Рис. 1.

Аналогию между сферической геометрией и планиметрией иллюстрируют следующие факты.

Через любые две точки на сфере, не являющиеся концами одного диаметра, проходит единственная большая окружность. Действительно, поскольку через любые три точки, не лежащие на одной прямой, может быть проведена единственная плоскость, то через любые две точки на сфере и центр сферы, проходит диаметральная плоскость, единственная в том случае, когда точки на сфере не являются диаметрально противоположными. Сечение сферы такой плоскостью как раз является большой окружностью. Этот факт аналогичен тому, что на плоскости через две различные точки проходит единственная прямая.

Через любые три точки, не лежащие на одной большой окружности, может быть проведена единственная малая окружность. Действительно, поскольку три точки не лежат на большой окружности, то они различные и не лежат на одной прямой. В противном случае через точки можно провести диаметральную плоскость, которая пересекаясь со сферой, образует содержащую их большую окружность. Поэтому через три такие точки может быть проведена единственная плоскость и эта плоскость не является диаметральной. Сечение сферы такой плоскостью будет искомой малой окружностью. Этот факт аналогичен тому, что на плоскости через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность.

Обнаруженная аналогия позволяет большую окружность называть сферической прямой, а малую окружность — сферической окружностью. Однако найденная аналогия не полна. Как правило, отличия между плоской и сферической геометриями проявляются, если вместо ограниченных фигур плоскость и сфера рассматривается целиком.








Рис. 2а

Рис. 2б

Рис. 2в
В плоской геометрии две прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке. В сферической геометрии две большие окружности всегда пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. В последнем можно убедиться, заметив, что любые две диаметральные плоскости сферы пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы, и поэтому любые две большие окружности имеют две общие с этой прямой диаметрально противоположные точки.



Рис. 3.

Другое отличие между плоской и сферической геометриями можно наблюдать, если рассмотреть количество областей, на которые сферу делят большие окружности. Одна большая окружность делит сферу на две полусферы (рис. 2а). Две большие окружности делят сферу на четыре области (рис. 2б), которые называются двуугольниками. Три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (рис. 2в). В первых двух ситуациях имеется аналогия свойствам прямых на плоскости: плоскость разбивается на две области одной прямой и на четыре области двумя пересекающимися прямыми. Однако в третьей ситуации такая аналогия нарушается, так как три не пересекающиеся в одной точке прямые, делят плоскость только на семь частей (рис. 3).
  1   2   3   4

Похожие:

Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел"
Вопросы к экзамену по курсу “Линейная алгебра, аналитическая геометрия и теория чисел”
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconМетодическое пособие по курсу «Современные машиностроительные технологии» для мастер-класса «Машиностроительные технологии»
Методическое пособие предназначено для школьников, занимающихся научно-исследовательской работой и интересующихся техникой. Оно содержит...
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconМетодическое пособие по курсу «История, проблемы и перспективы развития транспорта» для мастер-класса «Наземный и космический транспорт»
Учебное пособие предназначено для самостоятельной, специализированной научно-исследовательской подготовки слушателей группы «Научные...
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconУчебно-методическое пособие «Контрольные работы по курсу Теория систем и системный анализ»
Дьяченко Р. А., Коновалов Д. П. Учебно-методическое пособие «Контрольные работы по курсу Теория систем и системный анализ» для студентов...
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconМетодическое пособие и контрольные задания для студентов-заочников механических специальностей (0702) (1706) Часть 1 Кемерово 2003
Методическое пособие предназначено для студентов механических специальностей заочной формы обучения по курсу начертательная геометрия...
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconУчебно-методическое пособие для учителей. Виртуальная лаборатория. «Живая физика + Живая геометрия»
Чрезвычайные приключения Юли и Ромы: Пособие для проведения занятий по курсу обж в начальной школе
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» по физико-математическим наукам
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математическая логика; алгебра; теория чисел
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Методическое пособие по курсу «Алгебра, геометрия и теория чисел» для мастер-класса iconМетодическое пособие по курсу «Теория и методика физического воспитания и спорта» для студентов специальности «Спортивный менеджмент»
Методическое пособие предназначено для студентов специальности «Спортивный менеджмент», преподавателей, аспирантов. В пособии рассматривается...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org