Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение



Скачать 44.47 Kb.
Дата23.04.2013
Размер44.47 Kb.
ТипСтатья
А.Г. Кускочева,

cтудент Горно-Алтайского государственного университета

(г. Горно-Алтайск, Россия)
ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Статья посвящена построениям гиперболических поверхностей второго порядка и их использованию в практической жизни.

Гиперболоид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность) — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением:

1) однополостный гиперболоид (1), где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось. Гиперболоид имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью хОу. В этой плоскости z = 0, поэтому .

Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями a и b (рис.1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. В этой плоскости x = 0, поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось – b, а мнимая полуось – c.

Р
ис.1. Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением . Изобразим эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж, не будем отображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис.2). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ±h, h > 0. Уравнения этих линий: , z = ±h. Первое уравнение преобразуем к виду:

, то есть к виду (2), где , . Уравнение (2) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a1 и b1. Изобразим полученные сечения:

png" name="graphics2" align=left hspace=12 width=167 height=213 border=0>



Рис.3. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений
Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке ниже:
Р
ис.4. Однополостный гиперболоид
Е
сли в уравнении (1) a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz:
Рис.5. Однополостный гиперболоид вращения
2) Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид (3) , где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Двуполостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатными плоскостями, координатными осями и началом координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. В этой плоскости z=0, поэтому . Координаты ни одной точки плоскости yOz не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. В этой плоскости x=0, поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось – c, а мнимая полуось – b. Построим эту гиперболу:

Р
ис.6. Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью yOz
Сечение плоскостью xOz также является гиперболой, с уравнением . Изобразим эту гиперболу без асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 7). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ±h, h>0. Уравнения этих линий: , z = ±h. Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если |h| –c, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку (0; 0;c) или (0; 0; –c). Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть |h|>c. Первое уравнение преобразуем к виду: , то есть к виду (4): x2/a12 + y2/b12 =1, где , . Уравнение (4) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями а1 и b1. Изобразим полученные сечения:

Р
ис.7. Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений
Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 8:

Р
ис.8. Двуполостный гиперболоид
Если в уравнении (3) a = b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 9).





Рис.9. Двуполостный гиперболоид вращения
Поверхности второго порядка часто используются в технике и архитектуре. Такие конструкции из стальных сетчатых оболочек были спроектированы инженером Владимиром Григорьевичем Шуховым, они представляют собой башни. Принцип устройства гиперболоидных башен Владимир Григорьевич использовал в сотнях сооружений: водонапорных башнях, опорах линий электропередачи, мачтах военных кораблей.

Гиперболоидные конструкции наиболее широко используются в строительстве и вызывают всеобщий восторг. Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.

Спустя годы гиперболические конструкции все более модернизируются и используются во всем мире в различных своих проявлениях. Современное общество восхищается творениями архитекторов, даже не подозревая, что всё это геометрия. Наука, которую некоторые людей считают абсолютно ненужной. Но стоит лишь немного углубиться в историю создания окружающих нас предметов и становится ясно, что геометрические образы являются основой мироздания.
Литература

  1. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия [Текст] / В.А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М.: Наука-физматлит, 1999. – 224 с.

  2. Шухова, Е.М. Владимир Григорьевич Шухов. Первый инженер России [Текст] / Е. М. Шухова. – М.: МГТУ, 2003. – 368 с.

Похожие:

Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconБилет №хз 4 1) Основная теорема зацепления. Ее практическое применение. Типы зубчатых зацеплений
...
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconПрактическое применение знаний

Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconДоклад «Практическое применение информационно компьютерных технологий на уроках биологии»
«Практическое применение информационно компьютерных технологий на уроках биологии»
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconЭлементы топологии и симплектической геометрии
Теорема классификации двумерных поверхностей. Две серии поверхностей. Поверхности с краем и без края. Связная сумма. Ориентируемость...
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение icon«Интерактивное создание кривых и поверхностей с использованием сплайнов»
В-сплайна, далее можно только передвигать контрольные точки либо начать построение заново
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconПрименение законов Ньютона
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме, показать практическое применение законов Ньютона, продолжить формирование...
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconИсследование поверхностей вращения в трехмерном евклидовом пространстве
Для формирования четкого представления о поверхностях вращения необходимо систематизировать способы получения поверхностей вращения,...
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconПериодические издания 2008 год
Флюоресцентная гибридизация in situ: практическое применение в онкоурологии
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconПостроение серединного перпендикуляра
Построение в «Живой геометрии»: выделяем отрезок, в меню Построение – середина, проводим перпендикуляр через середину отрезка
Построение гиперболических поверхностей и их практическое применение iconДион Фочун Тайное без вымыслов
Практическое применение оккультизма в решении проблем повседневной жизни. Основные принципы
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org