Дифференциальная геометрия и топология



Скачать 29.03 Kb.
Дата08.10.2012
Размер29.03 Kb.
ТипДокументы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ


проф. Е.В. Троицкий

1/2 года, 3 курс

– Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества и их свойства.

– Топологические пространства, внутренность, замыкание. Непрерывное отображение.

– Гомеоморфизм. Декартово произведение.

– Связность и линейная связность. Связь между этими понятиями.

– Хаусдорфовость. Нормальность. Лемма Урысона. Формулировка теоремы Титце о продолжении. Разбиение единицы.

– Компактность. Компактное хаусдорфово пространство нормально.

– Гладкое многообразие, гладкое отображение, диффеоморфизм. Существование атласа с картами, диффеоморфными шару .

– Существование гладкого разбиения единицы.

– Поверхность уровня как многообразие.

– Три определения касательного вектора, эквивалентность первых двух.

– Касательное отображение, регулярное значение. Прообраз регулярного значения.

– Погружение, вложение, вложение в сильном смысле, подмногообразие. Теорема о связи образа вложения и подмногообразия. Формулировка леммы Сарда.

– Слабая теорема Уитни.

– Касательное расслоение.

– Понятие ориентированного многообразия с краем. Край. Ориентация края гладкого ориентированного многообразия.

– Риманова метрика, тензорный подход, существование. Прообраз, индуцированная метрика.

– Тензоры, сумма, произведение, свертка, альтернирование и симметрирование тензоров.

– Тензорные поля и полилинейные отображения.

– Поднятие и опускание индексов у тензора.

– Теорема о представлении тензора в виде суммы тензорных произведений простейших тензоров.

– Дифференциальные формы и алгебраические операции над ними.

– Представление дифференциальных форм в локальных координатах.

– Ковариантный градиент векторного поля в евклидовом пространстве. Закон изменения коэффициентов связности при замене координат.

– Ковариантный градиент тензорных полей произвольной валентности в евклидовом пространстве.

– Аффинная связность. Ее свойства и характеризация ими.

– Симметрическая связность, ассоциированная с римановой метрикой.

– Формулы ковариантной производной по направлению и вдоль кривой.

– Операция параллельного перенесения. Геометрическая интерпретация ковариантной производной. Связность на поверхности в евклидовом пространстве.

– Сохранение длины и угла между векторами при параллельном перенесении.

– Геодезические. Существование и единственность при заданных начальных условиях.

– Экспоненциальное отображение. Теорема о существовании окрестности с условием един­ственности "короткой" геодезической.

– Тензор кривизны Римана.


– Свойства симметрии и косой симметрии тензора кривизны.

– Формулы для компонент тензора кривизны римановой связности.

– Тензор Риччи и скалярная кривизна. Связь с гауссовой кривизной поверхности.

– Геометрический смысл компонент тензора Римана.

– Теорема о независимости параллельного перенесения от кривой среди гомотопных при нулевом тензоре кривизны.

– Внешний дифференциал и его свойства.

– Понятие когомологий гладкого многообразия. Прообраз дифференциальной формы при гладком отображении. Связь с гомотопиями.

– Понятие интеграла дифференциальной формы по ориентированному многообразию. Не­зависимость интеграла от выбора локальной системы координат.

– Общая формула Стокса.

– Объем риманова ориентированного компактного многообразия.

Литература


1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М., Наука, 1979.

2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., изд-во МГУ, 1980.

3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1967.

4. Хирш М. Дифференциальная топология. М., Мир, 1979.

Похожие:

Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология

Дифференциальная геометрия и топология iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Дифференциальная геометрия и топология iconПрограмма дисциплины «дифференциальная геометрия и топология»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Дифференциальная геометрия и топология iconВопросы по курсу лекций "Классическая дифференциальная геометрия и топология" для студентов математиков 2 курса (весна 2009 г.)

Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная геометрия и топология
Классические примеры тензоров, градиент функции, функцио­нал, скалярное произведение, линенйный оператор
Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная геометрия и топология
Теорема о неявных функциях (формулировка), теорема об обратном отображении, теорема "об образе"
Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная геометрия и топология
Общее определение многообразия. Атлас, карты, координатные отображения. Функции перехода (склейки). Топологические и гладкие многообразия....
Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная геометрия и топология
...
Дифференциальная геометрия и топология iconНекоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике г. Вейля >01. 01. 04 геометрия и топология

Дифференциальная геометрия и топология iconДвойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности 01. 01. 04 геометрия и топология

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org