Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами



Скачать 92.79 Kb.
Дата27.04.2013
Размер92.79 Kb.
ТипДокументы

Формирование и оптические свойства световодов на фотонных…



ФОРМИРОВАНИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВЕТОВОДОВ НА ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ СО СТРУКТУРНЫМИ ДЕФЕКТАМИ
С.А. Чивилихин

В статье описана теоретическая модель процесса формирования структуры световода на фотонных кристаллах при его вытяжке. Учтено действие сил поверхностного натяжения. Найдены условия, при которых геометрические характеристики получаемого волокна мало отличаются от идеальных. Построена модель, описывающая распространение электромагнитного поля по микроструктурному световоду, в предположении малости поперечного размера отдельного капилляра по отношению к расстоянию между капиллярами. Рассчитана структура волнового поля в световоде со слабо искаженной геометрией. Показано, что даже в многомодовом режиме, волокно на фотонных кристаллах будет иметь малую межмодовую дисперсию.

Введение

Световоды на фотонных кристаллах, впервые полученные в 1996 г. [1], в настоящее время привлекают внимание многих исследователей – см. например [2-3]. Объясняется это уникальными свойствами таких волокон, в частности, возможностью получения одномодового волокна с большой апертурой. Световоды на фотонных кристаллах производятся по технологической схеме «складывай и вытягивай». Для производства таких световодов множество тонких стеклянных трубочек помещают в одну большую трубу. После нагрева и вытяжки все воздушные прослойки между тонкими трубочками схлопываются. Но отверстия внутри трубочек не коллапсируют полностью (зачастую за счет дополнительного давления воздуха внутри трубочек). Так образуется оптическое волокно с регулярной гексогональной структурой воздушных отверстий – двумерный фотонный кристалл. При первоначальной сборке центральная трубочка либо заменяется на сплошной стержень, либо на трубочку большего диаметра. Этот «дефект» играет роль ядра волокна. Свет распространяется вдоль волокна – в ядре и, частично, в оболочке из воздушных капилляров.

В ходе вытяжки, идеальная геометрическая конфигурация капилляров нарушается, во многом за счет действия сил поверхностного натяжения на их границах. Схлопывающийся капилляр возмущаетсоздает вокруг себя поле скоростей, влияющее на схлопывание других капилляров. Это приводит к изменению относительных расстояний между центрами капилляров. Форма капилляров теряет первоначальную круговую конфигурацию и становится, в первом приближении, эллиптической.

В настоящее время интенсивно исследуются оптические свойства световодов на фотонных кристаллах «реальной конфигурации» т.е. с учетом искажений геометрии световодов при вытяжке [4-5]. Однако гидродинамика вытяжки световодов на фотонных кристаллах лишь начинает изучаться [6-7]. В настоящей работе исследуется влияние капиллярных сил на формирование дефектов структуры световода на фотонных кристаллах. Построено приближенное описание гидродинамики процесса вытяжки волокна.
Полученные аналитические соотношения позволили получить условие слабого искажения геометрии волокна при вытяжке. Приведен пример расчета волнового поля в таком волокне.
Вытяжка световодов на фотонных кристаллах

В силу высокой вязкости стекла, гидродинамика его течения описывается в рамках квазистационарного приближения Стокса [8]. При формировании структуры световода на фотонных кристаллах в процессе вытяжки, поле скоростей стекла определяется двумя факторами – усилием вытяжки и капиллярными силами на свободной границе световода. В силу линейности уравнений Стокса, можно рассматривать оба фактора по отдельности.

Рассмотрим сначала влияние капиллярных сил на поле скоростей. Считая задачу двумерной, для каждого сечения волокна с границей запишем уравнения движения, неразрывности и граничные условия к ним в виде

(1)

где - ньютоновский тензор напряжений, - давление, - компоненты скорости стекла, - динамическая вязкость жидкости, - -символ Кронекера, индексы пробегают значения 1,2. По дважды повторяющимся индексам предполагается суммирование.
Граничные условия на свободной границе волокна (как на его внешней поверхности, так и на внутренней поверхности капилляров) запишем в виде

, (2)

где - компоненты вектора внешней нормали к границе, - коэффициент поверхностного натяжения стекла.

Следуя [9], введем в области гладкие поля и , связанные соотношением

. (3)

Умножая уравнение движения (1) на , интегрируя по и используя (2-3), получаем

. (4)

Здесь S, l – площадь и периметр области g; - средние по области и ее границе. Полагая в (4) , находим среднее по области значение давления

, (5)

что может быть получено непосредственно из [10]. Согласно (1), (3),

, - гармонические функции. Вводя в полный набор гармонических ортонормированных функций , и используя (4), (5), получаем

. (6)

Полный набор аналитических функций в области с многосвязной границей состоит из функций вида , , где - фиксированные точки, каждая из которых расположена в одной из внутренних полостей [11]. Ортогонализуя по Грамму-Шмидту полный набор гармонических функций , , получаем искомую полную ортонормированную систему гармонических в области функций .

Представляя (3) в виде

,

где - сопряженная с гармоническая функция, для каждой определим через интеграл по комплексной кривой.

Тензор напряжений, выраженный через функцию Эри

(7)

тождественно удовлетворяет уравнениям движения (1). При этом граничные условия (2) принимают вид

, (8)

где - единичный антисимметричный тензор; - единичный касательный вектор к границе, направление которого согласовано с направлением обхода. Интегрируя (8), получаем

,

где - постоянные интегрирования, - компоненты связности границы.

Введем гармоническую функцию , такую, что . Тогда для аналитической функции имеем

.

Это возможно лишь, если на всех контурах совпадают. Обозначая их общее значение через и перенормируя с помощью замены , не меняющей вида (7), получаем

. (9)

Используя (7) и явный вид тензора напряжений, имеем

, (10)

, (11)

где - сопряженная с аналитическая функция. Интегрируя (10), получаем

. (12)

Тогда, согласно (9),

. (13)

В ходе вытяжки происходит сжатие волокна в поперечном направлении.

Ограничиваясь изотермической моделью вытяжки, и используя лагранжеву систему координат, движущуюся вдоль волокна со скоростью жидкости, запишем скорость сжатия волокна в виде

, (14)

где - длина зоны вытяжки, и - продольная скорость волокна в начальном и в конечном сечениях, - время движения данного сечения волокна вдоль зоны вытяжки. В момент выбранное сечение волокна находится в начале зоны вытяжки, в момент - в конце зоны вытяжки,

.

Движение границы (как его внешней границы, так и поверхности капилляров) определяется из условия равенства нормальной скорости границы и нормальной компоненты скорости жидкости на границе

. (15)

Отметим, что сжатие волокна со скоростью определяется усилием вытяжки и приводит к подобному преобразованию всех геометрических характеристик поперечного сечения волокна без искажения. За искажение геометрии волокна отвечают капиллярные силы, действующие на свободной границе световода. Вклад капиллярных сил в общую поперечную скорость приводит к нарушению геометрических пропорций волокна.
Условием малого искажения геометрии волокна при вытяжке является малость скорости по сравнению с . Согласно (13) и (14) волокно при вытяжке не будет подвергаться существенным искажениям геометрии, если

, (16)

где и - начальные (до вытяжки) значения радиусов волокна и капилляров, - число капилляров в волокне.
Распространение электромагнитного поля вдоль волокна на фотонных кристаллах

Уравнения Максвелла для гармонических полей в среде с постоянной магнитной проницаемостью и переменной диэлектрической проницаемостью имеют вид
, .
Распространение электромагнитной волны вдоль световода может быть описано с помощью интегрального уравнения [12], в котором используется функция Грина уравнения Гельмгольца [13]:
,
где - диэлектроческая проницаемость стекла, напряженность электрического поля введенной в световод волны, - модуль ее волнового вектора. Подинтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри воздушных капилляров, которые мы будем считать эллипсами с полуосями . Ориентацию эллипсов будем задавать углом поворота полуоси относительно оси . Поперечный размер капилляров мал по сравнению с расстоянием между капиллярами. Используя этот факт, будем считать внешнее поле в окрестности капилляра однородным, а поле внутри капилляра – связанным с внешним полем соотношеними электростатики [14]. Тогда, для Фурье-трансформант полей в капиллярах ( - координата вдоль оси волокна), получаем систему линейных уравнений
, (17)
где

- функция Макдональда, - расстояние между центрами капилляров с номерами и . Решение системы (17) имеет вид
, (18)
где - детерминант системы (16), - ее обратная матрица. Используя (18), представим электрическое поле в световоде в виде
, (19)
где - вектор точки наблюдения и центра капилляра с номером .

Для расчета интеграла (19) используем комплексную плоскость .

Дополним путь интегрирования вдоль реальной оси до замкнутого контура полуокружностью большого радиуса в верхней полуплоскости комплексной плоскости – см. Рис.1. Пусть - корень уравнения , имеющий неотрицательную мнимую часть. Тогда (19) приобретает вид
. (20)
Слагаемые (20), содержащие с положительной мнимой частью, затухают на расстоянии порядка . Лишь слагаемые с вещественными описывают моды, распространяющиеся по волокну без затухания.


Рис.1. Пример распределения волновых чисел – корней уравнения на комплексной плоскости

Анализ уравнения показывает, что волновые числа , где - волновое число света, распространяющегося в волокне, - расстояние между капиллярами. Поскольку , волновые числа всех мод, распространяющихся в волокне и их скорости распространения имеют примерно одинаковое значение. Таким образом, даже в многомодовом режиме волокно на фотонных кристаллах будет иметь малую межмодовую дисперсию.
Как было показано выше, при выполнении условия (16), волокно при вытяжке не будет подвергаться существенным искажениям геометрии. На Рис.2 представлен пример расчета электромагнитного поля в таком волокне.


Рис.2. Распределение интенсивности электромагнитного поля в поперечном сечении волокна на фотонных кристаллах. Радиус капилляров – 0.2 мкм, расстояние между капиллярами 2.3 мкм, длина волны света 0.5 мкм

Список литературы

1. Knight J.C., Birks T.A., Atkin D.M., Russell P.St.J.// Opt. Lett. 1996. V.21, P.1547.

2. Knight J.C., Birks T.A., Cregan R.F., P. Russell P.St., de Sandro J.-P.// Electron. Lett. 1998. V.34, P.1347.

3. Oh K., Choi S., Jung Y., Lee J.W.// J. Lightwave Technol. 2005. V.23, P.524.

4. Rave E., Sade S., Millo A., Katzir A.// J. Appl. Phys., 2005. V.97 , P.033103.

5. Reichenbach K.L., Xu C.// Optical express, 2005. V.13, No.8, P.2799.

6. Zamyatin A.A., Makovetski A.A.// 55 J. Opt. Technol. 2006. V.73, N1, P.55.

7. Fitt A.D., Furusava T,K., Monro T.M., Please C.P., Richardson D.J.// Journal of Engineering Mathematics. 2001.V.43, P.201.

8. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М: Мир, 1976.

9. Чивилихин С.А.// Механика жидкости и газа. 1992. N. 1, C. 117.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. М: Наука, 1987.

11. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М; Л.: Гостехиздат, 1948.

12. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Т.1. М.:Мир, 1981.

13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М: Мир, 1984.

14. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М: Изд. Иностранной литературы, 1954.

Похожие:

Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconВолноводные явления и брэгговская дифракция света в слоистых средах и одномерных фотонных кристаллах

Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconОптические системы, свойства и методы контроля асферических поверхностей большого диаметра 05. 11. 07 Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы
Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н. Э. Баумана на кафедре «Оптико-электронные приборы...
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconОптические процессоры: достижения и новые идеи
В обзоре рассмотрены аналоговые и цифровые оптические процессоры, оптические процессоры нечеткой логики, а также перспективные материалы...
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconПрименение скан-технологии для обеспечения контролепригодности интегральных микросхем сверхвысокого уровня интеграции
Набор тестовых воздействий формируется таким образом, чтобы выявить максимальное число неисправностей, вызванных дефектами технологического...
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconЛекция влияние деформации на оптические свойства полупроводика
Поляризация краевой люминесценции в деформированных алмазоподобных полупроводниках
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами icon«Влияние атомно-кристаллической и электронной структуры на свойства конденсированных сред»
...
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconСпиновые эффекты в ионных кристаллах в магнитном поле в. Н. Фёклин, С. О. Легкодымов, А. А. Кочуев
Целью данной работы является рассмотрение механизмов влияния внешнего магнитного поля на движение дислокаций в пара- и диамагнитных...
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconЛекция 8 Оптические свойства анизотропной среды. Двойное лучепреломление
Зависимость фазовой скорости от направления распространения волн и поляризации электрического вектора
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconГенерация оптических гармоник в нелинейных кристаллах
Целью данной лабораторной работы является ознакомление с физическими основами процессов генерации гармоник и суммарных частот лазерного...
Формирование и оптические свойства световодов на фотонных кристаллах со структурными дефектами iconПьезоэлектрики и их свойства
В некоторых кристаллах поляризация может возникнуть и без внешнего поля, если кристалл подвергается механическим деформациям. Это...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org