Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения



Скачать 45.28 Kb.
Дата28.04.2013
Размер45.28 Kb.
ТипДокументы
Уравнения

Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных.

Корень уравнения – значение переменной обращающей уравнение в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильными называют уравнения, множества корней которых совпадают.

Свойства уравнений:

1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую и при этом изменить знак этого слагаемого на противоположный, то полученное уравнение будет равносиль­но данному.

2. Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то полученное уравнение будет равносиль­но данному.

 

Линейные уравнения

 

Линейные уравнения — уравнения вида



Если а ≠ 0, b0 , то.

Если  а ≠ 0, b = 0, то х = 0.

Если а = 0, b0, то корней нет.

Если а = 0, b= 0, то х — любое число.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения — уравнения вида

ах2 + bх + с =0, где а≠0.

Если хотя бы одно из чисел b или с равно нулю, то квадратное уравнение называется неполным, если же числа b и с отличны от нуля — полным.

 

Неполные квадратные уравнения


      ах2 + с = 0,  b= 0, с≠0 .



      ах2 + bx = 0,  b≠0, с=0

Имеем х(ах + b ) = 0;

x=0  или .

      ах2= 0, b=0, с=0.

Имеем х = 0.

 

Полные квадратные уравнения


ах2 + bх + с =0.

Если D = b2 - 4ас > 0, то 

Если D = 0, то  png" name="graphics8" align=bottom width=97 height=41 border=0>

Если D < 0, то корней нет.

 

Приведенное квадратное уравнение — уравне­ние вида

,

у которого первый  коэффициент равен   1.

     

Если D = р2 – 4q > 0, то 

Если D = 0, то 

Если D < 0, то корней нет.

 

Теорема Виета

Если х1 и х2— корни приведенного квадрат­ного уравнения , то

,   .

 

Уравнения, сводящиеся к квадратным


Уравнения высших степеней, сводящиеся к квадратным, — уравнения, которые с помощью ал­гебраических преобразований или замены перемен­ной можно свести к виду, а ах2 + bх + с =0,, где а ≠ 0.

 Разложение левой части уравнения на множители

1. Разлагают левую часть уравнения на мно­жители — многочлены первой или второй степени.

2. Приравнивают к нулю каждый множитель по отдельности.

3. Решают полученные уравнения.

 

 

Биквадратное уравнение — уравнение вида

ах4 + bх2 + с =0, где а ≠ 0

      Решение биквадратного уравнения методом замены переменной

1. Вводят переменную х2 = у.

2. Получают квадратное уравнение вида

ay2 + by + с = 0.

3.  Если в квадратном уравнении дискрими­нант D = b2 - 4ас < 0, то это квадратное, а значит, и биквадратное уравнение не имеют корней.

4. Если D = 0, то биквадратное уравнение имеет вид  (где а ≠ 0).

Тогда решение биквадратного уравнения сводится к решению неполного квадратного уравнения  (которое может либо не иметь корней, либо иметь два корня).

5. Если D > 0, то х2 = y1 или х2 = у2, где yl и y2 — корни квадратного уравнения. Тогда ре­шение биквадратного уравнения сводится к ре­шению двух неполных квадратных уравнений (в этом случае биквадратное уравнение может не иметь корней, иметь два или четыре корня).

 


Дробно-рациональное уравнение — уравнение, левая, правая или обе части которого являются дроб­ными выражениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Системы уравнений с двумя переменными

Система двух уравнений с двумя переменны­ми —  система, которую можно записать в  виде



 

 Например:



Решением системы двух уравнений с двумя пе­ременными называется пара значений х0 и у0, под­становка которых соответственно вместо х и у обра­щает оба уравнения системы в верное равенство.

Решить систему уравненийзначит найти все ее  решения   или  доказать,  что  решений   нет.

Равносильные системысистемы, у которых множества   решений  совпадают.

 

Способы решения систем уравнений


Способ подстановки

1. Выражают одну переменную через другую в одном из уравнений системы.

2. Это выражение подставляют в другое урав­нение системы, и в результате получают урав­нение с одной переменной.

3.  В уравнении с одной переменной находят корень.

4.  Подставив найденный корень, получают значение другой переменной.

5. Записывают ответ.

 

Способ сложения

1. Почленно складывают уравнения системы, предварительно умножив их на некоторые мно­жители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

2. Находят корень полученного уравнения с одной переменной.

3.Подставляют найденное значение в любое уравнение системы и находят соответствующее значение другой переменной.

4. Записывают ответ.

 

Графический способ

1. Строят графики обоих уравнений.

2.  Находят координаты точек пересечения этих графиков, которые и являются решением системы.

3. Записывают ответ.

 
Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Задача        

Периметр прямоугольника равен 80 см. Если основание прямоугольника увеличить на 8см, а высоту — на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится в полтора раза.  Каковы стороны прямоугольника?  

Решение


Пусть основание прямоугольника равно х см, а вы­сота равна у см.

Периметр прямоугольника равен 80 см, т. е.

2х + 2у = 80.

Площадь прямоугольника равна ху см2. После увеличения сторон основание прямоугольника будет равно (х + 8) см, высота (у + 2) см, а площадь будет равна

(х + 8) (у + 2) см2. По условию задачи площадь прямоугольника увеличится в полтора раза, т. е.

(х + 8) (у + 2)=1,5 ху

Итак, имеем систему уравнений



Решив ее, найдем, что

х1 = 28,  у2= 12 и х2 = 24, у2 = 16.

Задача имеет два решения. Стороны прямо­угольника равны 28 см и 12 см или они равны 24 см и 16 см.

Похожие:

Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconРешение уравнения? Тождественное преобразование. Основные виды тождественных преобразований
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена...
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconМодуль. Квадратные уравнения. Введение
Число а называется решением (или корнем) уравнения, если при подстановке числа а вместо переменной уравнение превращается в верное...
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconВычислить приближенно корень уравнения Корни уравнения называются еще нулями функции
Найти все корни уравнения точно удается лишь в частных случаях. Однако существует множество численных методов, позволяющих отыскать...
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconОбыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем...
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения icon26646 Найдите корень уравнения. №26647
Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconЛинейные уравнения
Если на рисунке изображен график функции y=f(x), тогда корень уравнения f(x)=0 равен
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconДифференциальные уравнения
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида: (1)
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org