Прямое и обратное преобразования лапласа
|
Скачать 52.03 Kb.
|
ПРЯМОЕ И ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА . Прямым преобразованием Лапласа функции действительного переменного  называется функция комплексного переменного  определяемая формулой  . (1)В случае, если функция существует, то функция действительного переменного называется оригиналом, а функция комплексного переменного - ее изображением.Если функция является оригиналом, а - ее изображением, то в любой точке  , где оригинал непрерывен, имеет место формула , (2)где интегрирование производится по любой бесконечной прямой  , лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла (1).Равенство (2) определяет обратное преобразование Лапласа функции комплексного переменного . Результат обратного преобразования - функция действительного переменного .В Mathcad PLUS можно в символьном виде выполнить как прямое так и обратное преобразования Лапласа. Чтобы выполнить прямое преобразование Лапласа, необходимо: < 1 > . Ввести выражение, которое нужно преобразовать. < 2 > . Щелкнуть мышью на переменной преобразования. < 3 > . В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команнду Laplace . Mathcad возвращает функцию переменной  , которая определяется формулой (1). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор  .Пример 1. Выполнить прямое преобразование Лапласа функции  ,где  ,  действительные постоянные числа, - действительный аргумент функции.Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь Исходная функция :  .Результат символьного преобразования Лапласа:  .Пример 2 . Выполнить прямое преобразование Лапласа функции  ,где , действительные постоянные числа, - действительный аргумент функции .Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь: Исходная функция :  Результат символьного преобразования Лапласа:  Сравните результаты примеров 1 и 2 . Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, необходимо: < 1 > . Ввести выражение, которое нужно преобразовать. < 2 > . Щелкнуть мышью на переменной преобразования. < 3 > . В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команду Invtrse Laplace . Mathcad возвращает функцию аргумента , которая определяется формулой (2). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор , то Mathcad избегает неоднозначности, возвращая функцию переменной  .Пример 3. Выполнить обратное преобразование Лапласа функции  ,где - аргумент функции комплексной переменной , ,  - действительные постоянные числа.Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь: Исходная функция:   Результат символьного обратного преобразования Лапласа:  .Пример 4 . Выполнить обратное преобразование Лапласа функции  где s - аргумент функции комплексной переменной , - аргумент функции комплексной переменной , , - действительные постоянные числа.Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь: Исходная функция:  Результат символьного обратного преобразования Лапласа:  .Сравните результаты примеров 3 и 4. Пример 5 . Выполнить обратное преобразование Лапласа функции  .Ввод исходной функции  Результат символьного обратного преобразования Лапласа:  Пример 6 . Выполнить обратное преобразование Лапласа функции  .Ввод исходной функции  Результат символьного обратного преобразования Лапласа:  Пример 7. С помощью преобразования Лапласа решить дифференциальное уравнение  при начальных условиях  ,   = 1  = 2 .Решение . Найдем прежде всего с помощью Mathcad изображение по Лапласу правой части исходного дифференциального уравнения: ввод правой части уравнения  результат преобразования по Лапласу правой части уравнения выполненного с помощью Mathcad  .Изображения по Лапласу производных искомой функции  с учетом заданных начальных условий будут : имеет изображение, равное  ; имеет изображение, равное  .Внимание ! Изображения по Лапласу производных функции получены без использования Mathcad.Теперь можно ввести исходное дифференциальное уравнение в изображении по Лапласу  .При вводе этого уравнения знак равенства вводится одновременным нажатием клавиш < Ctrl > и < = >. Аргумент функции  следует опустить.С помощью Mathcad решим это уравнение относительно . Для этого выделим неизвестную переменную  , щелкнув на ней указателем мыши. Затем следует воспользоваться меню Symbolics, выбрать строку Variable и команду Solve. В результате чего получаем К этому выражению применим обратное преобразование Лапласа так, как это было сделано в предыдущих примерах. Имеем  .Мы получили решение задачи в изображении по Лапласу, которое имеет вид  и ее решение во временной области  . |
Похожие:
 | 1. Применение преобразования Лапласа к анализу электрических цепей Основные сведения о прямом и обратном преобразовании Лапласа. Свойства и теоремы преобразования Лапласа | | 3 Положения, которые необходимо повторить перед лекцией Лапласа. Но применение этого преобразования к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. Z-преобразование... |
| Симметричные алгоритмы шифрования des, гост, Rijndael Блочный шифр – определение – прямое и обратное преобразование выполняются над блоками фиксированной длины. 2 в степени n длина блока,... | | Перечень применяемых техник и уровень сложности на каждом этапе обучения Цепочка из воздушных петель, столбики без накида, с накидом, прямое и обратное вязание, вязание по спирали |
| О методах акустической диагностики пространственного распределения всплывающих пузырьков газа в воде Данная установка позволяет изучать как прямое, так и обратное рассеяние акустических сигналов на тонком хаотическом слое всплывающих... | | Вопросы экзамена Свойства преобразования Лапласа: теоремы линейности, подобия, затухания, запаздывания, и дифференцирования по параметру. Примеры... |
| Проектирование информационных систем БД; прямое и обратное проектирование. Генерация кода клиентской части с помощью erwin: расширенные атрибуты; генерация кода в Visual... | | Преобразования в 2D пространстве Преобразования используются в разных целях С аналитической точки зрения преобразования это пересчет значений координат. Двухмерные и трехмерные преобразования отличаются по... |
 | 1 Передаточная функция разомкнутой системы системы имеет вид На основании свойств преобразования Лапласа из последнего равенства получаем дифференциальное уравнение относительно регулируемой... | | 1 Передаточная функция разомкнутой системы системы имеет вид На основании свойств преобразования Лапласа из последнего равенства получаем дифференциальное уравнение относительно регулируемой... |