Прямое и обратное преобразования лапласа



Скачать 52.03 Kb.
Дата01.05.2013
Размер52.03 Kb.
ТипДокументы






ПРЯМОЕ И ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА .

Прямым преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного определяемая формулой

. (1)

В случае, если функция существует, то функция действительного переменного называется оригиналом, а функция комплексного переменного - ее изображением.

Если функция является оригиналом, а - ее изображением, то в любой точке , где оригинал непрерывен, имеет место формула

, (2)

где интегрирование производится по любой бесконечной прямой , лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла (1).

Равенство (2) определяет обратное преобразование Лапласа функции комплексного переменного . Результат обратного преобразования - функция действительного переменного .

В Mathcad PLUS можно в символьном виде выполнить как прямое так и обратное преобразования Лапласа.

Чтобы выполнить прямое преобразование Лапласа, необходимо:

< 1 > . Ввести выражение, которое нужно преобразовать.

< 2 > . Щелкнуть мышью на переменной преобразования.

< 3 > . В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команнду

Laplace .

Mathcad возвращает функцию переменной , которая определяется формулой (1). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор gif" name="object17" align=absmiddle width=23 height=35>, то Mathcad избегает неоднозначности , возвращая функцию переменной .

Пример 1. Выполнить прямое преобразование Лапласа функции

,

где , действительные постоянные числа, - действительный аргумент функции.

Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь

Исходная функция :

.

Результат символьного преобразования Лапласа:

.
Пример 2 . Выполнить прямое преобразование Лапласа функции

,

где , действительные постоянные числа, - действительный аргумент функции .

Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь:

Исходная функция :



Результат символьного преобразования Лапласа:


Сравните результаты примеров 1 и 2 .

Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, необходимо:

< 1 > . Ввести выражение, которое нужно преобразовать.

< 2 > . Щелкнуть мышью на переменной преобразования.

< 3 > . В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команду

Invtrse Laplace .

Mathcad возвращает функцию аргумента , которая определяется формулой (2). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор , то Mathcad избегает неоднозначности, возвращая функцию переменной .
Пример 3. Выполнить обратное преобразование Лапласа функции

,

где - аргумент функции комплексной переменной , , - действительные постоянные числа.

Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь:

Исходная функция:

Результат символьного обратного преобразования Лапласа:

.

Пример 4 . Выполнить обратное преобразование Лапласа функции



где s - аргумент функции комплексной переменной , - аргумент функции комплексной переменной , , - действительные постоянные числа.

Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь:

Исходная функция:

Результат символьного обратного преобразования Лапласа:

.

Сравните результаты примеров 3 и 4.

Пример 5 . Выполнить обратное преобразование Лапласа функции

.

Ввод исходной функции



Результат символьного обратного преобразования Лапласа:



Пример 6 . Выполнить обратное преобразование Лапласа функции

.

Ввод исходной функции

Результат символьного обратного преобразования Лапласа:



Пример 7. С помощью преобразования Лапласа решить дифференциальное уравнение



при начальных условиях ,

= 1 = 2 .

Решение . Найдем прежде всего с помощью Mathcad изображение по Лапласу правой части исходного дифференциального уравнения:
ввод правой части уравнения

результат преобразования по Лапласу правой части уравнения выполненного с помощью Mathcad .

Изображения по Лапласу производных искомой функции с учетом заданных начальных условий будут :

имеет изображение, равное ;

имеет изображение, равное .

Внимание ! Изображения по Лапласу производных функции получены без использования Mathcad.

Теперь можно ввести исходное дифференциальное уравнение в изображении по Лапласу

.

При вводе этого уравнения знак равенства вводится одновременным нажатием клавиш < Ctrl > и < = >. Аргумент функции следует опустить.

С помощью Mathcad решим это уравнение относительно . Для этого выделим неизвестную переменную , щелкнув на ней указателем мыши. Затем следует воспользоваться меню Symbolics, выбрать строку Variable и команду Solve. В результате чего получаем



К этому выражению применим обратное преобразование Лапласа так, как это было сделано в предыдущих примерах. Имеем

.

Мы получили решение задачи в изображении по Лапласу, которое имеет вид



и ее решение во временной области

.

Похожие:

Прямое и обратное преобразования лапласа icon1. Применение преобразования Лапласа к анализу электрических цепей
Основные сведения о прямом и обратном преобразовании Лапласа. Свойства и теоремы преобразования Лапласа
Прямое и обратное преобразования лапласа icon3 Положения, которые необходимо повторить перед лекцией
Лапласа. Но применение этого преобразования к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. Z-преобразование...
Прямое и обратное преобразования лапласа iconСимметричные алгоритмы шифрования des, гост, Rijndael
Блочный шифр – определение – прямое и обратное преобразование выполняются над блоками фиксированной длины. 2 в степени n длина блока,...
Прямое и обратное преобразования лапласа iconПеречень применяемых техник и уровень сложности на каждом этапе обучения
Цепочка из воздушных петель, столбики без накида, с накидом, прямое и обратное вязание, вязание по спирали
Прямое и обратное преобразования лапласа iconО методах акустической диагностики пространственного распределения всплывающих пузырьков газа в воде
Данная установка позволяет изучать как прямое, так и обратное рассеяние акустических сигналов на тонком хаотическом слое всплывающих...
Прямое и обратное преобразования лапласа iconВопросы экзамена
Свойства преобразования Лапласа: теоремы линейности, подобия, затухания, запаздывания, и дифференцирования по параметру. Примеры...
Прямое и обратное преобразования лапласа iconПроектирование информационных систем
БД; прямое и обратное проектирование. Генерация кода клиентской части с помощью erwin: расширенные атрибуты; генерация кода в Visual...
Прямое и обратное преобразования лапласа iconПреобразования в 2D пространстве Преобразования используются в разных целях
С аналитической точки зрения преобразования это пересчет значений координат. Двухмерные и трехмерные преобразования отличаются по...
Прямое и обратное преобразования лапласа icon1 Передаточная функция разомкнутой системы системы имеет вид
На основании свойств преобразования Лапласа из последнего равенства получаем дифференциальное уравнение относительно регулируемой...
Прямое и обратное преобразования лапласа icon1 Передаточная функция разомкнутой системы системы имеет вид
На основании свойств преобразования Лапласа из последнего равенства получаем дифференциальное уравнение относительно регулируемой...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org