Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм»



Скачать 346.48 Kb.
страница1/3
Дата01.05.2013
Размер346.48 Kb.
ТипОтчет
  1   2   3
Российская академия наук

Сибирское отделение


Приоритетное направление 1.3. Вычислительная математика, системное программирование

Программа 1.3.2. Параллельные и распределенные вычисления в задачах математического моделирования

Итоговый отчет за 2007 – 2009 годы
по проекту 1.3.2.1. «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных ЭВМ»
Институт вычислительного моделирования СО РАН

Руководитель проекта: д.ф.-м.н., профессор В.М. Садовский
Красноярск – 2009

Отчет об основных результатах работы по проекту 1.3.2.1. “Реализация сложных

математических моделей на высокопроизводительных ЭВМ” за 2007–2009 гг.

Руководитель – д.ф.-м.н., профессор В.М. Садовский
Блок 1. Параллельные вычислительные технологии в задачах механики

деформируемых сред
Классические модели механики деформируемого твердого тела – теории упругости, пластичности и ползучести – не учитывают, по крайней мере, двух основных факторов, присущих в той или иной степени всем известным природным и искусственным материалам. Первый их них – различное сопротивление растяжению и сжатию, второй – наличие микроструктуры. Симметричными по отношению к растягивающим и сжимающим деформациям, пожалуй, можно считать металлы и их сплавы, но этим свойством отнюдь не обладают грунты, горные породы, углеграфиты, полимеры, пористые среды, в частности, пенометаллы и т.п. Микроструктуру, связанную с атомным и кристаллическим строением вещества, имеют, очевидно, все материалы. В последнее время моделирование поведения материалов с микроструктурой представляет собой актуальную научную проблему в связи с развитием нанотехнологий.

Одно из направлений проекта связано с разработкой и исследованием уточненных математических моделей механики деформируемых сред, учитывающих эти факторы. Ранее исполнителями был предложен общий способ построения моделей с помощью реологических схем и на его основе получены определяющие соотношения разнопрочных и сыпучих сред. При выполнении проекта для численного исследования моделей разработан параллельный вычислительный алгоритм, который реализован в виде комплекса прикладных программ для решения задач о распространении волн напряжений и деформаций в средах со сложными реологическими свойствами.

В общих чертах предлагаемый алгоритм основан на методе расщепления по физическим процессам и по пространственным переменным. Одномерные гиперболические системы уравнений решаются с помощью явной монотонной ENO–схемы типа предиктор–корректор, с использованием кусочно-линейных сплайнов, разрывных на границах ячеек. Получаемая таким образом расчетная схема обладает свойством монотонности, поэтому она, в отличие от многих более простых схем, пригодна для исследования обобщенных решений в задачах об ударных, импульсных и сосредоточенных воздействиях.


Комплекс параллельных программ состоит из программы–препроцессора, основной программы расчета полей скоростей и напряжений, подпрограмм реализации граничных условий и условий склейки решений на несогласованных сетках блоков и программы–постпроцессора. Препроцессор предназначен для построения криволинейной расчетной сетки, подготовки исходных данных задачи и их равномерного распределения между параллельными вычислительными узлами. Постпроцессор производит специальную подготовку больших массивов данных для передачи и последующей обработки с помощью математического обеспечения персонального компьютера. Программирование выполнено на алгоритмическом языке Fortran–95 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI и технологии SPMD. Расчетная область распределяется между вычислительными узлами по принципу равномерной загрузки посредством 1D, 2D или 3D–разбиения. Распараллеливание вычислений осуществляется на этапе расщепления задачи по пространственным переменным. Комплекс оснащен программными средствами сжатия больших массивов данных. Эти средства, во-первых, позволяют многократно снизить сетевой трафик, используемый для копирования файлов данных посредством глобальной сети, при решении задач на кластере МСЦ РАН, во-вторых, служат для компактного хранения получаемого численного решения в постоянной памяти компьютера. Рассматриваемый метод сжатия данных относится к методам с контролируемой потерей информации. Он состоит в разложении пространственного числового массива, полученного в результате аппроксимации кусочно-непрерывной функции трех переменных, в ряд с разделяющимися переменными. Таким образом, вместо дискретного представления исходной функции в памяти компьютера хранится набор коэффициентов и специально построенных функций, зависящих от каждой из пространственных переменных.

Разработанный комплекс программ применялся к решению методических задач, ориентированных на приложения в геофизике (сейсмике). Основная цель – демонстрация возможностей распределенных вычислений в этих задачах. На кластере МВС–1000 ИВМ СО РАН проведена серия расчетов взаимодействия ударных волн уплотнения (сигнотонов) в неоднородно разрыхленной сыпучей среде. Показано, что, распространяясь в рыхлой среде, плоские фронты сигнотонов (ударноволновых переходов, меняющих знак деформации), вызванных действием периодической импульсной нагрузки, постепенно искривляются, замедляясь в области сильного разрыхления по сравнению с более плотной областью. Волны разгрузки следуют за сигнотонами по сжатой среде, в которой скорости волн постоянны, поэтому их фронты остаются практически плоскими вплоть до момента встречи. В месте встречи сигнотонов в результате взаимодействия искривленных фронтов зарождается кумулятивный выплеск (характерная зона сжимающих напряжений, которая со временем перемещается в поперечном направлении в сторону разрыхления). Результаты расчетов представлены на рис. 1. Изображена четверть прямоугольного блока, рассеченного двумя плоскостями симметрии вдоль вертикальной оси. Верхняя граница блока свободна от напряжений, нижняя является неотражающей поверхностью раздела. На боковых гранях действует равномерно распределенная импульсная нагрузка. Начальная деформация разрыхления среды вдоль горизонтальных осей считается линейной функцией относительно вертикальной координаты, возрастающей по направлению к верхней границе от нуля до 7 %. Расчеты выполнены для плотного грунта.



Рис. 1. Кумулятивное взаимодействие сигнотонов в неоднородно разрыхленной сыпучей среде:

поверхности уровня нормального напряжения в различные моменты времени
На рис. 2 представлены результаты численного решения в пространственной постановке задачи Лэмба о действии сосредоточенного импульса давления для упругой среды с жестким включением. Массив упругой среды состоит из двух слоев: в верхнем слое и в части нижнего слоя заданы параметры упругости плотного грунта, в остальной части нижнего слоя – параметры прочной породы. Расчеты выполнялись на 68 узлах кластера МВС–15000ВМ МСЦ РАН. На фронтальной границе области ставятся условия симметрии, на остальных частях боковой поверхности и нижней границе – неотражающие условия. Верхняя граница представляет собой свободную поверхность. Точка действия импульса отмечена вертикальной стрелкой. Справа приведена сейсмограмма, полученная по результатам счета на кластере с помощью системы SeisView, описывающая поведение вертикальной компоненты перемещения в зависимости от времени. Приемники расположены на верхней границе расчетной области вдоль линии, проходящей через точку приложения нагрузки параллельно границе области. Видны падающие продольные и поперечные волны, конические, отраженные и преломленные продольные волны.

Рис. 2. Задача Лэмба о распространении упругих волн под действием сосредоточенной импульсной нагрузки

в массиве с включением: схема распределения расчетной области между вычислительными узлами

и сейсмограмма отраженных волн (результаты расчетов на 68 процессорах)

Годографы падающих продольных и головных волн представляют собой прямолинейные отрезки, годографы отраженных волн – кусочно-параболические сплайны, меняющие свою кривизну в точках перехода от отражения от поверхности раздела к отражению от угла.

В отличие от обычной теории упругости в модели моментной упругой среды Коссера неявно присутствует малый параметр – характерный размер частиц микроструктуры. Решая задачу численно, необходимо выполнять расчеты на достаточно мелких сетках, размер ячеек которых меньше этого параметра. В этом случае практически не обойтись без параллельных вычислений. На рис. 3 приведены поверхности уровня нормального и касательного напряжений, а также одного из моментов для задачи о действии сосредоточенной нормальной нагрузки . Точкой приложения нагрузки служит один из углов расчетной области. Расчетная область с учетом условий симметрии представляет собой четверть полупространства (синтетический полиуретан). Используемая в расчетах равномерная разностная сетка состояла из ячеек. На более грубых сетках расчеты с приемлемой точностью выполнить невозможно, поскольку размер ячеек становится сравнимым с параметром микростуктуры среды. На искусственно введенных гранях куба ставились специальные условия симметрии и неотражающие граничные условия, моделирующие беспрепятственное прохождение волн. Расчеты пространственных задач подтвердили основное качественное отличие волнового поля в моментной среде Коссера по сравнению с классической теорией упругости, которое заключается в появлении колебаний вращательного движения частиц на фронтах волн.



Рис. 3. Задача Лэмба для моментной упругой среды:

поверхности уровня напряжений , и момента (слева направо)
На рис. 4 представлены результаты численного решения задачи о действии сосредоточенного вращательного момента , изменяющегося периодически по времени с частотой . Приведены поверхности уровня угловой скорости для нерезонансной частоты (слева) и для резонансной частоты (справа) в различные моменты времени. Расчеты показали, что при частоте внешнего воздействия происходит рост амплитуды со временем и медленное затухание колебаний с ростом расстояния, характерное для акустического резонанса.



Рис. 4. Задача о периодическом воздействии сосредоточенного момента: схема нагружения

и поверхности уровня угловой скорости для нерезонансной (слева) и резонансной (справа)

частот в различные моменты времени (вверху – t = 6,5 мкс, внизу – t = 13 мкс)
Основные результаты по блоку 1:

1. Реологический метод построения определяющих соотношений упруго-вязкопластических сред обобщен на случай материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. На его основе получены новые математические модели механики сыпучих сред.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы и комплексы прикладных программ для численного исследования моделей на многопроцессорных вычислительных системах.

3. Выполнены расчеты задач динамического деформирования упругопластических и сыпучих сред на кластерах. Показано, что в моментной теории упругости Коссера существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.
Блок 2. Распределенные вычисления гидродинамических течений

(нестационарные движения жидкости, теория мелкой воды)
Одновременно в рамках проекта развивалось направление по применению распределенных вычислений в задачах гидродинамики и гидрофизики, требующих большого объема вычислений и оперативной памяти. Ранее по этому направлению были разработаны параллельные алгоритмы и программы для численного исследования крупномасштабных поверхностных волн в морских акваториях методом конечных элементов на многопроцессорных ЭВМ.

В отчетный период в рамках теории мелкой воды построена математическая модель поверхностных волн в больших акваториях, учитывающая сферичность формы Земли, влияние донного трения и Кориолисова ускорения. В предположении малости числа Россби, равного отношению силы инерции к силе Кориолиса, произведена линеаризация уравнений.

Прямая задача определения характеристик течения рассмотрена в области произвольной формы на сфере с достаточно гладкой границей, состоящей из “твердых” участков – береговой линии, на которой ставится условие непротекания, и “жидких” участков – границы по морю, граничные условия на которой содержат заранее неизвестную функцию возвышения свободной поверхности.

К решению задачи с усвоением данных наблюдений, состоящей в минимизации нормы невязки между искомым возвышением “жидкой” границы и наблюденным, применены методы оптимизации и теории управления. Разработан численный алгоритм итерационного уточнения граничной функции, включающий этапы решения прямой и сопряженной задач на основе конечноэлементной аппроксимации модели. Выполнены тестовые расчеты для модельных областей и для акваторий Охотского моря и Мирового океана (рис. 5), демонстрирующие работоспособность алгоритма восстановления граничной функции в случае, когда данные наблюдений заданы на всей границе.


Рис. 5. Графики заданной и восстановленной с помощью разработанного алгоритма

функций на границах Мирового океана
Для разработанных параллельных алгоритмов численного решения уравнений мелкой воды проведено исследование ускорения и эффективности в зависимости от количества процессов, способа реализации коммуникаций (блокирующие, неблокирующие передачи), способа декомпозиции вычислительной области и архитектуры суперЭВМ.

При дискретизации задачи использовался метод конечных элементов с организацией вычислений по треугольным элементам, было рассмотрено два естественных для этого метода подхода к декомпозиции области – без перекрытий и с теневыми гранями. Численные эксперименты на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах проводились на модельной прямоугольной сетке. Для реализации параллелизма по данным были разработаны и реализованы алгоритмы декомпозиции вычислительной области с триангуляцией для модельных задач в прямоугольнике на сфере.

Проведены теоретические оценки, которые показали, что алгоритм обладает значительным объемом потенциального параллелизма и хорошей с точки зрения распараллеливания структурой, что дает ускорение в зависимости от количества используемых процессоров теоретически близкое к линейному. Численные эксперименты показали, что использование неблокирующего режима обменов, которое допускается алгоритмом, является, безусловно, более эффективным.

Расчеты были проведены на трех высокопроизводительных вычислительных системах различных архитектур: кластере собственной сборки ИВМ СО РАН, кластере СКИФ Cyberia T-Platform Межведомственного вычислительного центра ТГУ и кластере Hewlett-Packard  информационно-вычислительного центра НГУ. Показано преимущество однородного устройства кластера (СКИФ Cyberia и HP-кластер  ИВЦ НГУ) по сравнению с гетерогенным (кластер ИВМ СО РАН). Кроме того, продемонстрирована неустойчивость ускорения при неоднородном составе кластера, которая не присуща ни алгоритму, ни программной реализации.



Рис. 6. Время, затраченное на коммуникации. Неблокирующие обмены, декомпозиция без теневых граней.
Приведенные на рис. 6 результаты исследования времени выполнения обменов в неблокирующем режиме при однородной архитектуре кластера показали, что оно минимально и не зависит от количества процессов, участвующих в обменах, если загружены все ядра на узле. При наличии не полностью загруженных узлов время обменов тем больше, чем больше количество простаивающих ядер. Время, затраченное на обмены, уменьшается с ростом количества задействованных процессов.

В этом же направлении предложена компьютерная модель, позволяющая рассмотреть геодинамические процессы расширения, сжатия, разогревания и охлаждения Земли. Динамика геосфер исследуется в рамках модели вязкого теплопроводного сжимаемого газа, когда плотность и вязкость среды меняются во времени и пространстве. Модель позволяет рассмотреть не только кору и мантию Земли, но и ее полную внутреннюю структуру, включая ядро.

Исследования направлены на разработку математической модели для описания внутренней структуры Земли с помощью газодинамических параметров состояния: плотности, динамической вязкости и внутренней энергии. Рассматривается сферически-симметричное течение вязкого теплопроводного газа с учетом гравитационных сил. Уравнения решаются в безразмерной постановке, когда линейные размеры отнесены к радиусу Земли, а все газодинамические величины – к соответствующим характерным значениям на поверхности земного шара.

Для сферически-симметричного случая построена дискретная модель, сохраняющая балансовые равенства в конечном объеме. На основе метода конечных элементов получена консервативная вариационно-разностная схема первого порядка аппроксимации. Рассмотрены различные варианты прямых и итерационных методов решения квазилинейных сеточных уравнений. К решению больших систем линейных алгебраических уравнений специального вида с трехдиагональной матрицей применен метод немонотонной прогонки, который отличается высокой вычислительной устойчивостью. Алгоритм реализован на языке C++. В качестве начальных условий использованы экспериментальные значения плотности, динамического коэффициента вязкости, давления и температуры. Вычислительный эксперимент продемонстрировал устойчивость и сходимость построенного алгоритма при измельчении параметров дискретизации. Вместе с тем, он проявил значительную чувствительность к уравнению состояния.

На основании серии расчетов показано, что со временем Земля сжимается под действием гравитационных сил и уменьшается в радиусе, плотность Земли возрастает во всех слоях, основные геодинамические зоны сохраняются, но становятся более сглаженными. В свою очередь с увеличением плотности в центре земного шара возрастает давление, направленное в противоположном внутренним гравитационным силам направлении, что приводит к расширению вещества Земли и увеличению ее радиуса. Таким образом, наблюдаются периодические колебания земного шара.

С использованием языка параллельного программирования Fortran-DVM разработаны алгоритмы и программы для численной реализации математических моделей гидродинамики на многопроцессорных кластерах. Методом конечных элементов решались уравнения мелкой воды, моделирующие распространение длинных поверхностных волн в акваториях. Получены примеры решений для тестовых задач в прямоугольных акваториях и для реальных морей и океанов. Программа передана в ИВМ РАН (Москва) для проведения расчетов и дальнейшего развития.

Для решения трехмерных нестационарных задач гидродинамики представлена параллельная реализация сравнительно нового метода решеточных уравнений Больцмана. В основе этого метода лежит не система уравнений Навье–Стокса, а классическое кинетическое уравнение Больцмана с некоторыми упрощениями.

На тестовом примере течения вязкой несжимаемой жидкости в кубической области с подвижной верхней стенкой проведено сравнение решений, полученных данным методом, с известными решениями на основе “традиционных” методов. Приводится таблица по затратам машинного времени на кластере на разных расчетных сетках. Исследован вопрос о написании машинных программ в условиях реального двухуровневого параллелизма современных кластеров.
  1   2   3

Похожие:

Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» icon1. Схема вычислительного эксперимента
Эвм. В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построение и анализе с помощью ЭВМ математических...
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconЛекция 1 Виды математических моделей сложных систем
Одной из проблем современной науки является разработка и внедрение в практику математических методов исследования динамики (во времени)функционирования...
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconМетоды и методики анализа математических моделей в сложных системах (экономических, экологических, биологических) 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Методы и методики анализа математических моделей в сложных системах экономических, экологических
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» icon2. Разновидности графовых моделей сложных объектов
Целью настоящей работы является изучение основных методов формального представления объектов проектирования разновидностями графовых...
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconИзучения студентами вузов численных методов решения задач механики сплошных сред и исследования других математических моделей
Наиболее широко при построении математических моделей механики конструкций используются
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Сложностные свойства детерминированных и вероятностных математических моделей. Численные методы построения алгоритмов
Тема нир: Сложностные свойства детерминированных и вероятностных математических моделей. Численные методы построения алгоритмов
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconОтчет по проекту: Разработка инновационных моделей и методологии формирования и календарного планирования индивидуальных
Государственное учреждение «Центр сравнительной образовательной политики Министерства образования Российской Федерации»
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconФорма Содержание инициативного проект
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы разработки математических моделей динамики сложных систем, отражающих реальные...
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconИскусственный интеллект
Ммд — формальная модель математического диалекта, используемого в математической практике при доказательстве математических утверждений....
Отчет за 2007 2009 годы по проекту 3 «Реализация сложных математических моделей на высокопроизводительных эвм» iconОтчет за 2007 год по проекту рффи 06-01-00228-а
Исследование переходных процессов в моделях эволюции физических систем с внешними воздействиями
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org