Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»
|
Скачать 353.61 Kb.
|
ДУ второго порядка. Понижение порядка уравнения. Д  ифференциальное уравнение второго порядка иногда удается свести к двум ДУ первого порядка. Рассмотрим два характерных случая, когда это можно сделать.1     ). Неизвестная функция входит в уравнение только под знаком производной: . При помощи подстановки такое уравнение сводится к уравнению первого порядка .ПРИМЕРЫ: 8  . Найти общее решение уравнения .Э   то ДУ не содержит . Положим , тогда и получаем ДУ первого порядка:.  Т   ак как это линейное ДУ первого порядка относительно функции , то ищем его решение в виде . Тогда , и  Р  ешим первое уравнение: .Р      ешим второе уравнение: . Таким образом, общее решение ДУ первого порядка или . Интегрируя, получим: . Интеграл берем по частям и окончательно получим.  9  . Найти решение задачи Коши: .В  уравнении отсутствует . Обозначая , приводим исходное уравнение к виду . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:.  Н         айдем . При имеем и . Следовательно . Отсюда . Используя еще одно начальное условие , находим . Окончательно, .  2). Независимая переменная не содержится в уравнении явно: .В  этом случае примем за независимую переменную, а будем считать функцией от . По правилу дифференцирования сложной функции получаем выражение для выражение для второй производной: . Таким образом, исходное уравнение становится уравнением первого порядка.ПРИМЕР. 1        0. Решить уравнение . Независимая переменная не содержится явно в уравнении. Обозначив , получим . В итоге получаем ДУ первого порядка . Это уравнение с разделяющимися переменными: . Таким образом, . Решим последнее уравнение. ЛИНЕЙНЫЕ Дифференциальные УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Дифференциальное уравнение  н   азывается однородным линейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ) второго порядка. Если и – два решения ОЛДУ, то их сумма с произвольными коэффициентами и  (9)также является решением. Е    сли функции и линейно независимы (т.е. ), то (9) задает общее решение ОЛДУ второго порядка.В  важном частном случае, когда коэффициенты ОЛДУ постоянны , частное решение уравнения (10)с   ледует искать в виде . Постоянная является корнем характеристического уравненияК  орни этого квадратного уравнения называются характеристическими корнями.Е    сли характеристические корни вещественны и , то функции и линейно независимы, и общее решение уравнения (10) имеет вид,  (11)г  де – произвольные постоянные.Е  сли характеристические корни совпадают, т.е. , то решение получается по формуле .  (11’)В  случае комплексных корней общее решение ОЛДУ (10) удобно записать (используя формулу Эйлера) в виде  (12)ПРИМЕРЫ. 1  1. Найти общее решение ОЛДУ с постоянными коэффициентами .С оставим характеристическое уравнение : . Его корни и . Общее решение имеет вид . 1  2. Найти общее решение ОЛДУ .С   оставим характеристическое уравнение . Его корни и, и общее решение имеет вид .1  3. Найти частное решение ОЛДУ , удовлетворяющее начальным условиям .С    оставим характеристическое уравнение ; его корни совпадают. Общее решение . Найдем и . Для этого найдем . Подставляя в и , получаем систему И   меем . Искомое решение задачи Коши есть .1 4. Найти общее решение уравнения .Э  то ОЛДУ. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Общее решение имеет вид: .1    5. Найти заряд конденсатора для конура с сопротивлением в момент времени , если в начальный момент он равен , а ток в цепи отсутствовал.К  олебания заряда конденсатора описываются уравнением , которое получается из уравнения примера 2 при и .Н   айдем общее решение этого ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения – чисто мнимые: , где . Общее решение по формуле (12) запишется в виде .  М ы видим, что частота собственных колебаний контура равна (формула Томсона). И      спользуем начальные условия – при , а . Так как , то , . Следовательно . При получим .1  6. Найти частное решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям . Функция называется импульсной характеристикой.Е   сли характеристические корни различны, то общее решение уравнения (10) имеет вид , а его производная . При имеем Р   ешая систему, получаем . Следовательно, .Е сли характеристические корни совпадают (), то ,    . Подставляя , получим и .П олучим выражение для импульсной характеристики в случае комплексных корней :.  П  ри вычислениях использовалась формула Эйлера . Итак в случае комплексных характеристических корней (13)Общее решение неоднородного линейного ДУ  (14)м ожно записать в виде суммы , где – какое-либо частное решение уравнения (14), – общее решение соответствующего однородного уравнения . В теории колебаний – это собственные колебания, а – вынужденные колебания под действием внешней силы .Е сли коэффициенты постоянны, то можно найти, решая характеристическое уравнение. Для нахождения существует несколько способов. Ниже приведены два из них.Частное решение можно записать в виде интеграла наложения ,  г  де – импульсная характеристика (см. пример 16).ПРИМЕРЫ. 1 7. Найти общее решение линейного ДУ .Р  ешим сначала соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни . Общее решение ОЛДУ имеет вид .   По формуле (13) переходная функция .Частное решение линейного ДУ найдем с помощью интеграла наложения: .  И   нтегрируем по (при интегрировании – постоянно): Общее решение неоднородного уравнения В     идно, что вынужденные колебания имеют частоту вынуждающей силы и ограничены по амплитуде().1 8. Найти общее решение линейного ДУ .Первая часть решения такая же, как в пр. 17. Частное решение ищем в виде интеграла наложения  Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде суммы: .  В этом примере имеется резонанс – частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. В результате амплитуда вынужденного колебания неограниченно возрастает.В некоторых случаях, когда вычисление интеграла наложения достаточно громоздко, можно найти частное решение другим способом. Рассмотрим метод подбора. Этот метод решения ДУ применяется, когда в правой части стоит функция вида ,  г     де и – многочлены степени и , соответственно. В этом случае частное решение имеет ту же структуру, что и правая часть исходного уравнения:.  З      десь и – многочлены степени , записанные с неопределенными коэффициентами, причем, они содержат все степени ; число , если не является характеристическим корнем. Если же число совпадает с характеристическим корнем, то равно кратности этого корня (резонансный случай).ПРИМЕРЫ. 1 9. Найти общее решение ЛДУ .О  бщее решение соответствующего однородного уравнения получено в примере 17. В правой части уравнения стоит многочлен нулевой степени (). Резонанс отсутствует, так как число не является корнем характеристического уравнения . Следовательно, частное решение будет многочленом нулевой степени: .Ч      тобы найти неопределенный коэффициент , необходимо подставить в исходное уравнение: . Следовательно, и . Таким образом, общее решение уравнения .2  0. Найти общее решение ЛДУ .Н   айдем общее решение ОЛДУ . Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения .В    правой части исходного уравнения стоит многочлен второй степени. Следовательно , а величина совпадает с корнем характеристического уравнения , кратность которого равна 1. Поэтому , , . Подставляя в исходное уравнение , получим: П риравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, имеемп   ри : ; ;п ри : ; ;п    ри : ; .И   так , .2 1. Решить линейное ДУ .О    бщее решение соответствующего ОЛДУ найдено в примере 17: . Частное решение линейного ДУ ищем методом подбора – в правой части стоит многочлен нулевой степени, умноженный на и на . То есть, имеем . Резонанс отсутствует, так как число –1 не является корнем характеристического уравнения . Ч      астное решение ищем в виде . Тогда . Подставляя в уравнение, получаем Т.е., а общее решение .Б       езусловно, можно было бы найти и при помощи интеграла наложения. Так, для уравнения имеем ; для уравнения имеем ; для уравнения – .Вычислив интегралы, убедитесь, что общее решение имеет тот же вид, что и полученные ранее методом подбора. В     примерах 17 и 18 правая часть уравнения имеет вид, допускающий применение метода подбора. Применяя этот метод, проверьте, что для уравнения , а для уравнения . Найдите неопределенные коэффициенты, подставив в уравнения и приравняв коэффициенты при подобных членах слева и справа.ПРИМЕР 2    2. Для цепи, рассмотренной в примере 2, найти изменение заряда на конденсаторе, если Гн, Ф, Ом, входное напряжение . В начальный момент заряд и ток в цепи отсутствуют.В  уравнение подставим исходные данные: Н    ачальные условия . Решим задачу Коши, используя метод подбора. Запишем характеристическое уравнение для соответствующего ОЛДУ: . Его корни ; ,   . Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид В      правой части неоднородного уравнения стоит выражение , следовательно, его частное решение имеет вид .. Резонанс отсутствует, так как . Найдем и и подставим в уравнение: П  риведем подобные слагаемые: Приравняем коэффициенты при синусах и косинусах:  и  найдем и из полученной системы: , . Таким образом, общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид  Н  айдем и из начальных условий , П ри получим систему  Р  ешая ее, найдем , Окончательно получаем  |
