Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»
|
Скачать 353.61 Kb.
|
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Если интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях затруднительно, можно искать решение задачи Коши в виде ряда Тейлора ,  г  де последовательно находятся из начальных условий и дифференцирования исходного уравнения.ПРИМЕРЫ 41. Найти с помощью степенного ряда решение задачи Коши (вычислить первые пять членов ряда) для уравнения .  Т  ак как начальные условия заданы в точке , ищем решение в виде ряда Маклорена Таблица 6.
П  олучаем ряд , где – искомая функция. З   амечание. При вычислении производных использовались известные формулы производной произведения , производной сложной функции и другие.42. Найти первые четыре разложения в степенной ряд решения задачи Коши .  Р  азрешим уравнение относительно старшей производной: . Найдем коэффициенты ряда МаклоренаТаблица 7.
О  кончательно получаем РЯДЫ ФУРЬЕ РЯД ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Ч  исло называется периодом функции , если сдвиг аргумента на не меняет значения функции п   ри любых . Функция называется периодической, если у нее существует отличный от нуля период . В этом случае кратные числа также являются периодами функции.Н  апример, является периодом следующих функций  Умножим каждую из этих функций на произвольный числовой коэффициент и составим ряд .  (30)Е   сли ряд (30) сходится, обозначим через его сумму. Так как при сдвиге аргумента на ни одно слагаемое в (30) не меняется, сумма также не будет меняться: и – периодическая функция с периодом .Замечательный математический факт состоит в том, что практически все периодические функции, встречающиеся в приложениях, могут быть представлены подобными рядами. Это означает, что каждый периодический сигнал можно получить, как сумму простых гармонических колебаний с подходящими амплитудами. П  усть – периодическая функция с периодом . Рядом Фурье этой функции называется тригонометрический ряд ,  (31)к оэффициенты которого определяются по функции при помощи формул Фурье:,    , Е   сли для функции выполняются условия Дирихле (см. [1], гл. XVII), то ряд (31) сходится. Его сумма совпадает с во всех точках непрерывности функции . Если же в точке функция имеет разрыв первого рода, то.  Т   аким образом, является средним арифметическим левого и правого предела функции в точке .ПРИМЕРЫ: 4   3. Пусть на отрезке и на отрезке и имеет период (см. рис. 4)Рис. 4 У  словия Дирихле для этой функции выполняются, и поэтому ряд Фурье сходится, и его сумма совпадает со значением функции в точках непрерывности. А в точках разрыва получаем. В этих точках сумма ряда отличается от функции. Значения функции в точках разрыва отмечены кружками на рис.4.Н  айдем коэффициенты ряда Фурье. В формулах Фурье .,    П  ри вычислениях учтено, что .Итак, ряд Фурье функции имеет вид  44. Найдем ряд Фурье функции  Г  рафик функции показан на рис. 5. Сумма в точках равна 0.Рис. 5 П  оскольку функция нечетная (график симметричен относительно начала координат), то ряд Фурье содержит только нечетные функции, то есть, только члены пропорциональные синусам, а все коэффициенты при косинусах равны нулю: .П  ри вычислении воспользуемся четностью подынтегральной функции и будем вычислять интеграл не по интервалу , а по интервалу . Д  ля нашей функции , т.е..  Итак, ряд Фурье равен  4  5. Найти ряд Фурье функции с периодом : График этой функции представлен на рис 6. Рис. 6 П оскольку функция четная (график функции симметричен относительно оси , то ряд Фурье содержит только косинусы и постоянное слагаемое. Коэффициенты при синусах обращаются в ноль:.  Найдем коэффициенты :.  .  Л  егко видеть, что и т.д. Ряд Фурье равен .  РЯД ФУРЬЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СИНУСАМ И ПО КОСИНУСАМ В  ычисляя коэффициенты Фурье для периодической функции можно проводить интегрирование по любому промежутку , длина которого совпадает с периодом функции: ,    , (32)Ч исленные значения коэффициентов Фурье не зависят от выбора .Ф ормулы (32) можно применять не только к периодической функции, но и к любой функции, заданной на отрезке . Если условия Дирихле на отрезке выполняются, то ряд Фурье сходится. Важно помнить, что сумма совпадает с исходной функцией только на основном промежутке.ПРИМЕР 4   6. Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке .З  десь . Так как – четная функция, то , а для получим:,  П   олучаем ряд Фурье: . Графики функций и показаны на рис. 7Рис.7 Н айдем значение суммы ряда при и . Так как период равен 2,то ,   .Ф  ункцию , заданную на промежутке , можно разложить в тригонометрический ряд, как только по косинусам, так и только по синусам. Чтобы получить ряд по косинусам, функцию продолжают на симметричный промежуток так, чтобы получилась четная функция: . В этом случае коэффициенты при косинусах и постоянное слагаемое определяются по формулам,   .Д ля получения ряда только по синусам, следует продолжить функцию до нечетной на промежутке : . Коэффициенты при синусах можно найти по формулам ПРИМЕР 4 7. Разложить функцию на промежутке в ряд по синусам.П   родолжим функцию на интервал нечетным образом. Коэффициенты Фурье равны Ряд Фурье будет таким: .  Г рафики функций и показаны на рис.8.Рис. 8 Н  айдем значение суммы ряда при . ;    ; . |
