Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»
|
Скачать 353.61 Kb.
|
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ФОРМА ЗАПИСИ РЯДА ФУРЬЕ П        усть - периодическая функция с периодом . Обозначим через угловую частоту колебаний. Ряд Фурье функции может содержать только гармонические колебания и , с частотами , кратными . Частота называется основной частотой.С умму двух гармоник и , имеющих общую частоту , можно записать в виде одного гармонического колебания, но сдвинутого по фазе:.  К   оэффициенты выражаются через амплитуду и фазу по формулам .  Рис. 9 В   еличина равна длине вектора с координатами , а число – полярному углу этого вектора (рис.9). Таким образом, ряд Фурье всегда можно записать в амплитудно-фазовой форме: ,  .   (33)ПРИМЕР 48. Записать в амплитудно-фазовой форме ряд  По формулам (33) находим:  и т.д. Ряд теперь можно записать так Д  ля наглядности числа (спектр амплитуд) изобразим с помощью амплитудной диаграммы:Рис. 10 Ч  исла изобразим на фазовой диаграмме:Рис. 11 П  одчеркнем, что амплитуды всегда неотрицательны. Положительность знака амплитуд обеспечивается за счет выбора фаз .Е   сли ряд содержит только косинусы, то ; если только синусы, то .49. Для ряда из примера 46 изобразить спектр амплитуд при помощи диаграммы. ;   Рис. 12 50. Для ряда из примера 45 изобразить спектр амплитуд при помощи диаграммы.   Рис. 13 УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1  . 2 . 3  . .
.  Чему равна амплитуда первой гармоники?ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
7     . .. 8. . 9. Ряд сходится . 10. .1      1. ; . 12. Так как - четная функция, то . 13. 0. 14. .КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА В задачах 1 – 10 найти общее решение для ДУ с разделяющимися переменными: 1   . . 6. .2   . . 7. .3   . . 8. .4   . . 9. .5   . . 10. .В задачах 11 – 20 решить задачу Коши для линейного уравнения: 1   1. . 16. .1  2. . 17. .
В задачах 21 – 30 найти частное решение линейного однородного ДУ второго порядка: 2  1. .2  2. .2 3. .2  4. .2 5. .2  6. .2  7. .2 8. .2  9. 3  0. .В задачах 31 – 40 найти общее решение линейного ДУ второго порядка, используя метод подбора: 3   1. . 36. .3  2. . 37. .3  3. . 38. .3  4. . 39. .3  5. . 40. .В задачах 41-50 найти общее решение системы дифференциальных уравнений: 4  1. . 46. 4  2. . 47. 4  3. . 48. 4  4. . 49. 4 5. . 50. В задачах 51 – 60 для данных рядов найти радиус сходимости и указать область сходимости ряда. Выписать первые три члена ряда: 5     1. ; . 56. 5   2. ; . 57. 5   3. ; . 58. 5  4. . 59. 5     5. 60. В задачах 61 – 70 вычислить приближенно определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена. Ограничившись двумя членами ряда, оценить погрешность вычислений: 6   1. , 66. .6  2. , 67. .6   3. , 68. .6  4., 69. .6  5. , 70. .В задачах 71 – 80 найти первые пять ненулевых членов разложения в ряд решения ДУ с заданными начальными условиями: 7   1. . 76. .7   2. . 77. .7 3. . 78. .7  4. . 79. .7  5. . 80. .В   задачах 81 – 90 разложить функцию в ряд Фурье. Изобразить график суммы ряда и спектр амплитуд при помощи диаграмм:8   1. . 86. .8   2. . 87. .8  3. . 88. 8  4. . 89. .8   5. . 90. .В задачах 91 – 100 разложить функцию в ряд Фурье по косинусам, продолжив ее в симметричный интервал. Нарисовать график суммы ряда . Найти значения суммы в указанных точках:9  1. .9  2. 9  3. .9  4. .9  5. .9  6. .9 7. 9 8. .9  9. .1  00. . |
бщее решение ДУ имеет вид . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
ри каком система функций будет линейно зависимой?
кажите номер ДУ, для которого функция является решением:
ему равна сумма ряда ?
ункция разложена в ряд Маклорена . Чему равна ? Чему равна ?
астичная сумма ряда равна . Найти сумму ряда и третий член ряда . Сходится ли ряд?
олучить разложение в ряд Маклорена функции .
оказать, что функция является решением дифференциального уравнения .
2. Три начальных условия. 3. . 4. . 5. 2. 6. . 
18. .
19. .
20. .
