1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной



Скачать 30.92 Kb.
Дата04.05.2013
Размер30.92 Kb.
ТипДокументы
1. Вписанные и описанные окружности

Окружность называется вписанной в тре­угольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1

Центр окружности, вписанной в тре­угольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство. Пусть ABC — данный тре­угольник, О — центр вписанной в него окруж­ности, D, Е и F - точки касания окружности со сторонами. Прямоугольные треуголь­ники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольни­ков следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе тре­угольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема до­казана.




2. Центральные и вписанные углы

Угол разбивает плоскость на две части. Каж­дая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сто­ронами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полу­плоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторо­нами. Если плоский угол содержит полуплос­кость, то его градусная мера принимается рав­ной 360° - а, где а — градусная мера дополни­тельного плоского угла.

Центральным углом в окружности называ­ется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружно­сти, а стороны пересекают эту окружность, на­зывается вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке вписан в окружность. Его вер­шина А лежит на окружности, а стороны пере­секают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Пря­мая ВС разбивает окружность на две дуги. Цен­тральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим дан­ному вписанному углу.

Теорема 2

Угол, вписанный в окружность, равен поло­вине соответствующего центрального угла.

Доказательство.
Рассмотрим частный слу­чай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности. Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В тре­угольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.



Пример 1. Точки А, В, С лежат на окружно­сти с центром О; угол ABC равен 66°. Найти цен­тральный угол, соответствующий углу ABC.

Решение. Пусть условию задачи отвечает данный ри­сунок. Угол ABC вписан в окружность. По­этому согласно теореме о вписанном угле ABC =1/2 АОС или АОС = 2 ABC. Но ABC = 66° и, значит, AOC = 132°.

Пример 2. Точки А, В, С лежат на окружно­сти. Чему равна хорда АС, если угол ABC равен 30°, а диаметр окружности 10 см?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок, где ABC = 30°.

Так как вписанный угол ABC равен 1/2 АОС, то АОС=60°. Следовательно, треугольник АОС равносторонний, и, значит, хорда АС равна ра­диусу данной окружности. А так как диаметр равен 10 см, то радиус равен 5 см.

Следствие. Вписанные углы, стороны кото­рых проходят через точки А и В окружности, а вершины, лежат по одну сторону от прямой АВ, равны.

В частности, углы, опирающиеся на диа­метр, прямые.
Список литературы
1. Гусев В.А. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

2.Учебный справочник школьника. – М.: Дрофа, 1999.

3. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: «Педагогика», 1989.

Похожие:

1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconУрок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» теория
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconВписанные и описанные окружности
Повторить определения вписанной и описанной около многоугольника окружности, положение центра окружности, свойства вписанных и описанных...
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconВписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники
Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис. 54 ). Описанным около круга называется...
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconПрактическая работа «Окружность, описанная около правильного многоугольника и вписанная в правильный многоугольник»
Построить треугольник авс. Построить биссектрисы углов а и С. Обозначить о точку пересечения биссектрис. Это центр вписанной окружности....
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconЭкзаменационные билеты по геометрии за курс основной школы. Билет №1
Сформулируйте определение окружности, вписанной в треугольник. Сформулируйте теорему о центре вписанной окружности. Приведите пример...
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconКомплект примерных билетов по геометрии для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений Российской Федерации Билет №1
Сформулируйте определение окружности, вписанной в треугольник. Сформулируйте теорему о центре вписанной окружности. Приведите пример...
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной iconIv нижегородская компьютерно-рисуночная устная геометрическая олимпиада «круг»
Точкой Жергонна треугольника называется точка g пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной...
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной icon«Вписанная и описанная окружности» (8 класс)
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной icon«Правильный многоугольник. Длина окружности. Длина дуги окружности»
Какой многоугольник называется вписанным в окружность, описанным около окружности?
1. Вписанные и описанные окружности Окружность называется вписанной icon«Окружность. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы»
Данный тест проводится для быстрой проверки знаний теоретического материала. Возможна работа в парах
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org