Программа дисциплины «дифференциальная геометрия и топология»
|
Скачать 129.64 Kb.
|
| Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе профессор В.В. Самохвал ________________________ Рег.№ __________________ «____» ______________ 200 г. Базовая учебная программа дисциплины «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ» для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика» Минск 200 г Авторы: доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук В.В.Балащенко, доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук В.Л. Тимохович, Рецензент: профессор кафедры дифференциальных уравнений, доктор физ.-мат. наук .В.В.Амелькин. Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики протокол № 12 от 20 июня 2007 г. Одобрена на заседании Ученого совета механико-математического факультета протокол № 7 от 20 июня 2007 г. Ответственный за выпуск: доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук В.Л. Тимохович ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Дифференциальная геометрия и топология является одним из основных курсов, изучаемых студентами-математиками. Примечательная особенность этого курса - тесная связь и использование всех других фундаментальных математических курсов (аналитическая геометрия, алгебра, анализ, дифференциальные уравнения). Основные конструкции и аппарат дифференциальной геометрии и топологии эффективны не только внутри математики, но и во многих разделах механики, теоретической физики, других естественно-научных и технических дисциплинах. Основными целями курса дифференциальной геометрии и топологии являются: - освоение фундаментальных понятий метрического и топологического пространств, компактности, связности, фундаментальной группы, кривых, поверхностей и связных с ними инвариантов (кривизны разных видов), основ теории гладких многообразий, а также исследование их основных свойств и связей с конкретными геометро- топологическими объектами, изучаемыми в курсах аналитической геометрии, алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений; - овладение основными тополого-геометрическими методами решения задач, возникающих как в рамках самой дифференциальной геометрии и топологии, так и в других математических дисциплинах; - - формирование навыков приложения геометро-топологических конструкций и методов в процессе дальнейшего обучения, а также при самостоятельных научных исследованиях. "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ" Тематический план курса " Дифференциальная геометрия и топология " Цель курса: формирование основных тополого-геометрических понятий, используемых практически во всех фундаментальных геометрических курсах, а также в приложениях к механике, теоретической физике и др.
Введение Объекты дифференциальной геометрии и топологии. Методы исследований в дифференциальной геометрии и топологии. Связь с механикой, теоретической физикой и другими математическими дисциплинами. Метрические пространства Метрическое пространство. Топология метрического пространства. Топологическое пространство и его геометрия Топологическое пространство. Способы задания топологий. Сравнение топологий. Всюду плотные множества и сепарабельные пространства. База топологии. Пространства со счётной базой. Подпространство и индуцированная топология. Замкнутые множества и операция замыкания. Граница и внутренность множества. Сходящиеся последовательности. Аксиомы отделимости. Непрерывные отображения Непрерывное отображение и его свойства. Гомеоморфизм. Понятие о топологических инвариантах. Произведение топологических пространств Произведение топологических пространств. Непрерывное отображение в произведение. Координатный слой и координатное подпространство. Понятие расслоенного пространства. Сходящиеся последовательности в произведении. Понятие топологической группы. Компактность Компактное топологическое пространство и его простейшие свойства. Произведение компактных пространств. Критерий компактности множеств в R". Критерии компактности метризуемого пространства. Полные метрические пространства Полное метрическое пространство и его простейшие свойства. Вполне ограниченное метрическое пространство. Критерий компактности полного метрического пространства. Пополнение метрического пространства Связные топологические пространства Связное топологическое пространство и его простейшие свойства. Линейно связное пространство. Связные компоненты. Произведение связных пространств. Неприводимость. Нётеровы пространства. Неприводимые компоненты нётеровых пространств. Фактор-пространство Фактор-пространство и фактор-топология, простейшие конструкции. Топологические группы Простейшие свойства топологической группы. Топологические группы преобразований. Элементы алгебраической топологии Понятие гомотопии. Гомотопическая эквивалентность. Фундаментальная группа и её простейшие свойства. Накрывающее пространство. Группы гомологии симплициального комплекса. Теория кривых Параметризованные кривые в Е (Еп). Натуральная параметризация. Кривые (линии). Локальная эквивалентность понятий параметризованной кривой и линии. Способы задания линий на плоскости и в пространстве. Касательная прямая. Соприкасающаяся плоскость. Ориентация линии. Вектор кривизны и кривизна. Базис и репер Френе. Формулы Френе. Теоремы существования и единственности для кривых. Кручение. Натуральные уравнения кривой. Инварианты кривых в Еп. Теория поверхностей Параметризованные поверхности в Е3(Еп). Поверхности. Локальная эквивалентность поверхности и параметризованной поверхности. Локальные (криволинейные) координаты на поверхности. Кривые на поверхности. Касательное пространство к поверхности, касательная плоскость, нормаль. Ориентация поверхности. Первая фундаментальная форма поверхности. Гладкие отображения поверхностей. Дифференциал гладкого отображения поверхностей. Нормальная кривизна. Вторая фундаментальная форма поверхности. Сферическое отображение поверхности. Основной оператор поверхности и его свойства. Формула Эйлера. Главные направления. Главные кривизны. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Тип точек на поверхности. Асимптотические направления на поверхности. Индикатриса Дюпена. Изометрические отображения поверхностей (изгибания). Внутренняя геометрия поверхности. Теорема Гаусса. Асимптотические линии на поверхности. Линии кривизны. Ковариантное дифференцирование векторных полей. Геодезическая кривизна линии на поверхностисГеодезические линии. Свойства геодезических линий. Риманова метрика на поверхности. Плоскость Лобачевского. Гладкие многообразия и группы Ли Определение гладкого многообразия. Открытые подмногообразия. Примеры. Алгебра гладких функций на многообразии. Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизм. Гладкие структуры на R". Касательный вектор как класс эквивалентных кривых. Касательное пространство к многообразию. Касательный вектор как специальный линейный функционал. Гладкие векторные поля на многообразии. Модуль векторных полей. Алгебра Ли векторных полей. Векторные поля на сферах. Группы Ли. Прямое произведение групп Ли. Группы Ли преобразований классических пространств (аффинная группа, группа движений евклидова пространства). ЛИТЕРАТУРА Основная
Дополнительная
РЕЦЕНЗИЯ на учебную программу по дисциплине “Дифференциальная геометрия и топология” для специальности 1-31 03 01 “Математика” (авторы В.В. Балащенко, В.Л. Тимохович) “Дифференциальная геометрия и топология” является одним из основных математических курсов, которые читаются студентам БГУ специальности 1-31 03 01 “Математика” в течении второго года обучения. Согласно рецензируемой учебной программе весь курс делится на две части: топологическую (основные понятия общей топологии, а также элементы алгебраической топологии), которая читается в первом семестре, и дифференциально-геометрическую ( классические теории кривых и поверхностей, а также элементы теории гладких многообразий и групп Ли), которая читается во втором семестре. В первой части рассматриваются такие основные топологические понятия, как метрическое пространство, топологическое пространство и его геометрия, непрерывное отображение, произведение топологических пространств, компактность, полнота, связность, фактор-пространство. В завершении первой части происходит знакомство с простейшими понятиями теории топологических групп и элементами алгебраической топологии. Во второй части изучаются основные понятия теории кривых и поверхностей в  . Такими являются натуральная параметризация, кривизна и кручение кривой, репер Френе и формулы Френе, первая и вторая фундаментальные формы поверхности, нормальная кривизна поверхности, тип точки, асимптотические линии, линии кривизны и геодезические на поверхности, внутренняя геометрия поверхности. В конце второй части рассматриваются некоторые основные понятия теории гладких многообразий и групп Ли.Студенты, усвоившие материал лекционного курса и прошедшие практические и лабораторные занятия согласно прилагаемого тематического плана, получают знания и умения, достаточные для успешного применения геометрических и топологических идей в других математических дисциплинах, в частности, в функциональном анализе и дифференциальных уравнениях. Рецензируемая программа может быть принята в качестве базовой учебной программы дисциплины “Дифференциальная геометрия и топология ” для студентов специальности 1-31 03 01 “Математика”. Рецензент доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений В.В.Амелькин | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие:
 | Программа курса дифференциальная топология и риманова геометрия Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание... | | Дифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология |
 | Вопросы по курсу лекций "Классическая дифференциальная геометрия и топология" для студентов математиков 2 курса (весна 2009 г.) | | Дифференциальная геометрия и топология Хаусдорфовость. Нормальность. Лемма Урысона. Формулировка теоремы Титце о продолжении. Разбиение единицы |
| Дифференциальная геометрия и топология Классические примеры тензоров, градиент функции, функционал, скалярное произведение, линенйный оператор | | Программа дисциплины «Топология ii» Рабочая программа дисциплины «Топология ii» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 9 с |
| Программа дисциплины «Топология ii» Рабочая программа дисциплины «Топология ii» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 9 с | | Рабочая программа дисциплины "Геометрия и топология" Направление подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» |
| Дифференциальная геометрия и топология Теорема о неявных функциях (формулировка), теорема об обратном отображении, теорема "об образе" | | Дифференциальная геометрия и топология Общее определение многообразия. Атлас, карты, координатные отображения. Функции перехода (склейки). Топологические и гладкие многообразия.... |