Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b



Скачать 36.28 Kb.
Дата08.05.2013
Размер36.28 Kb.
ТипЛабораторная работа
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

На отрезке [a, b] задана функция , будем считать, что функция достаточно гладкая. Требуется вычислить .

Рассмотрим на отрезке [a, b] сетку узлов и положим

(2.1)

Формула (2.1) называется квадратурной формулой, соответственно называют квадратурными коэффициентами, а - квадратурными узлами. Определим погрешность квадратурной формулы



Задача численного интегрирования состоит в нахождении таких коэффициентов и узлов , чтобы погрешность была минимальной для функции из некоторого класса функций.

Простейшие квадратурные формулы. Геометрический смысл.



рис. 2.1

Рассмотрим несколько простых случаев

  1. На отрезке [a, b] задан один узел , возможны варианты




При

квадратурная формула

левых прямоугольников.

рис.2.2

Вспомним, что геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции (см. рис.2.
1), и если рассматривать задачу интегрирования как задачу отыскания площади фигуры под кривой, то простейшие квадратурные формулы можно интерпретировать следующим образом: например, согласно квадратурной формулы левых прямоугольников искомая площадь приближенно вычисляется как площадь образованного прямоугольника. (см рис.2.2 серым закрашен прямоугольник со сторонами и , поэтому представляет собой его площадь, а значит, из квадратурной формулы можно сделать вывод, что закрашенная площадь, и есть приближенное значение интеграла, аналогично, см. рис. 2.3, 2.4)



При

квадратурная формула

правых прямоугольников.

рис.2.3

При , получаем



квадратурная формула средних (центральных) прямоугольников (см. рис.2.4).







рис.2.4



рис.2.5

  1. Квадратурная формула трапеций (для двух узлов)



геометрический смысл формулы проиллюстрирован на рис.2.5.

  1. Квадратурная формула Симпсона (парабол) (для трех узлов)



Составные (общие) квадратурные формулы.

Для повышения точности вычисления интеграла



принимают следующий общий прием: отрезок [a, b] разбивают на части, к каждой части применяют выбранную квадратурную формулу, затем результаты суммируют. В итоге получают так называемую составную (общую) квадратурную формулу.

Разобьем отрезок [a, b] на N частей длины точками (см. рис.2.6).



рис.2.6

Составная формула левых прямоугольников:



Составная формула правых прямоугольников:



Составная формула средних прямоугольников:

, где

Составная формула трапеций:



Составная формула Симпсона:



Составная формула трех восьмых:





Погрешность квадратурных формул

Квадратурная формула



левых прямоугольников



правых прямоугольников



средних прямоугольников



трапеций



Симпсона



трех восьмых



Оценку погрешности квадратурной формулы можно записать в виде . При реализации численного метода оценить погрешность вычислений по формуле не представляется возможным, поэтому для достижения заданной точности используют метод двойного счета (для определения количества шагов) и требуют выполнения следующего условия:

,

где , а выбирают из оценки погрешности квадратурной формулы.

Алгоритм:

  1. задаем некоторое (минимально возможное для данной формулы);

  2. по выбранной квадратурной формуле вычисляем , измельчаем разбиение и вычисляем ;

  3. проверяем выполнение условия ;

  4. если «да», то результат , если «нет», то идти на п.2.




Похожие:

Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconЛабораторная работа №6. Численное интегрирование
Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b icon4 Численное интегрирование
Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т е численное интегрирование выполняется для...
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconКонтрольные вопросы к части 6 Часть 2 (дополнительная). Численное интегрирование методами Симпсона и Гаусса 7 Метод Симпсона 7
Обязательная. Численное интегрирование методами прямоугольников и трапеций 1
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconМетоды вычислений Лабораторная работа №2 1
Напишите программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом (одним из трех по вариантам) левых прямоугольников,...
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconЧисленное интегрирование. Физические задачи, приводящие к интегрированию
Интегрирование функций является составной частью многих научных и технических задач. Поскольку аналитическое интегрирование не всегда...
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconЛабораторная работа №2 По курсу "Методы вычисления" Вариант 11 Выполнял студент Новожилов И. Ю. Проверил Виноградов С. Ю
Написать программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом (одним из трех по вариантам) левых прямоугольников,...
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b icon3. приближенное дифференцирование и интегрирование
Обе основные операции анализа — дифференцирование и интегрирование — содержат в себе предельный переход и, тем самым, требуют знания...
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconОтчет по лабораторной работе №4 по теме «Численное интегрирование»
При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом...
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconЛабораторная работа №1 Работа в Oracle Database Express Edition 1 Лабораторная работа №6
Лабораторная работа Выполнение расчетов с использованием программирования в среде Visual Basic for Applications
Лабораторная работа №2 численное интегрирование на отрезке [ a, b iconЧисленное интегрирование
Функция y=f(x) заменяется интерполяционным многочленом P(x), который в точках xi = значению функции
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org