Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема



Скачать 20.33 Kb.
Дата09.05.2013
Размер20.33 Kb.
ТипДокументы
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей.
Теорема. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для что и , или

для что и : .

Доказательство.

Необходимость: пусть последовательность сходится, т.е. . Докажем, что данное условие выполняется. Для что : .

Для и рассмотрим .

и . Ч.т.д.

Достаточность: докажем, что последовательность, удовлетворяющая этим условиям, ограниченная. Возьмем , тогда , что если gif" name="object28" align=absmiddle width=55 height=21> то , . Если взять то , последовательность ограниченна. Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности можно выделить , которая стремится к , т.е. сходящуюся последовательность. Докажем, что сама последовательность тоже сходится и сходится к числу Возьмем , по которому определяется такой , что что : . Возьмем , тогда оба неравенства будут выполняться одновременно. Возьмем и оценим , т.к. , то тогда (т.к. , то можем взять ). Следовательно мы доказали, что для и для , что последовательность сходится. Ч.т.д.

Пример.1. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности , т.е. показать, что для что и .

Доказательство: пусть – произвольное. Тогда

, для и для .

Определение. Последовательность, для которой выполняется условие Больцано-Коши, называется фундаментальной последовательностью; для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Отрицание понятия фундаментальности: последовательность нефундаментальна, если и что: .

Пример.2. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности , т.е. показать, что и что: .

Доказательство:

, а при получим , для всех последовательность расходится, где –произвольное число из интервала .

Похожие:

Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconВычислительная математика
Доказать теорему о сходимости метода половинного деления (первая теорема Больцано Коши)
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconЧисловые ряды. Функциональные последовательности и ряды
Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное услорие сходимости рядов с неотрицательными членами
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconПрофессор, д ф. м н., Кризский В. Н. Вопросы к зачету по курсу «Математика»
Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами. Необходимое и достаточное условия сходимости
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по научной специальности
Предел последовательности. Предел суммы, произведения и частного последовательностей. Критерий Коши. Существование предела у монотонно...
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconОсновные теоремы о непрерывных функциях Теорема I
Теорема (I теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на и на концах принимает значения разных знаков, т е., тогда...
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconОсновные теоремы о непрерывных функциях Теорема I
Теорема (I теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на и на концах принимает значения разных знаков, т е., тогда...
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconРяды Числовые ряды
Коши, Даламбера. Доказательство теоремы о том, что признак Коши сильнее признака Даламбера. Интегральный признак Коши. Теорема Лейбница...
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconВопросы к экзамену по математическому анализу Б3
Понятие числового ряда. Сходящийся числовой ряд, сумма ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости...
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconПрограмма курса «Дополнительные главы математического анализа»
Формула Коши, лемма Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного ряда, принцип максимума, теорема Адамара о трех кругах. Целые функции:...
Необходимое и достаточное условия Больцано-коши для сходимости последовательностей. Теорема iconПрограмма аттестационных испытаний для специальности «Математика» 2 курс Математический анализ
Теорема Больцано Коши (о промежуточном значении функции одной переменной, непрерывной на сегменте). Обобщение теоремы на функции...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org