Комплексные числа Определение комплексного числа



Скачать 36.74 Kb.
Дата10.05.2013
Размер36.74 Kb.
ТипДокументы
Комплексные числа

Определение комплексного числа

Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью y = Im z.

Два элемента z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части z1 = z2  { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.

Определяются две операции:

Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v).

  Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu).

Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость).

Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y). 



Свойства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1)  z1 +z2 = z1 + z2

2)  z1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

3)  обозначим = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z +   = z

4)  zC можно определить противоположный элемент -z=(-x,-y), который обладает следующим свойством z+(-z)=

Можно доказать, что - единственный, противоположный для z также единственен.

5)  z1 z2 = z2 z1

6)  z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3

7)  определим =(1,0) , тогда z: z = z

8)  z (обратный элемент) z-1: z z-1 =

  Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число

z-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам: xu - yv=1,yu+xv=0 (z z-1 = ). Решая эту систему, получим u=x/(x2+y2),v=-y/(x2+y2).


Частное двух комплексных чисел определяется по формуле w/z=wz-1.

9)  z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

Алгебраическая форма записи

Рассмотрим отображение c(x) из R в C: , где xR,. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим . Отображение c(x) взаимно-однозначно, причем

c(x+y) = c(x)+c(y)

c(xy) = c(x)c(y)

c(0) =

c(1) =

Следствие:  c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).

Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.

Мнимая единица. Введем обозначение i=(0,1).

Отметим, что x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом можно записать z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0,y)=iy называется мнимой осью.

Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Некоторые определения и свойства

Для z=(x,y), определяется комплексно сопряженное число ,

модуль комплексного числа .



Определение аргумента комплексного числа

Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2). Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg z = arg z +2k. Например, для первой четверти arg z = arctg y/x , а для четвертой четверти, arg z = 2+arctg y/x .

Тригонометрическая форма представления комплексного числа

z = x + iy = r( cos  + i sin  ), (1)

где =Arg z.

Формулы Эйлера. Введем обозначения

ei = cos  + i sin , откуда следует, что

cos  = , sin  = .

Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае z=x+iy производится по формуле .

Свойства символа ei. Непосредственно из определения следует

ei(+) = ei ei,  (ei)n=ein

Используя ei комплексное число можно представить в виде

z = rei (2)

Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа

Формула Муавра

zn=rnein=rn( cos n + i sin n) (3)

Доказывается индукцией по n. Решим уравнение

zn=w, z = rei, w = ei

Имеем rnein=ei n=+2k, kZ, r=. Формулы



используются для вычисления корней из комплексного числа. Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не ноль, то таких корней будет ровно n – штук. Все они будут являться вершинами правильного  n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный .

Замечание:  Знаки сравнения <, > не определены в C.

Похожие:

Комплексные числа Определение комплексного числа iconЛекции по алгебре, началам анализа и геометрии 5 часа в неделю 1-я неделя
Расширение понятия числа, комплексные числа. Определение операций с комплексными числами в алгебраической форме. Модуль и аргумент...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconИсследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconТематический план практических занятий по дисциплине «Математический анализ»
Тем Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010100 Математика Квалификация Математик
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010500 Механика Квалификация Механик Москва 2000
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа Определение комплексного числа iconУчебной дисциплины «Теория функций комплексного переменного» для направления 011200. 62 «Физика»
Комплексные числа: понятие комплексного числа, формы записи, геометрическая интерпретация, основные свойства, операции с комплексными...
Комплексные числа Определение комплексного числа icon«Комплексные числа»
Приложение 2: Показательная форма записи комплексных чисел. Ло­гарифм комплексного числа
Комплексные числа Определение комплексного числа iconУрок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»
Какие комплексные числа называются сопряженными? При выполнении какого действия чаще всего используют сопряженные числа?
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org