Учебно-методическое пособие Кострома 2007 удк 519. 8 (075)

2.4. Основные законы распределения

1. 
   В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
   
2. 
   Вероятность выигрыша по облигации займа за время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.
   
3. 
   С вероятностью 0,3 каждый из 20 приборов является неточным. Составить таблицу распределения числа точных приборов среди отобранных 5 приборов. Определить математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов.
   
4. 
   Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и M(X)=1,2.
   
5. 
   Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002.
   
   1. 
      Составить закон распределения отказавших за время t элементов.
      
   2. 
      Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
      
   3. 
      Найти вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.
      

6. 
   Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
   
7. 
   Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти:
   

8. 
   Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности в интервале (a;b), вне этого интервала .
   

9. 
   Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X – в интервале (a;b); Y – в интервале (c;d). Найти математическое ожидание и дисперсию произведения X∙Y.
   
10. 
    Случайная величина X распределена равномерно в интервале (a;b). Найти функцию распределения и построить ее график.
    

11. 
    Случайная величина X имеет нормальное распределение, причем M(X)=1, σ(X)=2. Найти плотность распределения вероятностей, построить ее график. Найти функцию распределения и построить ее график.
    
12. 
    Найти вероятность того, что случайная величина с нормальным законом распределения, у которой математическое ожидание равно 1, а дисперсия равна 4, примет значение меньше 0, но больше (-5).
    
13. 
    Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет значение из интервала (0,5; 3,5)?
    
14. 
    Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания в интервал (30; 80).
    
15. 
    Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 15 и дисперсией D = 4.
    

1. 
   вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (9; 19);
   
2. 
   вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше δ = 3.
   
1. 
   Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайная ошибка измерения X подчинена нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 мкм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мкм.
   
2. 
   Измеряемая случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с а=10, σ = 5. Найти симметричный относительно а интервал, в который с вероятностью p попадет измеряемое значение, если: 1) p₁ =0,9974; 2) p₂ = 0,9544; 3) p₃ =0,50.
   
3. 
   В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16,2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение.
   
4. 
   Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, причем a=1. Известно, что P(X<2)=0,99. Вычислить M(X²).
   
5. 
   Деталь, изготовляемая автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Считая, что σ = 5 и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.