Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы



Скачать 49.24 Kb.
Дата10.05.2013
Размер49.24 Kb.
ТипЛекция
Тема 3. Прямоугольная система координат.
Лекция 8.Линейные действия над векторами в координатной форме.

Основные вопросы.

1. Линейные действия над векторами в координатной системе.

2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.

3. Расстояние между двумя точками.

4. Деление отрезка в данном отношении.
1. Линейные действия над векторами в координатной системе.
Из представления вектора через его координаты в выбранной системе координат и свойств умножения вектора на число и суммы векторов следует утверждения, которые показывают, как производить линейные действия над векторами, если заданы их координаты.
Предложение 1. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Действительно, если

, то (7)

Предложение 2. При сложении векторов складываются их соответст-вующие координаты. В самом деле,



(8)

Предложение 3. При вычитании векторов вычитаются их соответст-вующие координаты. Действительно,



(9)
Выделим особо такое действие над вектором, как его нормирование , необходимость которого возникает в ряде прикладных задач.
Определение 6. Нормированием вектора называется нахождение единичного вектора (орта) того же направления, что и данный вектор .

Единичный вектор в этом случае обозначают . Чтобы нормировать вектор необхо-димо найти его длину и искомый единичный вектор определить по формуле

(10)

Пример2. Нормировать вектор .
Решение.

1) Найдем длину вектора gif" name="object14" align=absmiddle width=18 height=18> . .

2) Единичный вектор (нормированный вектор) имеет вид

. Таким образом, или

, а нормирование, по сути есть умножение вектора на число
2. Выражение вектора через координаты его начала и конца.
Поставим задачу – найти координаты вектора , если M1(x1 ,y1 ,z1) – начало и M2(x2 ,y2 ,z2) - конец данного вектора (рис.2.5)


Рис. 2.5. Определение координат вектора
Соединим точки M1 и M2 с началом координат 0 и между собой. Рас-смотрим векторы и . Согласно правилу вычитания век-торов имеем = - .Так как координаты радиус-векторов

и соответственно равны и , то (согласно предложению 3) вектор имеет координаты .

Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 4. Если заданы координаты начала и конца вектора, то, чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующих координат его конца вычесть координаты его начала.

3. Расстояние между двумя точками .
Пусть заданы в пространстве своими координатами в прямоугольной системе координат две точки M1(x1 ,y1 ,z1) и M2(x2 ,y2 ,z2) (рис.2.5). Найти расстояние d между ними – это значит найти длину вектора (или ), координаты которого согласно теореме 4 равны (или ). Следовательно

.

Отсюда правило: расстояние между двумя точками равно корню квад-ратному из суммы квадратов разностей одноименных координат данных точек.

Если имеем единичный вектор то его длина ,

откуда =1, (11) т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна едини-це.
Пример 3. Даны радиусы-векторы вершин ∆АВС : ; ; . Показать, что АВС рав-носторонний.
Решение . 1) Координаты данных радиус-векторов определяют коорди-наты соответствующих точек А(1;2;3), В(3;2;1),С(1;4;1) .

2) Определим расстояния между этими точками, т.е. длины сторон ∆АВС :

(ед.);

(ед.);

(ед.).

Вывод : ∆АВС - равносторонний.


4. Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны точки А(x1 ,y1 ,z1) и В(x2 ,y2 ,z2). Требуется на отрезке АВ найти точку M(x ,y ,z) , делящую этот отрезок в отношении .

Если искомая точка М лежит между точками А и В , то такое деление от-резка АВ называется внутренним и λ в этом случае положительно (λ > 0). Если точка М1 будет находится вне отрезка АВ (лежать на его продолжении), то такое деление называется внешним , а λ при этом отрицательно (λ < 0).

Найдем сначала решение этой задачи в векторной форме .

Имеем (рис.2.6)

Рис. 2.6. К определению отношения

Требуется определить радиус-вектор точки М так, чтобы .

Так как и , необходимое условие можно переписать в виде , откуда

(12)

Решение поставленной задачи в координатной форме (в координатах) запишется в виде

(13)

Такой вид формул получен на основе линейных действий над векторами в координатной системе (предложения 1 и 2).

Формулы (13) называются формулами деления отрезка в заданном от-ношении .

При λ = 1 точка М делит отрезок АВ пополам и формулы (13) примут вид

(14) т.е. координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих коор-динат его концов.

Похожие:

Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconРешение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами
Проекция вектора на ось. Декартова система координат. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconЛекция Векторы. Основные вопросы. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Одни из них вполне определяются числом (длина, площадь, объем, масса, температура и др.), а другие определяются не только числом,...
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconВопросы к экзамену по математике
Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие...
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconЭлементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconЛекция Матрицы и действия над ними. Основные вопросы Матрицы и действия над ними
...
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы icon2. Линейные операции над векторами. Линейная комбинация векторов

Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconСборник заданий по высшей математике (типовые расчеты), 2005 § теоретические вопросы векторы. Линейные операции над векторами
Смешанное произведение, его свойства. Геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconБ1 «Математика»
Векторы и матрицы. Линейные операции над векторами и их свойства. Разложение вектора по базису
Лекция Линейные действия над векторами в координатной форме. Основные вопросы iconПрограмма экзамена по аналитической геометрии и линейной алгебре для групп с-14, с-15, ск-11
Векторы в пространстве. Модуль вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Линейные операции над векторами. Свойства линейных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org