3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани



Скачать 21.99 Kb.
Дата13.05.2013
Размер21.99 Kb.
ТипЛекция
Лекция 3

§3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

1.Ограниченное множество. Точные грани.

Ограниченное сверху множество E: b xE: xb

b - верхняя грань множества: xE:xb

Ограниченное снизу множество: a xE:xa

a - нижняя грань множества: xE:xa

Точная верхняя грань множества: b = sup E

1) (b - верхняя грань) xE:xb

2) ( нет меньшей) >0 xE: x > b-

Аналогично a = inf E. Написать определение самостоятельно.

Ограниченное множество E: b xE: /x/b

Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E , где E- зеркальное к E множество,

E={xR:(-x)E}

2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Т1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aE


a (a+b)/2 b

Обозначим [a1,b1] правый из отрезков [a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b], имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого oтрезка;

  1. xE:xb1

  2. E[a1,b1]  

Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д.

В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам:

  1. xE:xbk

  2. E[ak,bk]  

Длины этих отрезков bk-ak=(b-a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число искомое.
Действительно:

1) xE: xc

Предположим противное: xE:x>c, возьмем =x-c,n:bn-an<=x-c, тогда bn - c bn - an < x - c bn < x, что противоречит условию x[an,bn].

2)  xE: x  c - 

Для любого n: bn - an < , в этом случае c - < an x, что и требуется.

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Т2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1< b2 . Положим = b2 - b1 > 0, xE: x > b2 - = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.

Замечание.

1. Точная нижняя грань единственна.

2. Если E неограничено сверху, то пишут sup E = +, аналогично если E неограничено снизу, то пишут inf E = -.

Похожие:

3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconПрограмма по курсу «Математический анализ» для Ф1
Ограниченные множества действительных чисел. Точные верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема существования точных верхней...
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconПрограмма коллоквиума по курсу «Математический анализ»
Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества иррациональных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества....
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconСписок вопросов по высшей математике за 2012 уч год. Математический анализ
...
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconВложенных отрезков. Лемма о системе вложенных отрезков. 2,6
Ограниченное числовое множество. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней...
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconВопросы к экзамену по математическому анализу для потока дка-i (зимняя сессия)
Ограниченные и неограниченные подмножества действительных чисел. Множества открытые и замкнутые. Точные грани множества
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани icon1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется
...
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconБесконечное множество, отличное от счетного, называется несчетным
Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных и алгебраических чисел. Несчетность множества действительных чисел....
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconМатематический анализ проф. Т. П. Лукашенко 1 курс, 1 семестр
Аксиоматика действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби как модель действительных чисел. Принципы полноты действительных чисел....
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconЧисловые множества. Множества n и Z. Операции сложения и умножения в этих множествах и их свойства
Кванторы существования и общности, их значение и применение в записи математических выражений. Ограниченные и неограниченные множества....
3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани iconПоследовательности
Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}:...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org